Erstes Glied geometrischer Folge
Rechnen Sie in einer geometrischen Folge zurück zum Anfang: Ist das fünfte Glied 162 und der Quotient 3, so ist das erste Glied 2, denn 162 geteilt durch 81 ergibt 2. Kostenlos in Ihrem Browser.
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Rechenbeispiel
- Glied
- 162
- Widerstand (Ω)
- 3
- N
- 5
- Erstes Glied
- 2
- Potenz des Quotienten
- 81
- Max n
- 10.000
Das erste Glied einer geometrischen Folge zu rekonstruieren ist ein klassisches inverses Problem: Sie kennen bereits einen späteren Wert, seine Position in der Liste und den festen Multiplikator zwischen aufeinanderfolgenden Gliedern und brauchen den Startwert, der die Folge konsistent macht. Lernende prüfen damit Hausaufgaben, wenn ein Arbeitsblatt das fünfte oder zehnte Glied statt a1 angibt. Lehrkräfte und Prüfungsgeneratoren brauchen ein Orakel, das unmögliche Fälle wie Quotient null nach der ersten Position ablehnt.
Rückwärts durch eine geometrische Folge
In einer geometrischen Folge entsteht jedes Glied aus dem vorherigen durch Multiplikation mit derselben Zahl, dem Quotienten. Kennen Sie ein späteres Glied, seine Stelle und den Quotienten, können Sie zum Anfang zurückgehen: Teilen Sie das bekannte Glied für jeden Schritt bis zur ersten Stelle einmal durch den Quotienten. Das entspricht einer Division durch den Quotienten hoch Stelle minus eins. Beim fünften Glied 162 und dem Quotienten 3 teilen Sie viermal durch 3 oder einmal durch 81 und erhalten 2.
Wofür es nützt und typische Fehler
Arbeitsblätter nennen oft das fünfte oder zehnte Glied statt des ersten, und eine schnelle Kontrolle spart Nacharbeit. Dieselbe Rückrechnung liefert auch den Startwert eines Vorgangs, der bei jedem Schritt mit einem festen Faktor wächst. Der häufigste Fehler ist, den Quotienten mit der Stelle selbst zu potenzieren statt mit der Stelle minus eins. Ebenso häufig wird eine arithmetische Folge wie eine geometrische behandelt: Wachsen die Glieder durch Addition, passt dieses Verfahren nicht.
Was die Rekonstruktion von a1 in einer geometrischen Folge bedeutet
Eine geometrische Folge ist durch ein erstes Glied a1 und einen gemeinsamen Quotienten r definiert: Jedes Glied nach dem ersten ist das vorige multipliziert mit r, sodass die Glieder a1, a1 mal r, a1 mal r im Quadrat und so weiter lauten. Genau das liefert dieser Rechner für das erste Glied einer geometrischen Folge. Wenn n größer als eins ist, muss der Quotient ungleich null sein; sonst ist die Potenz von r null und die Division kann keinen eindeutigen Startwert rekonstruieren.
Negative Quotienten sind erlaubt und erzeugen alternierende Folgen; gebrochene Quotienten lassen die Glieder gegen null schrumpfen, wenn der Absolutbetrag von r kleiner als eins ist. Unendliche Reihensummen und die Erzeugung des n-ten Glieds aus bekanntem a1 liegen außerhalb des Umfangs dieser Seite: Die Suchintention hier ist speziell das erste Glied aus einem späteren bekannten Glied zu finden.
Wo ein Werkzeug zur Rekonstruktion des ersten Glieds seinen Nutzen zeigt
Im Unterricht tritt dieses Problem auf, wenn eine Textaufgabe sagt, das fünfte Glied einer geometrischen Folge sei hundertzweiundsechzig und der gemeinsame Quotient drei, und dann das erste Glied verlangt. Tutorenplattformen und Prüfungsgeneratoren brauchen ein deterministisches Orakel, das einen Nullquotienten nach Position eins als falsch markiert, statt ein beliebiges a1 zu erfinden. Ingenieur-Notizbücher messen manchmal einen Wert am Schritt n eines Prozesses, der mit festem Gewinn multipliziert, und müssen die Anfangsbedingung zurücklösen, ohne ein volles Computer-Algebra-System aufzusetzen.
Fehlgeschlagene Validierung wird nicht berechnet. Nutzen Sie eigene Werkzeuge für arithmetische Folgen, unendliche geometrische Reihensummen und Verteilungswahrscheinlichkeiten, wenn das die echten Suchintentionen sind; diese Fähigkeit existiert nur, um a1 aus term, n und r zu rekonstruieren.
Anwendungsfälle
Anfangsbedingungen rückwärts lösen
Bei einem Messwert am Schritt n unter festem multiplikativem Gewinn r rekonstruieren Sie den Startwert ohne vollständige Computer-Algebra-Bibliothek.
Häufige Fragen
Wie berechne ich das erste Glied einer geometrischen Folge?
Teilen Sie das bekannte Glied durch den Quotienten hoch seiner Stelle minus eins. Für das fünfte Glied teilen Sie durch die vierte Potenz des Quotienten.
Wie lautet das erste Glied, wenn das fünfte 162 ist und der Quotient 3?
Das erste Glied ist 2. Drei hoch vier ergibt 81, und 162 geteilt durch 81 ist 2. Multipliziert man 2 viermal mit 3, kommt man wieder bei 162 an.
Warum wird ein Quotient von null abgelehnt?
Bei einem Quotienten von null sind alle Glieder nach dem ersten null, ein späteres Glied verrät also nichts über den Anfang. Statt einen Wert zu erfinden, lehnt der Rechner diesen Fall ab.
Funktioniert das auch für eine arithmetische Folge?
Nein. Eine arithmetische Folge addiert bei jedem Schritt denselben Betrag, statt zu multiplizieren, daher passt diese Rückrechnung nicht. Nutzen Sie dafür ein Werkzeug für arithmetische Folgen.
Verwandte Tools
Für Entwickler — API-Zugang
Alles auf dieser Seite ist auch per API verfügbar. Dieser Abschnitt richtet sich an Teams, die es in ihre eigenen Systeme einbinden möchten; alle anderen nutzen einfach das Tool oben.
Endpunkt
Authentifizierung per Bearer-Token. Ein einziger POST stellt die Aufgabe in die Warteschlange; das Ergebnis erhalten Sie per Webhook oder über einen signierten Link.
Aufruf aus Ihrem Stack
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/algebra/geometric-first-term \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"term":162,"r":3,"n":5}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/algebra/geometric-first-term", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"term": 162,
"r": 3,
"n": 5
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/algebra/geometric-first-term",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"term": 162,
"r": 3,
"n": 5
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/algebra/geometric-first-term", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"term":162,"r":3,"n":5}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"term":162,"r":3,"n":5}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/algebra/geometric-first-term", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Beispiel-Anfrage
{
"term": 162,
"r": 3,
"n": 5
}Beispiel-Antwort
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "algebra.geometric_first_term",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}Die API arbeitet asynchron: Sie erhalten sofort eine task_id. Polling ist mit 1 Anfrage pro Sekunde erlaubt.
Preis
Der Preis steht auf der Seite – keine Tokens, keine Credits. Fehlgeschlagene Aufgaben werden nicht berechnet.
Fehler
| HTTP | Code | Bedeutung |
|---|---|---|
401 | unauthorized | Der API-Schlüssel fehlt oder ist ungültig – prüfen Sie den Authorization-Header (Bearer). |
402 | insufficient_balance | Ihr Guthaben reicht für diese Aufgabe nicht aus – Aufladungen verfallen nicht. |
404 | unknown_type | Unbekannter Aufgabentyp – prüfen Sie das Feld „type“ gegen den Katalog. |
429 | rate_limited | Zu viele Anfragen – warten Sie kurz; Polling ist mit 1 Anfrage pro Sekunde erlaubt. |
Technische Hinweise
Dieser Rechner für das erste Glied einer geometrischen Folge wendet die geschlossene Identität a1 gleich a_n geteilt durch r hoch n minus eins an, sodass ein einziger deterministischer Aufruf die fehleranfällige Handrechnung bei großen Exponenten ersetzt. Der kostenlose Browserpfad und der API-Pfad teilen ein reines Modul, sodass Unterrichtsdemos und Produktionspipelines beim rekonstruierten Startglied nie auseinanderlaufen.
Was die Rekonstruktion von a1 in einer geometrischen Folge bedeutet
Das Glied an der von eins aus gezählten Position n ist daher a_n gleich a1 mal r hoch n minus eins. Wenn ein Lehrbuch, eine Tabelle oder ein Sensorprotokoll Ihnen a_n, n und r, aber nicht a1 liefert, ordnen Sie diese Identität um: a1 gleich a_n geteilt durch r hoch n minus eins. Wenn n eins ist, ist das bekannte Glied bereits das erste, der Exponent ist null, jedes endliche r ergibt die Potenz eins, und first_term wiederholt einfach das Eingangsglied. Die Antwort wiederholt term, r und n, meldet first_term gerundet für stabile Anzeige, enthält das Zwischenresultat ratio_power, damit Lernende die Division von Hand prüfen können, und nennt die Formelzeichenkette a1 gleich a_n über r hoch n minus eins.
Eingabevertrag, Antwortform und Validierungsregeln
Senden Sie einen JSON-Körper mit drei Pflichtfeldern: term, dem endlichen Wert des bekannten Glieds a_n; r, dem endlichen gemeinsamen Quotienten; und n, der von eins aus gezählten ganzzahligen Position dieses Glieds zwischen eins und zehntausend. Bevorzugte Namen sind term, r und n; die Aliase an, a_n, known_term und value mappen auf term; ratio und common_ratio auf r; position, index und k auf n. Zahlen dürfen als JSON-Zahlen oder als dezimale Zeichenketten für Formulare und Tabellenexporte ankommen. Fehlende Felder, leere Zeichenketten, nicht endliche Werte, nicht ganzzahliges n, n unter eins, n über dem veröffentlichten Maximum und r gleich null bei n größer eins scheitern mit invalid_input und einer Meldung, die das Problem benennt. Diese Validierungsfehler werden nicht berechnet. Bei Erfolg enthält der Körper die normalisierten term, r und n; first_term als rekonstruierten Startwert; ratio_power als r hoch n minus eins; formula als die Rekonstruktionsidentität; und max_n, damit Clients Batches vor dem Senden prüfen können. Beispiel: term gleich hundertzweiundsechzig, r gleich drei, n gleich fünf ergibt first_term gleich zwei, weil zwei mal drei hoch vier hundertzweiundsechzig ist. Weiteres Beispiel: term gleich fünf, r gleich eins, n gleich vier ergibt first_term gleich fünf, weil jedes Glied a1 ist, wenn der Quotient eins ist. Kombinieren Sie diese inverse Rekonstruktion mit einem Vorwärts-Werkzeug für geometrische Folgen, wenn Sie als Nächstes das n-te Glied oder die endliche Summe aus bekanntem erstem Glied brauchen; halten Sie diesen Endpunkt auf die Frage nach dem ersten Glied fokussiert, damit Suchintention und API-Vertrag klar bleiben.
Wo ein Werkzeug zur Rekonstruktion des ersten Glieds seinen Nutzen zeigt
Weil die Implementierung reines Parse-Tier-A ist, kostet jeder erfolgreiche Aufruf den veröffentlichten Basispreis $0.002 ohne Modell-Tokens und ohne ausgehendes Netz.
Integrationsbeispiele
Hausaufgaben- und Prüfungskontrolle
Rekonstruieren Sie a1, wenn ein Arbeitsblatt ein späteres Glied a_n, seine Position n und den gemeinsamen Quotienten r angibt, und prüfen Sie Antworten gegen Lehrbuchmethoden.
LMS- und Auto-Bewertungsorakel
Bewerten Sie Aufgaben zum ersten geometrischen Glied mit einer deterministischen API, die ungültiges n oder Nullquotient nach der ersten Position ablehnt.
Technische Fragen
Wie finde ich das erste Glied einer geometrischen Folge aus einem bekannten Glied?
Senden Sie das bekannte Glied a_n als term, seine von eins aus gezählte Position als n und den gemeinsamen Quotienten als r. Die API liefert a1 = a_n / r^(n-1).
Was gilt, wenn n 1 ist?
Wenn das bekannte Glied bereits das erste ist, ist first_term gleich term und r^(n-1) ist 1 für jedes endliche r.
Darf der gemeinsame Quotient null sein?
Nur wenn n 1 ist. Ist n größer als 1, muss r ungleich null sein; sonst teilt die Rekonstruktion durch null und die Aufgabe scheitert mit invalid_input.
Worin unterscheidet sich das von einem Rechner für geometrische Folgen?
Ein Vorwärtsrechner startet bei a1 und erzeugt a_n (und oft die endliche Summe). Dieses Werkzeug ist die Inverse: Es rekonstruiert a1 aus einem späteren bekannten Glied, n und r.
Was kostet der Rechner für das erste Glied einer geometrischen Folge?
Das Browser-Werkzeug ist kostenlos. API-Anfragen nutzen vorausbezahltes KIT-Guthaben zu $0.002 pro erfolgreichem Aufruf; ungültige Eingabe wird nicht berechnet.