ForHosting KIT · Matemática

Primeiro termo de sequência geométrica

Volte ao início de uma progressão geométrica: se o quinto termo é 162 e a razão é 3, o primeiro termo é 2, porque 162 dividido por 81 dá 2. Grátis no seu navegador.

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Exemplo resolvido

Se você digitar

Termo: 162
Resistência (Ω): 3
N: 5

Você obtém

Primeiro termo: 2
Potência da razão: 81
Max n: 10.000

Recuperar o primeiro termo de uma sequência geométrica é um problema inverso clássico: você já conhece um valor posterior, sua posição na lista e o multiplicador fixo entre termos consecutivos, e precisa do valor inicial que torna a progressão consistente. Estudantes usam para conferir lições de casa quando a folha dá o quinto ou décimo termo em vez de a1. Professores e geradores de exames precisam de um oráculo que rejeite casos impossíveis, como razão zero após a primeira posição.

O que significa recuperar a1 em uma progressão geométrica

Uma sequência geométrica é definida por um primeiro termo a1 e uma razão comum r: cada termo após o primeiro é o anterior multiplicado por r, de modo que os termos são a1, a1 vezes r, a1 vezes r ao quadrado, e assim por diante. É exatamente o que esta calculadora do primeiro termo de sequência geométrica devolve. Quando n é maior que um, a razão deve ser não nula; caso contrário a potência de r é zero e a divisão não recupera um valor inicial único.

Razões negativas são permitidas e produzem sequências alternadas; razões fracionárias aproximam os termos de zero quando o valor absoluto de r é menor que um. Somas de séries infinitas e geração do n-ésimo termo a partir de um a1 conhecido estão fora do escopo desta página: a intenção de busca aqui é especificamente achar o primeiro termo a partir de um termo posterior conhecido.

Onde uma ferramenta de recuperação do primeiro termo se justifica

As salas de aula encontram este problema quando um enunciado diz que o quinto termo de uma progressão geométrica é cento e sessenta e dois e a razão comum é três, e pede o primeiro termo. Plataformas de tutoria e geradores de preparação para exames precisam de um oráculo determinístico que marque como errada uma razão zero após a posição um em vez de inventar um a1 arbitrário.

Cadernos de engenharia às vezes observam um valor medido no passo n de um processo que multiplica por um ganho fixo a cada passo e precisam resolver de trás a condição inicial sem montar um sistema completo de álgebra computacional. Validação falha não consome saldo. Use ferramentas dedicadas para sequências aritméticas, somas de séries geométricas infinitas e probabilidades de distribuição quando essas forem as intenções reais de busca; esta capacidade existe apenas para recuperar a1 a partir de term, n e r.

Casos de uso

Resolver condições iniciais de trás para frente

Dado um valor medido no passo n sob ganho multiplicativo fixo r, recupere o valor inicial sem uma biblioteca completa de álgebra computacional.

Perguntas frequentes

Como isso difere de uma calculadora de sequência geométrica?

Esta ferramenta é a inversa: recupera a1 a partir de um termo posterior conhecido, n e r.

Como calcular o primeiro termo de uma progressão geométrica?

Divida o termo conhecido pela razão elevada a uma unidade a menos que a posição dele. Para o quinto termo, divida pela razão elevada à quarta potência.

Qual é o primeiro termo se o quinto é 162 e a razão é 3?

O primeiro termo é 2. Três elevado à quarta é 81, e 162 dividido por 81 dá 2. Multiplicando 2 por 3 quatro vezes, você volta a 162.

Por que uma razão igual a zero é recusada?

Com razão zero, todos os termos depois do primeiro valem zero, então um termo posterior não informa nada sobre o início. Em vez de inventar um valor, a calculadora recusa esse caso.

Serve para uma progressão aritmética?

Não. Uma progressão aritmética soma o mesmo valor a cada passo em vez de multiplicar, então esse cálculo de volta não se aplica. Use uma ferramenta feita para progressões aritméticas.

Ferramentas relacionadas

Para desenvolvedores — acesso via API

Tudo nesta página está disponível via API. Esta seção é para equipes que querem integrar a ferramenta aos próprios sistemas; quem não precisa disso pode simplesmente usar a ferramenta acima.

Endpoint

POSThttps://api.kit.forhosting.com/algebra/geometric-first-term

Autenticação por token Bearer. Um único POST coloca a tarefa na fila; o resultado chega por webhook ou link assinado.

Chame do seu código

curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/algebra/geometric-first-term \
  -H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
  -H "Content-Type: application/json" \
  -d '{"term":162,"r":3,"n":5}'

const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/algebra/geometric-first-term", {
  method: "POST",
  headers: {
    "Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
    "Content-Type": "application/json"
  },
  body: JSON.stringify({
    "term": 162,
    "r": 3,
    "n": 5
  })
});
const { task_id } = await res.json();

import os, requests

res = requests.post(
    "https://api.kit.forhosting.com/algebra/geometric-first-term",
    headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
    json={
    "term": 162,
    "r": 3,
    "n": 5
},
)
task_id = res.json()["task_id"]

<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/algebra/geometric-first-term", false, stream_context_create([
  "http" => [
    "method"  => "POST",
    "header"  => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
    "content" => '{"term":162,"r":3,"n":5}',
  ],
]));
$task = json_decode($res, true);

body := bytes.NewBufferString(`{"term":162,"r":3,"n":5}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/algebra/geometric-first-term", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)

Exemplo de requisição

{
  "term": 162,
  "r": 3,
  "n": 5
}

Exemplo de resposta

{
  "task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
  "type": "algebra.geometric_first_term",
  "status": "queued",
  "_links": {
    "result": "/tasks/tsk_…/result"
  }
}

A API é assíncrona: cada chamada devolve um task_id na hora. Se preferir polling, consulte o status a até 1 requisição por segundo.

Preço

por chamadaUS$ 0,002

Preço publicado, sem tokens nem créditos escondidos. Tarefa que falha não é cobrada.

Erros

HTTP	Código	O que significa
`401`	`unauthorized`	Token ausente ou inválido. Confira o header Authorization.
`402`	`insufficient_balance`	Saldo insuficiente para esta tarefa. Faça uma recarga e tente de novo.
`404`	`unknown_type`	Esse tipo de tarefa não existe. Confira o campo type no catálogo.
`429`	`rate_limited`	Muitas requisições em pouco tempo. Espere um instante e tente de novo.

Notas técnicas

Esta calculadora do primeiro termo de sequência geométrica aplica a identidade fechada a1 igual a a_n dividido por r elevado a n menos um, de modo que uma única chamada determinística substitui a aritmética no papel, fácil de errar quando os expoentes crescem. O caminho gratuito do navegador e o da API compartilham um módulo puro, então demos de sala de aula e pipelines de produção nunca divergem no termo inicial recuperado.

O que significa recuperar a1 em uma progressão geométrica

O termo na posição n (contada a partir de um) é portanto a_n igual a a1 vezes r elevado a n menos um. Quando um livro, planilha ou registro de sensores entrega a_n, n e r mas não a1, você reordena essa identidade: a1 igual a a_n dividido por r elevado a n menos um. Quando n é um, o termo conhecido já é o primeiro, o expoente é zero, qualquer r finito produz potência um, e first_term simplesmente ecoa o termo de entrada. A resposta ecoa term, r e n, informa first_term arredondado para exibição estável, inclui o ratio_power intermediário para o aluno verificar a divisão à mão, e declara a string de fórmula a1 igual a a_n sobre r elevado a n menos um.

Contrato de entrada, formato da resposta e regras de validação

Envie um corpo JSON com três campos obrigatórios: term, o valor finito do termo conhecido a_n; r, a razão comum finita; e n, a posição inteira a partir de um desse termo entre um e dez mil. Os nomes preferidos são term, r e n; os aliases an, a_n, known_term e value mapeiam para term; ratio e common_ratio para r; position, index e k para n. Números podem chegar como números JSON ou como strings decimais adequadas a formulários e exportações de planilha. Campos ausentes, strings vazias, valores não finitos, n não inteiro, n abaixo de um, n acima do máximo publicado, e r igual a zero quando n é maior que um falham com invalid_input e uma mensagem que nomeia o problema. Essas falhas de validação não são cobradas. No sucesso o corpo inclui term, r e n normalizados; first_term como valor inicial recuperado; ratio_power como r elevado a n menos um; formula como a identidade de recuperação; e max_n para que clientes validem lotes antes de enviar. Exemplo: term igual a cento e sessenta e dois, r igual a três, n igual a cinco produz first_term igual a dois, porque dois vezes três à quarta é cento e sessenta e dois. Outro exemplo: term igual a cinco, r igual a um, n igual a quatro produz first_term igual a cinco, porque todo termo é a1 quando a razão é um. Combine esta recuperação inversa com uma ferramenta de sequência geométrica para frente quando precisar do n-ésimo termo ou da soma finita a partir de um primeiro termo conhecido; mantenha este endpoint focado na pergunta do primeiro termo para que a intenção de busca e o contrato da API permaneçam claros.

Onde uma ferramenta de recuperação do primeiro termo se justifica

Como a implementação é parse de nível A puro, cada chamada bem-sucedida custa o preço base publicado US$ 0,002 sem tokens de modelo e sem rede de saída.

Casos de integração

Conferência de lições e exames

Recupere a1 quando uma folha de exercícios dá um termo posterior a_n, sua posição n e a razão comum r, e confira as respostas com os métodos do livro.

Oráculos LMS e de correção automática

Avalie itens do primeiro termo geométrico com uma API determinística que rejeita n inválido ou razão zero após a primeira posição.

Perguntas técnicas

Como achar o primeiro termo de uma sequência geométrica a partir de um termo conhecido?

Envie o termo conhecido a_n como term, sua posição a partir de um como n e a razão comum como r. A API devolve a1 = a_n / r^(n-1).

E se n for 1?

Quando o termo conhecido já é o primeiro, first_term é igual a term e r^(n-1) vale 1 para qualquer r finito.

A razão comum pode ser zero?

Somente quando n é 1. Se n for maior que 1, r deve ser não nulo; caso contrário a recuperação divide por zero e a tarefa falha com invalid_input.

Quanto custa a calculadora do primeiro termo de sequência geométrica?

A ferramenta no navegador é gratuita. Pedidos à API usam saldo KIT pré-pago a US$ 0,002 por chamada bem-sucedida; entrada inválida não é cobrada.

Ver a documentação completa do KIT →

Executar grátis

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O que significa recuperar a1 em uma progressão geométrica

Onde uma ferramenta de recuperação do primeiro termo se justifica

Casos de uso

Resolver condições iniciais de trás para frente

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Ferramentas relacionadas

Para desenvolvedores — acesso via API

Endpoint

Chame do seu código

Exemplo de requisição

Exemplo de resposta

Preço

Erros

Notas técnicas

O que significa recuperar a1 em uma progressão geométrica

Contrato de entrada, formato da resposta e regras de validação

Onde uma ferramenta de recuperação do primeiro termo se justifica

Casos de integração

Conferência de lições e exames

Oráculos LMS e de correção automática

Perguntas técnicas

obrigado