Exakte Werte trigonometrischer Funktionen
Ein Taschenrechner zeigt sin 45° als 0,70710678; hier erhalten Sie den exakten Wert √2/2, den Lehrbuch und Prüfung verlangen. Alle sechs Winkelfunktionen an den Standardwinkeln des Einheitskreises, in Grad oder Bogenmaß, mit Dezimalkontrolle. Kostenlos in Ihrem Browser.
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Rechenbeispiel
- Funktion
- cos
- Winkel
- 45
- Winkel (°)
- 45
- Winkel (rad)
- π/4
- Exakt
- √2/2
- Dezimal
- 0,7071067812
Senden Sie einen Funktionsnamen und einen Winkel in Grad oder Radiant und erhalten Sie den Wert als Wurzel- oder Bruchterm zurück — etwa √2/2 oder √3/3 — zusammen mit einer Näherung auf zwölf Dezimalstellen und dem normierten Winkel auf dem Einheitskreis. Keine Gleitkomma-Abweichungen, keine Taschenrechner-Rundung, nur die geschlossene Form, die Ihr Lehrbuch erwartet.
Warum exakte Werte mehr zählen als Dezimalzahlen
Der Taschenrechner sagt Ihnen gern, dass sin(45°) gleich 0.70710678 sei, doch diese Dezimalzahl ist nur eine Näherung an die eigentliche Antwort, √2/2. In Algebra, Vorkurs-Mathematik, Physik und Technik zählt die Wurzelform: Sie kürzt sich in späteren Schritten, beweist eine Identität und ist genau das, was Prüfungen und Lehrbücher verlangen. Diese Fähigkeit liefert den exakten Wert trigonometrischer Funktionen als geschlossene Terme — 1/2, √3/2, 2√3/3, √2 — statt Sie eine lange Dezimalzahl selbst erkennen zu lassen.
Sie senden einen Funktionsnamen und einen Standardwinkel und erhalten den Wert, den Ihre Lehrkraft an die Tafel schreiben würde, plus eine Näherung auf zwölf Stellen zur Kontrolle. Da das Ergebnis aus Zeichenkette und normiertem Winkel besteht, kann nachgelagerter Code es anzeigen, vergleichen oder in eine symbolische Pipeline einspeisen — ganz ohne Gleitkomma-Unklarheiten.
Welche Winkel und Funktionen abgedeckt sind
Akzeptiert werden die sechzehn Standardpunkte des Einheitskreises: 0°, 30°, 45°, 60°, 90° sowie alle koterminalen Vielfachen bis 330° — also 120°, 135°, 150°, 180°, 210°, 225°, 240°, 270°, 300°, 315° und 330°, oder die Radiant-Entsprechungen wie π/6, 3π/4 und 7π/4. Alle sechs Winkelfunktionen funktionieren: sin, cos und tan direkt sowie csc, sec und cot als exakte Kehrwerte, sodass csc(30°) als 2 und sec(45°) als √2 zurückkommt statt als unerklärte Dezimalzahl. Winkel werden vor dem Nachschlagen normiert, daher landen −45°, 315° und 7π/4 am selben Punkt.
Vorzeichen folgen automatisch dem Quadranten nach der ASTC-Regel, sodass sin(210°) korrekt −1/2 liefert. Werte, die nicht existieren — wie tan(90°) oder csc(180°) — kommen mit defined gleich false zurück statt mit einem erfundenen Unendlich. Kehrwerte werden stets lehrbuchgerecht rationalisiert: Sie erhalten 2√3/3 für sec(30°), niemals das ungekürzte 2/√3, das ein naiver Kehrwert erzeugen würde.
Wie die Berechnung funktioniert und was sie kostet
Die Umsetzung ist ein deterministischer Tabellenzugriff, kein numerischer Löser. Ihr Winkel wird modulo 360° reduziert, gegen die Standardmenge geprüft, auf seinen spitzen Referenzwinkel abgebildet und mit einem Quadranten-Vorzeichen kombiniert; Kehrwertfunktionen werden aus derselben Tabelle mit rationalisierten Formen wie 2√3/3 abgeleitet. Es gibt keinen Netzwerkaufruf, keinen Zufall und keine Datumsabhängigkeit, daher erzeugt dieselbe Eingabe stets eine byte-identische Ausgabe — genau das, was Sie wollen, wenn die Antwort eine automatische Bewertung oder eine symbolische Pipeline speist.
Anwendungsfälle
Hausaufgaben sofort prüfen
Vergewissern Sie sich vor der Abgabe einer Vorkurs-Aufgabe, dass cos(135°) wirklich −√2/2 ist — in Grad oder Radiant.
Eine symbolische Mathe-Pipeline speisen
Erhalten Sie geschlossene Wurzelterme wie 2√3/3 für csc(60°), die ein CAS oder Bewertungsskript exakt vergleichen kann.
Den Einheitskreis interaktiv lehren
Fragen Sie alle sechs Funktionen an jedem Standardwinkel ab, um Karteikarten, Quizze oder Einheitskreis-Visualisierungen zu erstellen.
Häufige Fragen
Was kostet das?
Im Browser auf dieser Seite läuft es außerdem kostenlos.
Welche Funktionen werden unterstützt?
Alle sechs: sin, cos, tan, csc, sec und cot, einschließlich Langnamen wie sine oder cotangent.
Welche Winkel werden akzeptiert?
Die sechzehn Standardwinkel des Einheitskreises: 0°, 30°, 45°, 60°, 90° und koterminale Vielfache bis 330°, angegeben in Grad oder Radiant. Nicht standardisierte Winkel wie 22° werden abgewiesen, weil sie keinen einfachen geschlossenen Wert haben.
Was passiert bei undefinierten Werten wie tan(90°)?
Die Antwort setzt defined auf false und lässt die Felder exact und decimal weg, statt ein Unendlich oder einen Fehler zurückzugeben.
Werden negative oder koterminale Winkel verarbeitet?
Ja. Winkel werden zuerst auf den Einheitskreis normiert, sodass −45°, 315° und 7π/4 dasselbe Ergebnis mit dem korrekten Quadranten-Vorzeichen liefern.
Verwandte Tools
Für Entwickler — API-Zugang
Alles auf dieser Seite ist auch per API verfügbar. Dieser Abschnitt richtet sich an Teams, die es in ihre eigenen Systeme einbinden möchten; alle anderen nutzen einfach das Tool oben.
Endpunkt
Authentifizierung per Bearer-Token. Ein einziger POST stellt die Aufgabe in die Warteschlange; das Ergebnis erhalten Sie per Webhook oder über einen signierten Link.
Aufruf aus Ihrem Stack
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/math/exact-value-of-trig-functions \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"function":"cos","angle":45}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/math/exact-value-of-trig-functions", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"function": "cos",
"angle": 45
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/math/exact-value-of-trig-functions",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"function": "cos",
"angle": 45
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/math/exact-value-of-trig-functions", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"function":"cos","angle":45}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"function":"cos","angle":45}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/math/exact-value-of-trig-functions", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Beispiel-Anfrage
{
"function": "cos",
"angle": 45
}Beispiel-Antwort
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "math.exact_value_of_trig_functions",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}Die API arbeitet asynchron: Sie erhalten sofort eine task_id. Polling ist mit 1 Anfrage pro Sekunde erlaubt.
Preis
Der Preis steht auf der Seite – keine Tokens, keine Credits. Fehlgeschlagene Aufgaben werden nicht berechnet.
Fehler
| HTTP | Code | Bedeutung |
|---|---|---|
401 | unauthorized | Der API-Schlüssel fehlt oder ist ungültig – prüfen Sie den Authorization-Header (Bearer). |
402 | insufficient_balance | Ihr Guthaben reicht für diese Aufgabe nicht aus – Aufladungen verfallen nicht. |
404 | unknown_type | Unbekannter Aufgabentyp – prüfen Sie das Feld „type“ gegen den Katalog. |
429 | rate_limited | Zu viele Anfragen – warten Sie kurz; Polling ist mit 1 Anfrage pro Sekunde erlaubt. |
Technische Hinweise
Die API für exakte Winkelfunktionswerte beantwortet die klassische Frage aus Schule und Technik: Was ist sin, cos, tan, csc, sec oder cot eines Standardwinkels — ganz genau?
Wie die Berechnung funktioniert und was sie kostet
Nicht standardisierte Winkel wie 22° werden mit einem klaren invalid_input-Fehler abgewiesen statt mit einer irreführenden Näherung, denn ein exakter Wert existiert für beliebige Maße schlicht nicht in geschlossener Wurzelform. Derselbe Code läuft kostenlos in Ihrem Browser auf dieser Seite; die API kostet $0.002 pro Aufruf, wenn Sie sie aus Ihrer eigenen Anwendung automatisieren.