Primo termine progressione geometrica
Torni all’inizio di una progressione geometrica: se il quinto termine è 162 e la ragione è 3, il primo termine è 2, perché 162 diviso 81 fa 2. Gratis nel suo browser.
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Esempio risolto
- Termine
- 162
- Resistenza (Ω)
- 3
- N
- 5
- Primo termine
- 2
- Potenza della ragione
- 81
- Max n
- 10.000
Ricavare il primo termine di una progressione geometrica è un problema inverso classico: Lei conosce già un valore successivo, la sua posizione nell'elenco e il moltiplicatore fisso tra termini consecutivi, e le serve il valore iniziale che rende coerente la progressione. Gli studenti lo usano per controllare i compiti quando il foglio dà il quinto o il decimo termine invece di a1. Docenti e generatori di esami necessitano di un oracolo che rifiuti i casi impossibili, come ragione zero dopo la prima posizione.
Cosa significa ricavare a1 in una progressione geometrica
Una progressione geometrica è definita da un primo termine a1 e da una ragione comune r: ogni termine dopo il primo è il precedente moltiplicato per r, così i termini sono a1, a1 per r, a1 per r al quadrato, e così via. È esattamente ciò che restituisce questo calcolatore del primo termine di progressione geometrica. Quando n è maggiore di uno, la ragione deve essere non nulla; altrimenti la potenza di r è zero e la divisione non può recuperare un valore iniziale unico.
Le ragioni negative sono ammesse e producono successioni alternate; le ragioni frazionarie avvicinano i termini a zero quando il valore assoluto di r è minore di uno. Le somme di serie infinite e la generazione dell'n-esimo termine da un a1 noto sono fuori ambito in questa pagina: l'intento di ricerca qui è specificamente trovare il primo termine a partire da un termine successivo noto.
Dove uno strumento di recupero del primo termine dimostra il suo valore
Le aule incontrano questo problema quando un testo dice che il quinto termine di una progressione geometrica è centosessantadue e la ragione comune è tre, poi chiede il primo termine. Piattaforme di tutoraggio e generatori di preparazione agli esami necessitano di un oracolo deterministico che segni come errata una ragione zero dopo la posizione uno invece di inventare un a1 arbitrario.
I taccuini di ingegneria a volte osservano un valore misurato al passo n di un processo che moltiplica per un guadagno fisso a ogni passo e devono risolvere all'indietro la condizione iniziale senza montare un sistema completo di algebra computazionale. La validazione fallita non consuma il saldo. Usi strumenti dedicati per progressioni aritmetiche, somme di serie geometriche infinite e probabilità di distribuzione quando quelli sono i veri intenti di ricerca; questa capacità esiste solo per ricavare a1 da term, n e r.
Casi d'uso
Risoluzione all'indietro delle condizioni iniziali
Dato un valore misurato al passo n con guadagno moltiplicativo fisso r, ricavi il valore iniziale senza una libreria completa di algebra computazionale.
Domande frequenti
Come si calcola il primo termine di una progressione geometrica?
Divida il termine noto per la ragione elevata alla sua posizione meno uno. Per un quinto termine, divida per la ragione alla quarta potenza.
Qual è il primo termine se il quinto è 162 e la ragione è 3?
Il primo termine è 2. Tre alla quarta fa 81, e 162 diviso 81 dà 2. Moltiplicando 2 per 3 quattro volte si torna a 162.
Perché una ragione pari a zero viene rifiutata?
Con ragione zero tutti i termini dopo il primo valgono zero, quindi un termine successivo non dice nulla sull’inizio. Invece di inventare un valore, il calcolatore rifiuta questo caso.
Posso usarlo per una progressione aritmetica?
No. Una progressione aritmetica aggiunge la stessa quantità a ogni passo invece di moltiplicare, quindi questo calcolo a ritroso non vale. Usi uno strumento pensato per le progressioni aritmetiche.
Strumenti correlati
Per sviluppatori — accesso via API
Tutto quello che vedi in questa pagina è disponibile anche via API. Questa sezione è per i team che vogliono integrarlo nei propri sistemi; chi non ne ha bisogno può semplicemente usare lo strumento qui sopra.
Endpoint
Autenticazione con Bearer token: un POST mette in coda l'attività e il risultato arriva via webhook o link firmato.
Chiamala dal tuo stack
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/algebra/geometric-first-term \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"term":162,"r":3,"n":5}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/algebra/geometric-first-term", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"term": 162,
"r": 3,
"n": 5
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/algebra/geometric-first-term",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"term": 162,
"r": 3,
"n": 5
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/algebra/geometric-first-term", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"term":162,"r":3,"n":5}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"term":162,"r":3,"n":5}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/algebra/geometric-first-term", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Esempio di richiesta
{
"term": 162,
"r": 3,
"n": 5
}Esempio di risposta
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "algebra.geometric_first_term",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}L'API è asincrona: ricevi subito un task_id e puoi fare polling fino a 1 richiesta al secondo.
Prezzi
Prezzo pubblicato, senza token né crediti. Se l'attività fallisce, non paghi.
Errori
| HTTP | Codice | Significato |
|---|---|---|
401 | unauthorized | Chiave API mancante o non valida: controlla l'header Authorization. |
402 | insufficient_balance | Credito esaurito: ricarica per continuare a eseguire attività. |
404 | unknown_type | Tipo di attività sconosciuto: controlla il campo type della richiesta. |
429 | rate_limited | Troppe richieste in poco tempo: rallenta e riprova tra qualche secondo. |
Note tecniche
Questo calcolatore del primo termine di progressione geometrica applica l'identità chiusa a1 uguale a a_n diviso per r elevato a n meno uno, così una sola chiamata deterministica sostituisce il calcolo a mano, soggetto a errori quando gli esponenti crescono. Il percorso gratuito del browser e quello dell'API condividono un modulo puro, così demo in aula e pipeline di produzione non divergono mai sul termine iniziale recuperato.
Cosa significa ricavare a1 in una progressione geometrica
Il termine in posizione n (contata da uno) è quindi a_n uguale a a1 per r elevato a n meno uno. Quando un libro di testo, un foglio di calcolo o un log di sensori le consegna a_n, n e r ma non a1, Lei riordina quell'identità: a1 uguale a a_n diviso per r elevato a n meno uno. Quando n è uno, il termine noto è già il primo, l'esponente è zero, qualsiasi r finito dà potenza uno, e first_term ripete semplicemente il termine di ingresso. La risposta ripete term, r e n, riporta first_term arrotondato per una visualizzazione stabile, include il ratio_power intermedio affinché gli studenti verifichino la divisione a mano, e dichiara la stringa di formula a1 uguale a a_n su r elevato a n meno uno.
Contratto di ingresso, forma della risposta e regole di validazione
Tali fallimenti di validazione non vengono addebitati. Invii un corpo JSON con tre campi obbligatori: term, il valore finito del termine noto a_n; r, la ragione comune finita; e n, la posizione intera da uno di quel termine tra uno e diecimila. I nomi preferiti sono term, r e n; gli alias an, a_n, known_term e value mappano su term; ratio e common_ratio su r; position, index e k su n. I numeri possono arrivare come numeri JSON o come stringhe decimali adatte a moduli e esportazioni di foglio di calcolo. Campi mancanti, stringhe vuote, valori non finiti, n non intero, n inferiore a uno, n sopra il massimo pubblicato, e r uguale a zero quando n è maggiore di uno falliscono con invalid_input e un messaggio che nomina il problema. In caso di successo il corpo include term, r e n normalizzati; first_term come valore iniziale recuperato; ratio_power come r elevato a n meno uno; formula come l'identità di recupero; e max_n affinché i client convalidino i lotti prima dell'invio. Esempio: term uguale a centosessantadue, r uguale a tre, n uguale a cinque produce first_term uguale a due, perché due per tre alla quarta è centosessantadue. Altro esempio: term uguale a cinque, r uguale a uno, n uguale a quattro produce first_term uguale a cinque, perché ogni termine è a1 quando la ragione è uno. Abbini questo recupero inverso a uno strumento di progressione geometrica diretta quando le servirà l'n-esimo termine o la somma finita da un primo termine noto; mantenga questo endpoint incentrato sulla domanda del primo termine affinché l'intento di ricerca e il contratto API restino chiari.
Dove uno strumento di recupero del primo termine dimostra il suo valore
Poiché l'implementazione è parse di livello A puro, ogni chiamata riuscita costa il prezzo base pubblicato $0.002 senza token di modello e senza rete in uscita.
Casi di integrazione
Controllo di compiti ed esami
Ricavi a1 quando un foglio di lavoro fornisce un termine successivo a_n, la sua posizione n e la ragione comune r, e verifichi le risposte con i metodi del libro di testo.
Oracoli LMS e di correzione automatica
Valuti gli item del primo termine geometrico con un'API deterministica che rifiuta n non valido o ragione zero dopo la prima posizione.
Domande tecniche
Come si trova il primo termine di una progressione geometrica da un termine noto?
Invii il termine noto a_n come term, la sua posizione da uno come n e la ragione comune come r. L'API restituisce a1 = a_n / r^(n-1).
Cosa succede se n è 1?
Quando il termine noto è già il primo, first_term è uguale a term e r^(n-1) vale 1 per qualsiasi r finito.
La ragione comune può essere zero?
Solo quando n è 1. Se n è maggiore di 1, r deve essere non nullo; altrimenti il recupero divide per zero e l'attività fallisce con invalid_input.
In cosa differisce da un calcolatore di progressione geometrica?
Un calcolatore diretto parte da a1 e produce a_n (e spesso la somma finita). Questo strumento è l'inverso: ricava a1 da un termine successivo noto, n e r.
Quanto costa il calcolatore del primo termine di progressione geometrica?
Lo strumento nel browser è gratuito. Le richieste API usano il saldo KIT prepagato a $0.002 per chiamata riuscita; l'input non valido non viene addebitato.