等比数列の初項計算機
等比数列をさかのぼって初項を求めます。第5項が162で公比が3なら、162を81で割って初項は2です。ブラウザで無料で使えます。
- 無料
- ブラウザで動作
- 登録不要
- データは端末の外に出ません
無料で実行
計算例
- 項
- 162
- 抵抗（Ω）
- 3
- N
- 5
- 初項
- 2
- 公比のべき乗
- 81
- Max n
- 10,000
等比数列の初項を求めるのは典型的な逆問題です。後の項の値、その位置、隣り合う項の固定の倍率は分かっており、数列を一貫させる開始値だけが必要です。指数が大きくなっても手計算の符号ミスを避け、決定的な一回の呼び出しで済みます。ワークシートが a1 ではなく第5項や第10項を与える宿題の検算に使えます。教員や試験ジェネレータには、第1項より後で公比が零のような不可能な入力を拒否するオラクルが必要です。開発者は浮動小数の累乗と除算の端点を再実装せず、同じ契約をフィクスチャや LMS プラグインに配線できます。
等比数列で a1 を復元するとは何か
等比数列は初項 a1 と公比 r で定義されます。初項のあとの各項は直前の項に r を掛けたもので、項は a1、a1 に r、a1 に r の2乗、と続きます。n が 1 より大きいとき、公比は非零でなければなりません。
さもなければ r の累乗は 0 となり、除算で一意の開始値を復元できません。負の公比は許可され、符号が交互に変わる数列になります。|r| が 1 未満の分数公比では項は 0 に近づきます。
無限級数の和や既知の a1 からの第 n 項生成はこのページの範囲外です。ここでの検索意図は、後の既知項から初項を求めることに限定されます。
初項復元ツールが役立つ場面
教室では、等比数列の第5項が 162 で公比が 3 だと述べて初項を問う文章題でこの問題に出会います。チュータリング基盤や試験対策ジェネレータには、位置 1 のあとで公比 0 を誤りとして扱い任意の a1 を捏造しない決定的オラクルが必要です。
工学ノートでは、各段で固定利得 r を掛ける過程の段 n の測定値から、計算機代数システム全体を立てずに初期条件を逆算したいことがあります。検証失敗は残高を消費しません。等差数列、無限等比級数の和、分布確率が本当の検索意図なら専用ツールを使い、この能力は term・n・r から a1 を復元するためだけに存在します。
活用例
初期条件の逆算
固定の乗法利得 r の下で段 n の測定値が分かっているとき、計算機代数ライブラリ一式なしで開始値を復元します。
よくある質問
等比数列計算機との違いは何ですか？
本ツールは逆で、後の既知項・n・r から a1 を復元します。
等比数列の初項はどう求めますか？
わかっている項を、公比をその項の番号より1小さい回数だけ掛けた数で割ります。第5項なら公比の4乗で割ります。
第5項が162、公比が3のとき初項はいくつですか？
初項は2です。3の4乗は81で、162を81で割ると2になります。2に3を4回掛けると162に戻ります。
公比が0だと受け付けられないのはなぜですか？
公比が0だと初項より後の項はすべて0になり、後の項から初項を知る手がかりがないからです。値をでっち上げる代わりに受け付けません。
等差数列にも使えますか？
使えません。等差数列は毎回同じ数を足していく数列で、掛け算ではないため、この逆算は当てはまりません。等差数列用のツールを使ってください。
関連ツール
開発者向け — APIアクセス
このページの機能はすべてAPIからも利用できます。自社システムに組み込みたいチーム向けのセクションです。それ以外の方は上のツールをそのままお使いください。
エンドポイント
Bearerトークンで認証し、POST1回でタスクをキューに登録します。結果はWebhookまたは署名付きリンクで受け取れます。
お使いのスタックから呼び出す
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/algebra/geometric-first-term \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"term":162,"r":3,"n":5}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/algebra/geometric-first-term", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"term": 162,
"r": 3,
"n": 5
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/algebra/geometric-first-term",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"term": 162,
"r": 3,
"n": 5
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/algebra/geometric-first-term", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"term":162,"r":3,"n":5}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"term":162,"r":3,"n":5}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/algebra/geometric-first-term", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)リクエスト例
{
"term": 162,
"r": 3,
"n": 5
}レスポンス例
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "algebra.geometric_first_term",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}非同期APIです。task_idは即時に返ります。ポーリングは1秒あたり1リクエストまでです。
料金
単価はすべて公開しています。トークン換算や独自クレジットはありません。失敗したタスクは課金されません。
エラー
| HTTP | コード | 意味 |
|---|---|---|
401 | unauthorized | APIキーが無効か、指定されていません。Authorizationヘッダーを確認してください。 |
402 | insufficient_balance | 残高が不足しています。チャージ後に再度お試しください。 |
404 | unknown_type | 指定されたタスクタイプは存在しません。タイプ名を確認してください。 |
429 | rate_limited | リクエストが多すぎます。しばらく待ってから再度お試しください。 |
技術的な注記
この等比数列初項計算機は、閉形式の恒等式 a1 は a_n を r の n マイナス 1 乗で割ったもの、を適用します。無料のブラウザ経路と API 経路は同一の純粋モジュールを共有するため、教室デモと本番パイプラインで復元された初項が食い違うことはありません。
等比数列で a1 を復元するとは何か
1始まりの位置 n の項はしたがって a_n が a1 に r の n マイナス 1 乗を掛けたものになります。教科書・表計算・センサーログが a_n・n・r を渡し a1 を渡さないとき、この恒等式を並べ替えます。a1 は a_n を r の n マイナス 1 乗で割ったものです。それがこの等比数列初項計算機の返す結果です。n が 1 のとき、既知項はすでに初項であり、指数は 0、有限な任意の r で累乗は 1 となり、first_term は入力の term をそのまま返します。応答は term・r・n をエコーし、表示安定のため丸めた first_term を報告し、手計算で除算を確認できる中間の ratio_power を含め、式文字列 a1 は a_n を r の n マイナス 1 乗で割る、を示します。
入力契約・応答の形・検証ルール
推奨名は term・r・n です。2 に 3 の 4 乗を掛けると 162 になるためです。公比が 1 のとき全項が a1 に等しいためです。必須の3フィールドを持つ JSON 本体を POST してください。term は既知項 a_n の有限値、r は有限の公比、n は 1 から 1 万までのその項の 1 始まり整数位置です。別名 an・a_n・known_term・value は term に、ratio・common_ratio は r に、position・index・k は n に対応します。数値は JSON の数でも、フォームや表計算出力向けの素の十進文字列でも構いません。欠落フィールド、空文字、非有限値、非整数の n、1 未満の n、公開上限を超える n、n が 1 より大きいときの r が 0、はすべて invalid_input と問題を示すメッセージで失敗します。これらの検証失敗は課金されません。成功時の本体には正規化された term・r・n、復元された開始値 first_term、r の n マイナス 1 乗である ratio_power、復元恒等式の formula、送信前にバッチ検証できる max_n が含まれます。例：term が 162、r が 3、n が 5 なら first_term は 2 です。別例：term が 5、r が 1、n が 4 なら first_term は 5 です。次に既知の初項から第 n 項や有限和が必要なら順方向の等比数列ツールと組み合わせ、このエンドポイントは初項の問いだけに集中させ、検索意図と API 契約を明確に保ってください。
初項復元ツールが役立つ場面
実装は純粋な parse の tier A のため、成功した呼び出しはモデルトークンも外向きネットワークもなく公開の基本料金 $0.002 です。リクエストを小さく保ち、丸めた first_term と ratio_power をテストに固定すれば、宿題・LMS プラグイン・成長モデルのフィクスチャ・エッジワーカー向けに再現可能な開始値が得られ、指数と除算の端点を自分で再導出する必要はありません。
連携の活用例
宿題と試験の検算
ワークシートが後の項 a_n・位置 n・公比 r を与えるとき a1 を復元し、教科書の解法と答えを照合します。
LMS と自動採点のオラクル
無効な n や第1位置のあとの公比 0 を拒否する決定的 API で、等比初項の設問を採点します。
技術的な質問
既知項から等比数列の初項をどう求めますか？
既知項 a_n を term、1 始まりの位置を n、公比を r として送ってください。API は a1 = a_n / r^(n-1) を返します。
n が 1 のときはどうなりますか？
既知項がすでに初項のとき、first_term は term に等しく、任意の有限 r で r^(n-1) は 1 です。
公比は 0 でもよいですか？
n が 1 のときだけです。n が 1 より大きいとき r は非零でなければならず、さもなければ復元は 0 除算となりタスクは invalid_input で失敗します。
等比数列の初項計算機の料金は？
ブラウザ版は無料です。API は成功した呼び出しごとに前払い KIT 残高から $0.002 です。無効な入力は課金されません。