Paradoxo da rotação da moeda
Descubra quantas voltas um círculo dá rolando em torno de outro: duas moedas iguais dão 2 rotações, não 1, porque a conta é (R + r) / r. Digite os dois raios e veja as rotações ao lado da razão simples entre eles. Grátis no seu navegador.
- Grátis
- Funciona no seu navegador
- Sem cadastro
- Seus dados não saem do seu aparelho
Executar grátis
Exemplo resolvido
- Raio maior
- 1
- Raio menor
- 1
- Razão
- 1
- Rotações
- 2
O paradoxo da rotação da moeda é um dos resultados mais contraintuitivos da geometria elementar: role uma moeda em volta de outra moeda idêntica e ela dará não uma, mas duas rotações completas. Esta capacidade calcula o caso geral a partir dos dois raios: um círculo de raio r rolando sem deslizar pelo exterior de um círculo fixo de raio R realiza (R + r) / r rotações. Envie os dois raios e receba o número exato de rotações, a razão entre os raios e a fórmula utilizada.
Por que a resposta ingênua está errada
A maioria das pessoas raciocina assim: o círculo que rola percorre uma circunferência de comprimento 2πR e sua própria circunferência mede 2πr, portanto deveria girar R/r vezes. Para duas moedas idênticas, isso prevê exatamente uma rotação. Faça o teste com duas moedas e você verá a moeda móvel girar duas vezes.
O erro é que R/r conta apenas os giros produzidos ao desenrolar o arco de contato. Isso ignora que o centro do círculo móvel também viaja em volta do centro fixo sobre um círculo de raio R + r, e esse movimento orbital contribui com exatamente uma volta completa adicional, quaisquer que sejam os raios. O centro da moeda que rola percorre um caminho de comprimento 2π(R + r), e dividir esse caminho pela sua própria circunferência 2πr dá (R + r)/r rotações — a resposta correta.
O paradoxo da rotação da moeda é a lacuna entre a intuição (R/r) e a geometria (R/r + 1), e aparece muito além dos livros de enigmas: engrenagens epicicloidais, movimento planetário e o projeto de mecanismos cicloidais dependem de contar essa volta extra.
Como o cálculo funciona
O resultado é rotations = (R + r)/r, devolvido junto com a razão simples R/r para que você veja exatamente o +1 que o paradoxo adiciona. O círculo que rola não precisa ser menor: a fórmula é simétrica em sua lógica e funciona mesmo quando o círculo “pequeno” é maior que o fixo, o que simplesmente produz um valor entre 1 e 2.
Como o cálculo é uma única divisão em forma fechada, ele é exato e determinístico: os mesmos dois raios sempre produzem a mesma resposta, arredondada para seis casas decimais para uma saída estável e idêntica byte a byte.
Onde ele se encaixa
Professores usam o paradoxo para tirar os alunos do pensamento baseado apenas em fórmulas, e esta calculadora oferece verificações instantâneas para qualquer par de raios: moedas iguais, uma moeda em volta de um anel dez vezes maior ou razões fracionárias. Engenheiros que trabalham com trens de engrenagens epicicloidais (planetárias) contam com a mesma identidade: uma engrenagem planeta que rola em volta de uma engrenagem sol gira mais vezes do que a razão de dentes sugere, e esquecer o +1 compromete o projeto do trem inteiro.
Desenvolvedores de jogos e animação o usam para fazer um sprite que rola girar na velocidade fisicamente correta, de modo que o movimento não pareça deslizar. Autores de enigmas e equipes de conteúdo o usam para gerar gabaritos verificados. Seja qual for o contexto, a regra é a mesma: rolar pelo exterior adiciona exatamente uma volta; rolar por dentro de um anel subtrai uma.
Casos de uso
Conferir uma resposta de geometria
Digite os dois raios e confirme o número de rotações, incluindo a volta extra que o paradoxo adiciona.
Projetar engrenagens epicicloidais
Calcule quantas vezes uma engrenagem planeta gira por órbita em volta da engrenagem sol antes de definir o número de dentes.
Animar um objeto rolando corretamente
Obtenha a velocidade de giro fisicamente correta de um círculo que rola em volta de outro para que o movimento não pareça deslizar.
Perguntas frequentes
Quanto custa?
Também é grátis executar no seu navegador nesta página.
Por que duas rotações com duas moedas idênticas?
Porque R/r conta apenas as rotações do arco de contato.
Os raios precisam estar em unidades específicas?
Não. Apenas a razão importa, então qualquer unidade consistente — milímetros, polegadas, pixels — dá o mesmo número de rotações.
O círculo que rola pode ser maior que o fixo?
Sim. A fórmula (R + r)/r continua valendo; você obtém um valor entre 1 e 2 rotações.
Ele trata da rolagem por dentro de um anel?
Não — esta capacidade calcula o caso exterior, que soma uma volta. Rolar por dentro de um anel subtrai uma.
Ferramentas relacionadas
Para desenvolvedores — acesso via API
Tudo nesta página está disponível via API. Esta seção é para equipes que querem integrar a ferramenta aos próprios sistemas; quem não precisa disso pode simplesmente usar a ferramenta acima.
Endpoint
Autenticação por token Bearer. Um único POST coloca a tarefa na fila; o resultado chega por webhook ou link assinado.
Chame do seu código
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/math/coin-rotation-paradox \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"radius_large":3,"radius_small":1}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/math/coin-rotation-paradox", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"radius_large": 3,
"radius_small": 1
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/math/coin-rotation-paradox",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"radius_large": 3,
"radius_small": 1
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/math/coin-rotation-paradox", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"radius_large":3,"radius_small":1}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"radius_large":3,"radius_small":1}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/math/coin-rotation-paradox", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Exemplo de requisição
{
"radius_large": 3,
"radius_small": 1
}Exemplo de resposta
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "math.coin_rotation_paradox",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}A API é assíncrona: cada chamada devolve um task_id na hora. Se preferir polling, consulte o status a até 1 requisição por segundo.
Preço
Preço publicado, sem tokens nem créditos escondidos. Tarefa que falha não é cobrada.
Limites
min_radius | 0 |
Erros
| HTTP | Código | O que significa |
|---|---|---|
401 | unauthorized | Token ausente ou inválido. Confira o header Authorization. |
402 | insufficient_balance | Saldo insuficiente para esta tarefa. Faça uma recarga e tente de novo. |
404 | unknown_type | Esse tipo de tarefa não existe. Confira o campo type no catálogo. |
429 | rate_limited | Muitas requisições em pouco tempo. Espere um instante e tente de novo. |
Notas técnicas
Como o cálculo funciona
O endpoint recebe dois campos: radius_large (R), o raio do círculo fixo, e radius_small (r), o raio do círculo que rola. Ambos devem ser números finitos e positivos; valores zero, negativos, ausentes ou não numéricos são rejeitados com um erro invalid_input e nunca são cobrados. O mesmo código roda grátis no seu navegador nesta página e pela API paga, então você pode verificar qualquer resultado à mão antes de automatizá-lo.
Onde ele se encaixa
Este endpoint resolve o caso exterior e devolve o número sem complicação, a US$ 0,002 por requisição quando chamado pela API.
Perguntas técnicas
Quais entradas são rejeitadas?
Raios ausentes, nulos, negativos, não finitos ou não numéricos são rejeitados com um erro invalid_input e não são cobrados.