Rechner für Mittelwert und Varianz der Binomialverteilung

Eine Binomialverteilung beschreibt die Anzahl der Erfolge bei einer festen Zahl unabhängiger Versuche, wenn jeder Versuch dieselbe Erfolgswahrscheinlichkeit hat. Dieser Rechner nimmt die Versuchszahl n und die Wahrscheinlichkeit p entgegen und liefert Mittelwert, Varianz sowie Standardabweichung. Damit können Sie Aufgaben prüfen, Experimente planen, wiederholte Ja-Nein-Ereignisse zusammenfassen und Kennzahlen für weitere statistische Analysen vorbereiten, ohne eine vollständige Wahrscheinlichkeitstabelle aufzustellen.

Geben Sie Versuchszahl und Wahrscheinlichkeit richtig ein

Beginnen Sie mit der Anzahl der Versuche n. Sie muss eine nicht negative ganze Zahl sein, denn ein Binomialexperiment kann keinen Bruchteil eines Versuchs enthalten. Geben Sie anschließend p ein, die Erfolgswahrscheinlichkeit je Versuch.

Verwenden Sie eine Dezimalzahl von 0 bis 1 einschließlich der Grenzen, beispielsweise 0.35 für 35 Prozent und nicht 35. Das Modell setzt voraus, dass die Versuchszahl vorher feststeht, jeder Versuch nur zwei relevante Ergebnisse hat, die Versuche unabhängig sind und die Erfolgswahrscheinlichkeit konstant bleibt. Wiederholte Münzwürfe, als bestanden oder nicht bestanden eingestufte Produkte sowie antwortende oder nicht antwortende Kunden können dazu passen, sofern sich die Beobachtungen nicht gegenseitig beeinflussen.

Kartenziehen ohne Zurücklegen passt meist nicht, weil sich p nach jeder Karte ändert. Werte unter 0 oder über 1 weist der Rechner zurück, sodass ein falscher Maßstab oder Tippfehler sofort sichtbar wird.

Verstehen Sie die drei Ergebniswerte

Der Mittelwert ist n multipliziert mit p. Er beschreibt die langfristig durchschnittliche Erfolgszahl bei vielen Wiederholungen des gesamten Experiments und garantiert kein bestimmtes Einzelergebnis. Die Varianz ist n multipliziert mit p und mit eins minus p.

Sie misst die Streuung in quadrierten Erfolgseinheiten, was für Formeln praktisch, unmittelbar aber weniger anschaulich ist. Die Standardabweichung ist die Quadratwurzel der Varianz und bringt die Streuung in dieselbe Einheit wie die Erfolgszahl zurück. Bei 20 Versuchen und p gleich 0.35 bezeichnet der Mittelwert das erwartete Zentrum, während die Standardabweichung eine typische Entfernung davon ausdrückt.

Ist p gleich 0 oder 1, steht das Ergebnis fest; Varianz und Standardabweichung sind dann null. Bei festem n ist die Varianz für p gleich 0.5 am größten, weil bei gleicher Erfolgs- und Misserfolgswahrscheinlichkeit die höchste Unsicherheit besteht. Diese Beziehungen eignen sich zugleich als schnelle Plausibilitätskontrolle.

Nutzen Sie das Ergebnis mit angemessener Aussagekraft

Diese Momente fassen die Verteilung zusammen, ersetzen jedoch nicht die Wahrscheinlichkeitsfunktion, wenn Sie die Chance einer exakten Erfolgszahl oder eines Randereignisses benötigen. Verwenden Sie den Mittelwert als erwartete Gesamtzahl, die Varianz in Formeln für unabhängige Zufallsgrößen und die Standardabweichung als verständliches Maß der üblichen Streuung. In der Qualitätskontrolle schätzt der Mittelwert erwartete Fehler nur dann sinnvoll, wenn p über die Produkte hinweg eine konstante Fehlerwahrscheinlichkeit bezeichnet.

Bei Kampagnen gilt Entsprechendes für hinreichend unabhängige Empfänger. Weichen Beobachtungen stark von der berechneten Streuung ab, kann p zwischen Versuchen variieren, können Ergebnisse korreliert sein oder andere Binomialannahmen verletzt werden. Bewahren Sie für weitere Rechnungen ausreichende Genauigkeit und runden Sie erst bei der Darstellung.

Diese Fähigkeit rechnet deterministisch: Sie simuliert keine Ergebnisse, schätzt p nicht, erzeugt keine Konfidenzintervalle und prüft keine Verteilungsanpassung. Die Unsicherheit eines geschätzten p erfordert eine zusätzliche Analyse.