Razão escape/circular

Você não precisa de massa nem raio: eles se cancelam ao formar v_esc sobre v_circ. Velocidades circulares não positivas são rejeitadas com invalid_input para que scripts de lição e testes unitários obtenham um contrato limpo em vez de NaN. O executor gratuito do navegador e a API pré-paga executam a mesma aritmética pura com arredondamento decimal fixo, sem chamadas de rede e sem dependência do relógio ou de sementes aleatórias.

Por que a velocidade de escape é √2 vezes a circular

Para uma massa de prova em órbita circular de raio r em torno de uma massa central M, o equilíbrio centrípeto dá v_circ ao quadrado igual a G M sobre r, de modo que a velocidade circular é a raiz de G M sobre r. A velocidade de escape no mesmo raio segue ao zerar a energia mecânica total no infinito: metade de m v_esc ao quadrado menos G M m sobre r é zero, o que rearranja para v_esc igual à raiz de dois G M sobre r. Dividindo as duas expressões cancelam-se G, M e r por completo e resta v_esc sobre v_circ igual à raiz de dois, aproximadamente um ponto quatro um quatro.

Como chamar a API e ler a resposta

Como massa e raio nunca aparecem na entrada, esta landing é a ferramenta certa quando você já conhece a velocidade circular e só precisa da contraparte de escape—não quando deve primeiro calcular a circular a partir de massa e raio (calculadora de velocidade orbital) nem o escape absoluto só de massa e raio (calculadora de velocidade de escape planetária). Envie um objeto JSON com um único número finito estritamente positivo em circular_speed, ou qualquer dos aliases v_c, v_circular, circular_velocity ou orbital_speed. A magnitude absoluta deve permanecer dentro dos limites publicados para que o produto com √2 continue finito em precisão dupla IEEE no Worker e no navegador. Em sucesso a resposta ecoa a velocidade circular arredondada em circular_speed, v_c e v_circular; define escape_speed e v_esc como √2 vezes esse valor; define ratio como a raiz de dois arredondada e ratio_exact como a string √2; e fornece formula, equation, units, message e um array ordenado steps que reafirma a derivação GM/r e a substituição. Campos ausentes, valores não finitos, fora dos limites absolutos ou velocidade circular não positiva retornam invalid_input e nunca são cobrados. O preço é um fixo US$ 0,002 por solicitação bem-sucedida com unidade item. Prefira números JSON numéricos quando você controla o cliente; strings numéricas que batem com um padrão finito estrito são aceitas para fluxos de colagem estilo planilha.

Dicas práticas, limites e buscas relacionadas

Mantenha unidades coerentes: se circular_speed está em metros por segundo, escape_speed também; se você entra quilômetros por segundo, o resultado permanece em quilômetros por segundo. Tarefas falhas com invalid_input não consomem saldo pré-pago, então scripts exploratórios com zeros ou negativos saem baratos. Checagens de ida e volta são triviais: multiplique a entrada por Math.SQRT2 ou por 1.41421356237 e confirme que o escape_speed publicado coincide após o arredondamento a doze casas decimais.