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三角関数の厳密値

Q: 負の角度や終辺が一致する角度に対応していますか？

はい。 角度はまず単位円上に正規化されるため、−45°, 315°, 7π/4 はすべて正しい象限の符号で同じ結果を返します。

電卓ではsin 45°は0.70710678と表示されますが、ここでは教科書や試験で求められる厳密な√2/2が得られます。単位円の標準角に対応し、度数法でも弧度法でも使えます。ブラウザで無料で使えます。

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ご利用方法ウェブAPIメールTelegramアプリ近日

計算例

入力した場合

関数: cos
角度: 45

結果

角度 (°): 45
角度 (rad): π/4
完全一致: √2/2
10進数: 0.7071067812

標準角度の sin, cos, tan, csc, sec, cot の厳密な値は何か、という問いです。関数名と度数法または弧度法の角度を送ると、√2/2 や √3/3 のような根号・有理数の文字列として値が返り、12桁の小数近似と単位円上で正規化された角度も一緒に得られます。浮動小数点のずれも電卓の丸めもなく、教科書が求める閉形式の答えそのものです。

なぜ小数より厳密値が重要なのか

電卓は sin(45°) が 0.70710678 だと教えてくれますが、その小数は本当の答えである √2/2 の近似にすぎません。代数、微積分準備、物理、工学で実際に重要なのは根号の形です。後の計算で約分でき、恒等式を証明でき、試験や教科書が求める形でもあります。

この機能は 三角関数の厳密値 を 1/2, √3/2, 2√3/3, √2 のような閉形式の文字列として返します。長い小数を目で見て推測する必要はありません。関数名と標準角度を送れば、黒板に先生が書くような値が、確認用に12桁へ丸めた小数近似と一緒に返ってきます。

結果は文字列と正規化された角度なので、後続のコードは浮動小数点の曖昧さなしに、表示・比較・数式処理パイプラインへの受け渡しができます。

対応する角度と関数

受け付ける角度は単位円の16の標準点です。0°, 30°, 45°, 60°, 90° と、330° までのすべての終辺が一致する倍数、つまり 120°, 135°, 150°, 180°, 210°, 225°, 240°, 270°, 300°, 315°, 330°、または π/6, 3π/4, 7π/4 のような弧度法の同等値です。

6つの三角関数すべてが使えます。sin, cos, tan は直接、csc, sec, cot は厳密な逆数として扱われるので、csc(30°) は 2、sec(45°) は √2 と、説明のない小数ではなく返ります。角度は参照前に正規化されるため、−45°, 315°, 7π/4 はすべて同じ点に解決されます。

符号は ASTC 規則により象限に自動的に従うので、sin(210°) は正しく −1/2 を返します。tan(90°) や csc(180°) のような存在しない値は、でっち上げの無限大ではなく defined が false として返ります。逆数の値は常に教科書が書く通りに有理化されます。

sec(30°) には 2√3/3 が返り、単純な逆数が生み出す有理化されていない 2/√3 にはなりません。

計算の仕組みと料金

実装は数値ソルバーではなく、決定的なテーブル参照です。角度は 360° の剰余で還元され、標準セットと照合され、鋭角の参照角に対応付けられ、象限の符号と組み合わされます。逆数関数も同じテーブルから 2√3/3 のような有理化された形で導出されます。

ネットワーク呼び出しも乱数も日付への依存もないため、同じ入力は常にバイト単位で同一の出力を生みます。答えを自動採点システムや数式処理パイプラインに流す場合、まさにこれが求める性質です。任意の角度には閉形式の根号による厳密値が存在しないからです。

同じコードはこのページのブラウザ上で無料で動きます。

活用例

宿題の答えをすぐ確認

微積分準備の課題を提出する前に、cos(135°) が本当に −√2/2 かを度数法でも弧度法でも確認できます。

数式処理パイプラインへの入力

csc(60°) に対して 2√3/3 のような閉形式の根号文字列を取得し、CASや採点スクリプトが厳密に比較できます。

単位円を対話的に教える

すべての標準角度で6つの関数を照会し、フラッシュカード、クイズ、単位円の可視化を作成できます。

よくある質問

どの関数に対応していますか？

sin, cos, tan, csc, sec, cot の6つすべてに対応し、sine や cotangent のような長い名前も使えます。

どの角度が受け付けられますか？

単位円の16の標準角度です。0°, 30°, 45°, 60°, 90° と 330° までの終辺が一致する倍数で、度数法でも弧度法でも指定できます。22° のような非標準の角度は、単純な閉形式の値が存在しないため拒否されます。

負の角度や終辺が一致する角度に対応していますか？

はい。角度はまず単位円上に正規化されるため、−45°, 315°, 7π/4 はすべて正しい象限の符号で同じ結果を返します。

tan 90°のように値が存在しない場合はどうなりますか？

無限大のような値を作らず、その角度では定義されないことをはっきり示します。csc 180°なども同じ扱いで、存在しない値が答えとして紛れ込むことはありません。

22°のような角度の厳密値も求められますか？

求められません。根号を使った閉じた形では表せないため、近似値でごまかさずに受け付けません。対象は0°、30°、45°、60°、90°とその倍数にあたる単位円上の16の標準角です。

開発者向け — APIアクセス

このページの機能はすべてAPIからも利用できます。自社システムに組み込みたいチーム向けのセクションです。それ以外の方は上のツールをそのままお使いください。

エンドポイント

POSThttps://api.kit.forhosting.com/math/exact-value-of-trig-functions

Bearerトークンで認証し、POST1回でタスクをキューに登録します。結果はWebhookまたは署名付きリンクで受け取れます。

お使いのスタックから呼び出す

curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/math/exact-value-of-trig-functions \
  -H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
  -H "Content-Type: application/json" \
  -d '{"function":"cos","angle":45}'

const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/math/exact-value-of-trig-functions", {
  method: "POST",
  headers: {
    "Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
    "Content-Type": "application/json"
  },
  body: JSON.stringify({
    "function": "cos",
    "angle": 45
  })
});
const { task_id } = await res.json();

import os, requests

res = requests.post(
    "https://api.kit.forhosting.com/math/exact-value-of-trig-functions",
    headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
    json={
    "function": "cos",
    "angle": 45
},
)
task_id = res.json()["task_id"]

<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/math/exact-value-of-trig-functions", false, stream_context_create([
  "http" => [
    "method"  => "POST",
    "header"  => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
    "content" => '{"function":"cos","angle":45}',
  ],
]));
$task = json_decode($res, true);

body := bytes.NewBufferString(`{"function":"cos","angle":45}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/math/exact-value-of-trig-functions", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)

リクエスト例

{
  "function": "cos",
  "angle": 45
}

レスポンス例

{
  "task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
  "type": "math.exact_value_of_trig_functions",
  "status": "queued",
  "_links": {
    "result": "/tasks/tsk_…/result"
  }
}

非同期APIです。task_idは即時に返ります。ポーリングは1秒あたり1リクエストまでです。

料金

1リクエストあたり$0.002

単価はすべて公開しています。トークン換算や独自クレジットはありません。失敗したタスクは課金されません。

エラー

HTTP	コード	意味
`401`	`unauthorized`	APIキーが無効か、指定されていません。Authorizationヘッダーを確認してください。
`402`	`insufficient_balance`	残高が不足しています。チャージ後に再度お試しください。
`404`	`unknown_type`	指定されたタスクタイプは存在しません。タイプ名を確認してください。
`429`	`rate_limited`	リクエストが多すぎます。しばらく待ってから再度お試しください。

技術的な注記

三角関数の厳密値APIは、宿題や工学でおなじみの疑問に答えます。

計算の仕組みと料金

22° のような非標準の角度は、誤解を招く近似ではなく明確な invalid_input エラーで拒否されます。ご自身のアプリケーションから自動化する場合のAPIは1呼び出しにつき $0.002 です。

技術的な質問

料金はいくらですか？

API呼び出し1回につき $0.002 です。このページのブラウザ上では無料で実行できます。

tan(90°) のような未定義の値はどうなりますか？

レスポンスでは defined が false に設定され、exact と decimal のフィールドが省略されます。無限大やエラーは返されません。

KITの完全なドキュメントを見る →

三角関数の厳密値

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計算例

なぜ小数より厳密値が重要なのか

対応する角度と関数

計算の仕組みと料金

活用例

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数式処理パイプラインへの入力

単位円を対話的に教える

よくある質問

関連ツール

開発者向け — APIアクセス

エンドポイント

お使いのスタックから呼び出す

リクエスト例

レスポンス例

料金

エラー

技術的な注記

計算の仕組みと料金

技術的な質問

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