ForHosting KIT · الرياضيات

مفارقة دوران العملة

اعرف كم دورة تدور دائرة تتدحرج حول أخرى: عملتان متطابقتان تعطيان دورتين لا دورة واحدة، لأن العدد يساوي (R + r) / r. أدخل نصفي القطرين وشاهد عدد الدورات بجانب النسبة البسيطة بينهما. مجانية في متصفحك.

مجاني
يعمل في متصفحك
دون تسجيل
بياناتك لا تغادر جهازك

شغّل الأداة مجانًا اطّلع على الـAPI

استخدمها من الويبAPIالبريدTelegramالتطبيق قريبًا

مثال محلول

إذا أدخلت

نصف القطر الأكبر: 1
نصف القطر الأصغر: 1

تحصل على

النسبة: 1
الدورات: 2

تُعدّ مفارقة دوران العملة من أكثر نتائج الهندسة الابتدائية مخالفةً للحدس والتوقع: دحرج عملةً حول عملة مماثلة لها تمامًا وستقوم بدورتين كاملتين حول محورها لا بدورة واحدة كما يظن معظم الناس. تحسب هذه القدرة الحالة العامة انطلاقًا من نصفَي القطرين: فالدائرة التي نصف قطرها r وتتدحرج دون انزلاق حول الجهة الخارجية لدائرة ثابتة نصف قطرها R تُكمل (R + r) / r دورة كاملة. أرسل نصفَي القطرين فقط وستحصل على عدد الدورات الدقيق ونسبة نصفَي القطر والصيغة الرياضية المستخدمة في الحساب.

لماذا تكون الإجابة الساذجة خاطئة

يستنتج معظم الناس على هذا النحو: الدائرة المتدحرجة تلامس محيطًا طوله 2πR، ومحيطها هي 2πr، إذن يجب أن تدور R/r مرة. جرّب ذلك بعملتين وسترى العملة المتحركة تدور مرتين. الخطأ هو أن R/r لا يحسب سوى الدورات الناتجة عن فكّ قوس التلامس.

فهو يتجاهل أن مركز الدائرة المتدحرجة يسير أيضًا حول المركز الثابت على دائرة نصف قطرها R + r، وهذه الحركة المدارية تضيف دورة كاملة واحدة بالضبط مهما كان نصفا القطرين. يقطع مركز العملة المتدحرجة مسارًا طوله 2π(R + r)، وبقسمة هذا المسار على محيطها 2πr نحصل على (R + r)/r دورة — وهي الإجابة الصحيحة. إن مفارقة دوران العملة هي الفجوة بين الحدس (R/r) والهندسة (R/r + 1)، وهي تظهر أبعد بكثير من كتب الألغاز: فالتروس الدائرية الكوكبية وحركة الكواكب وتصميم الآليات الحلزونية كلها تعتمد على احتساب تلك الدورة الإضافية.

أين تُستخدم

ويعتمد المهندسون العاملون على قطارات التروس الكوكبية على الهوية نفسها — فالترس الكوكبي الذي يتدحرج حول الترس الشمسي يدور أكثر مما توحي به نسبة الأسنان، ونسيان +1 يُفسد تصميم القطار بأكمله. ويستخدمها مطورو الألعاب والرسوم المتحركة لجعل الكائن المتدحرج يدور بالمعدل الصحيح فيزيائيًا حتى لا تبدو الحركة انزلاقًا. ويستخدمها مؤلفو الألغاز وفرق المحتوى لتوليد إجابات موثقة.

ومهما كان السياق، فالقاعدة واحدة: التدحرج حول الخارج يضيف دورة واحدة بالضبط، والتدحرج داخل حلقة يطرح دورة.

حالات الاستخدام

التحقق من إجابة واجب هندسي

أدخل نصفَي القطرين وأكّد عدد الدورات، بما في ذلك الدورة الإضافية التي تضيفها المفارقة.

تصميم نسب التروس الكوكبية

احسب كم مرة يدور الترس الكوكبي في كل مدار حول الترس الشمسي قبل تحديد عدد الأسنان.

تحريك جسم متدحرج بشكل صحيح

استخرج معدل الدوران الصحيح فيزيائيًا لدائرة تتدحرج حول أخرى حتى لا تبدو الحركة انزلاقًا.

الأسئلة الشائعة

كم التكلفة؟

وهي مجانية أيضًا في متصفحك على هذه الصفحة.

هل يجب أن تكون أنصاف الأقطار بوحدات محددة؟

لا. النسبة وحدها هي المهمة، فأي وحدة متسقة — مليمترات أو بوصات أو بكسلات — تعطي عدد الدورات نفسه.

هل يمكن أن تكون الدائرة المتدحرجة أكبر من الثابتة؟

نعم. تظل الصيغة (R + r)/r صحيحة؛ وتحصل على قيمة بين 1 و2 دورة.

هل يعالج التدحرج داخل حلقة؟

لا — تحسب هذه القدرة الحالة الخارجية التي تضيف دورة واحدة. أما التدحرج داخل حلقة فيطرح دورة.

لماذا تدور العملة مرتين حول عملة مماثلة لها؟

لأن مركز العملة المتدحرجة لا يقطع محيط العملة الثابتة فقط، بل يدور حولها على دائرة نصف قطرها مجموع نصفي القطرين. هذا الدوران حول المركز يضيف دورة كاملة إضافية مهما كانت الأحجام.

أدوات ذات صلة

للمطوّرين — الوصول عبر API

كل ما في هذه الصفحة متاح برمجيًا. هذا القسم موجّه للفرق التقنية التي تريد ربط الأداة بأنظمتها الخاصة؛ بقية المستخدمين يمكنهم استخدام الأداة أعلاه مباشرة دون الحاجة لقراءة ما يلي.

الـEndpoint

POSThttps://api.kit.forhosting.com/math/coin-rotation-paradox

صادِق على طلبك بترويسة Bearer، وأرسل طلب POST واحدًا لتدخل مهمتك قائمة التنفيذ فورًا؛ ثم تستلم النتيجة عبر webhook أو رابط موقّع.

استدعِ الخدمة من بيئتك

curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/math/coin-rotation-paradox \
  -H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
  -H "Content-Type: application/json" \
  -d '{"radius_large":3,"radius_small":1}'

const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/math/coin-rotation-paradox", {
  method: "POST",
  headers: {
    "Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
    "Content-Type": "application/json"
  },
  body: JSON.stringify({
    "radius_large": 3,
    "radius_small": 1
  })
});
const { task_id } = await res.json();

import os, requests

res = requests.post(
    "https://api.kit.forhosting.com/math/coin-rotation-paradox",
    headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
    json={
    "radius_large": 3,
    "radius_small": 1
},
)
task_id = res.json()["task_id"]

<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/math/coin-rotation-paradox", false, stream_context_create([
  "http" => [
    "method"  => "POST",
    "header"  => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
    "content" => '{"radius_large":3,"radius_small":1}',
  ],
]));
$task = json_decode($res, true);

body := bytes.NewBufferString(`{"radius_large":3,"radius_small":1}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/math/coin-rotation-paradox", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)

مثال على الطلب

{
  "radius_large": 3,
  "radius_small": 1
}

مثال على الاستجابة

{
  "task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
  "type": "math.coin_rotation_paradox",
  "status": "queued",
  "_links": {
    "result": "/tasks/tsk_…/result"
  }
}

الواجهة غير متزامنة: تستلم task_id فور الإرسال، ويمكنك الاستعلام عن الحالة بمعدل طلب واحد في الثانية.

الأسعار

لكل طلب$0.002

السعر معلن كما تراه: لا tokens ولا نظام نقاط؛ وإن فشلت المهمة فلن تُحاسَب عليها.

الحدود

min_radius 0

الأخطاء

HTTP	الرمز	المعنى
`401`	`unauthorized`	مفتاح الوصول مفقود أو غير صالح؛ تحقق من ترويسة Bearer في طلبك.
`402`	`insufficient_balance`	رصيدك لا يكفي لتنفيذ هذه المهمة؛ أعد شحن الرصيد ثم أعد المحاولة.
`404`	`unknown_type`	نوع المهمة المطلوب غير موجود في الكتالوج — راجع الاسم المرسل في الطلب.
`429`	`rate_limited`	تجاوزت الحد المسموح من الطلبات؛ انتظر قليلًا ثم أعد المحاولة.

ملاحظات تقنية

كيف يعمل الحساب

والنتيجة هي rotations = (R + r)/r، وتُعاد مع النسبة المجردة R/r لترى بالضبط مقدار +1 الذي تضيفه المفارقة. ولأن الحساب قسمة واحدة ذات صيغة مغلقة، فهو دقيق وحتمي: نفس نصفَي القطرين ينتجان دائمًا الإجابة نفسها، مقرَّبة إلى ست خانات عشرية ليكون الناتج ثابتًا ومتطابقًا بايتًا ببايت. تستقبل نقطة النهاية حقلين: radius_large ‏(R) نصف قطر الدائرة الثابتة، وradius_small ‏(r) نصف قطر الدائرة المتدحرجة. ويجب أن يكون كلاهما عددًا موجبًا منتهيًا؛ أما القيم الصفرية أو السالبة أو المفقودة أو غير الرقمية فتُرفض بخطأ invalid_input ولا تُحتسب رسومها أبدًا. ويعمل الكود نفسه مجانًا في متصفحك على هذه الصفحة وعبر واجهة API المدفوعة، فيمكنك التحقق من أي نتيجة يدويًا قبل أتمتتها.

أين تُستخدم

تتعامل نقطة النهاية هذه مع الحالة الخارجية وتعيد العدد دون تعقيد، مقابل $0.002 لكل طلب عند استدعائها عبر API.

أسئلة تقنية

لماذا دولتان لعملتين متماثلتين؟

لأن R/r لا يحسب سوى دورات قوس التلامس. فمركز العملة المتحركة يكمل أيضًا دورة مدارية حول المركز الثابت، ما يسهم بدورة إضافية واحدة بالضبط: (R + r)/r = 2 عندما R = r.

ما المدخلات المرفوضة؟

أنصاف الأقطار المفقودة أو الصفرية أو السالبة أو غير المنتهية أو غير الرقمية تُرفض بخطأ invalid_input ولا تُحتسب رسومها.

اطّلع على توثيق KIT الكامل ←

شغّل الأداة مجانًا

مثال محلول

لماذا تكون الإجابة الساذجة خاطئة

أين تُستخدم

حالات الاستخدام

التحقق من إجابة واجب هندسي

تصميم نسب التروس الكوكبية

تحريك جسم متدحرج بشكل صحيح

الأسئلة الشائعة

أدوات ذات صلة

للمطوّرين — الوصول عبر API

الـEndpoint

استدعِ الخدمة من بيئتك

مثال على الطلب

مثال على الاستجابة

الأسعار

الحدود

الأخطاء

ملاحظات تقنية

كيف يعمل الحساب

أين تُستخدم

أسئلة تقنية

شكرًا