脱出速度の計算

脱出速度とは、慣性飛行する投射体が巨大な天体からある距離にあるとき、ニュートン重力に無限遠から引き戻されないために必要な最低の速さです。質量 M の球対称な源を半径 r で評価すると、エネルギーの議論から v は 2 G M を r で割ったものの平方根となり、G はニュートン重力定数です。本ツールは質量をキログラム、半径をメートルで受け取り、どちらも厳密に正の有限数である必要があり、その速さをメートル毎秒で返すほか、キロメートル毎秒の補助欄も付けます。

脱出速度とは何か、なぜ v は 2GM／r の平方根か

古典力学では、質量 M の固定された球対称な物体の重力場を運動する質量 m の試験粒子の力学的エネルギーは、二分の一 m v の二乗から G M m を r で割ったものを引いた値です。ニュートン的な意味で井戸から脱出するとは、全エネルギーが少なくともゼロであり、粒子が負でない残余運動エネルギーをもって無限の隔たりに達しうることです。

エネルギーをゼロと置いて速さを解くと、v は 2 G M を r で割ったものの平方根になります。試験質量 m は打ち消されるため、同じ半径では塵の粒も宇宙機も同じ数値のしきい値を共有します。重力定数 G は CODATA 2018 の値、6.6743e-11 立方メートル毎キログラム毎秒の二乗です。

半径は中心からその点までの距離です。球の表面では物体自身の半径であり、その表面から高さ h では R たす h です。結果はスカラーの速さであり、必須の進行方向ではありません。

物体に衝突せず、速さがしきい値に達する軌道であれば、理想模型では離れられます。大気、惑星の自転、出発後の継続推力、一般相対性は本機能の外です。実際の打ち上げではそれらの効果は重要ですが、宿題、一次のミッション下書き、物理エンジンは、抵抗表や回転系の補正を足す前に、まずこの閉じた数から始めます。

同じ半径での円軌道速度は G M を r で割ったものの平方根なので、脱出速度はちょうどその円軌道値の √2 倍です。両方の公式が同じ問題用紙に出るときの授業用の検算として便利です。

入力契約、単位、応答に含まれるもの

ゼロと負の値も失敗します。正でない質量や半径は平方根の公式の合法な引数ではなく、物理的な源を表しません。SI の基本単位だけを使ってください。

地球質量、太陽質量、キロメートル、マイルは呼び出す前に換算します。地球質量のままの質量と、換算していないキロメートルの半径を混ぜると、数学的には有限でも意図した天体には誤った数になります。検証の失敗は課金されません。

ページ上の計算ツールは無料のままで、同一の同型 solve 関数を実行します。

脱出速度の一段が役立つ場面

物理の授業では、与えられた M と r から地球・月・火星・架空の球の表面脱出速度を求めます。決定的な端点があれば、学生は本格的な数式処理系なしに代数と単位換算の両方を確かめられます。試験ジェネレータや LMS のプラグインは、正でない質量や半径を NaN で返すのではなく拒否するオラクルを必要とします。

欠陥のある採点器が NaN を成功と扱う事故を防ぐためです。球形の惑星を置くゲームやシミュレーションのエンジンは、各ティックで投射体の速さと比較できる単一のスカラーをしばしば必要とします。コンテンツ制作時に小さな parse 段を呼び、定数をビルドに焼き込めば、平方根一つだけのために物理ライブラリを同梱せずに済みます。

表に載った惑星質量と平均半径から始める実験レポートは、公開された速度を報告書や、ネットワークサービスに依存してはならない継続的インテグレーションの goldens に固定できます。すでに SI の質量と半径があり、古典的な速さだけが必要なときに本機能を選んでください。

軌道周期の道具でも、ホーマン遷移の計画器でも、ロケット方程式の delta-v 予算でも、一般相対性の測地線ソルバーでもありません。出典が密度と直径を示している場合は、先に質量と半径へ換算してください。質量対半径の比は倍精度の範囲に収めてください。

極端に大きな M とごく小さな r は 2 G M／r を非有限にし、ソルバーは無限の速さを捏造せずに拒否します。往復の検算は簡単です。 手で 2 かける G かける M を r で割り、平方根をとり、キロメートル毎秒なら千で割り、十二桁の同じ丸めのあとで公開された二つの欄が一致することを確認します。