ForHosting KIT · Mathématiques

Paradoxe de la rotation de la pièce

Découvrez combien de tours fait un cercle qui roule autour d'un autre : deux pièces identiques donnent 2 rotations, pas 1, car le compte vaut (R + r) / r. Saisissez les deux rayons et voyez les rotations à côté du simple rapport. Gratuit dans votre navigateur.

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Exemple résolu

Si vous saisissez

Grand rayon: 1
Petit rayon: 1

Vous obtenez

Rapport: 1
Rotations: 2

Le paradoxe de la rotation de la pièce est l'un des résultats les plus contre-intuitifs de la géométrie élémentaire : faites rouler une pièce autour d'une pièce identique et elle effectuera non pas une mais deux rotations complètes. Cette capacité calcule le cas général à partir des deux rayons : un cercle de rayon r roulant sans glisser à l'extérieur d'un cercle fixe de rayon R effectue (R + r) / r rotations. Envoyez les deux rayons et obtenez le nombre exact de rotations, le rapport des rayons et la formule utilisée.

Pourquoi la réponse naïve est fausse

La plupart des gens raisonnent ainsi : le cercle qui roule parcourt une circonférence de longueur 2πR et sa propre circonférence mesure 2πr, donc il devrait tourner R/r fois. Pour deux pièces identiques, cela prédit exactement une rotation. Essayez avec deux pièces et vous verrez la pièce mobile tourner deux fois.

L'erreur est que R/r ne compte que les tours produits par le déroulement de l'arc de contact. Cela ignore que le centre du cercle mobile voyage aussi autour du centre fixe sur un cercle de rayon R + r, et ce mouvement orbital apporte exactement un tour complet supplémentaire, quels que soient les rayons. Le centre de la pièce qui roule parcourt un chemin de longueur 2π(R + r), et diviser ce chemin par sa propre circonférence 2πr donne (R + r)/r rotations — la bonne réponse.

Le paradoxe de la rotation de la pièce est l'écart entre l'intuition (R/r) et la géométrie (R/r + 1), et il apparaît bien au-delà des livres d'énigmes : les engrenages épicycloïdaux, le mouvement planétaire et la conception des mécanismes cycloïdaux dépendent tous de ce tour supplémentaire.

Comment fonctionne le calcul

Le résultat est rotations = (R + r)/r, renvoyé avec le rapport brut R/r pour que vous voyiez exactement le +1 qu'ajoute le paradoxe. Le cercle qui roule n'a pas besoin d'être plus petit : la formule est symétrique dans sa logique et fonctionne même lorsque le « petit » cercle est plus grand que le fixe, ce qui donne simplement une valeur entre 1 et 2.

Comme le calcul est une seule division en forme close, il est exact et déterministe : les deux mêmes rayons produisent toujours la même réponse, arrondie à six décimales pour une sortie stable et identique octet par octet.

Où il s'intègre

Les enseignants utilisent le paradoxe pour sortir les élèves du raisonnement purement fondé sur les formules, et ce calculateur leur offre des vérifications instantanées pour toute paire de rayons : pièces identiques, une pièce autour d'un anneau dix fois plus grand ou des rapports fractionnaires.

Les ingénieurs qui travaillent sur les trains d'engrenages épicycloïdaux (planétaires) s'appuient sur la même identité : un engrenage planète roulant autour d'un engrenage soleil tourne plus de fois que le rapport de dents ne le suggère, et oublier le +1 fausse la conception de tout le train. Les développeurs de jeux et d'animation l'utilisent pour faire tourner un sprite qui roule à la vitesse physiquement correcte, afin que le mouvement ne ressemble pas à un glissement. Les auteurs d'énigmes et les équipes de contenu l'utilisent pour générer des corrigés vérifiés.

Quel que soit le contexte, la règle est la même : rouler à l'extérieur ajoute exactement un tour ; rouler à l'intérieur d'un anneau en soustrait un.

Cas d’usage

Vérifier un devoir de géométrie

Saisissez les deux rayons et confirmez le nombre de rotations, y compris le tour supplémentaire qu'ajoute le paradoxe.

Concevoir des engrenages épicycloïdaux

Calculez combien de fois un engrenage planète tourne par orbite autour de l'engrenage soleil avant de fixer le nombre de dents.

Animer correctement un objet qui roule

Obtenez la vitesse de rotation physiquement exacte d'un cercle roulant autour d'un autre pour que le mouvement ne ressemble pas à un glissement.

Questions fréquentes

Combien cela coûte-t-il ?

C'est aussi gratuit dans votre navigateur sur cette page.

Pourquoi deux rotations pour deux pièces identiques ?

Parce que R/r ne compte que les rotations de l'arc de contact.

Les rayons doivent-ils être dans des unités précises ?

Non. Seul le rapport compte, donc toute unité cohérente — millimètres, pouces, pixels — donne le même nombre de rotations.

Le cercle qui roule peut-il être plus grand que le fixe ?

Oui. La formule (R + r)/r reste valable ; vous obtenez une valeur entre 1 et 2 rotations.

Gère-t-il le roulement à l'intérieur d'un anneau ?

Non — cette capacité calcule le cas extérieur, qui ajoute un tour. Rouler à l'intérieur d'un anneau en soustrait un.

Outils associés

Pour les développeurs — accès API

Tout sur cette page est disponible par programmation. Cette section s'adresse aux équipes qui veulent l'intégrer à leurs systèmes ; les autres peuvent simplement utiliser l'outil ci-dessus.

Endpoint

POSThttps://api.kit.forhosting.com/math/coin-rotation-paradox

Authentification par jeton Bearer : un seul POST met la tâche en file d’attente, et le résultat vous parvient par webhook ou lien signé.

Appeler depuis votre stack

curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/math/coin-rotation-paradox \
  -H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
  -H "Content-Type: application/json" \
  -d '{"radius_large":3,"radius_small":1}'

const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/math/coin-rotation-paradox", {
  method: "POST",
  headers: {
    "Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
    "Content-Type": "application/json"
  },
  body: JSON.stringify({
    "radius_large": 3,
    "radius_small": 1
  })
});
const { task_id } = await res.json();

import os, requests

res = requests.post(
    "https://api.kit.forhosting.com/math/coin-rotation-paradox",
    headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
    json={
    "radius_large": 3,
    "radius_small": 1
},
)
task_id = res.json()["task_id"]

<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/math/coin-rotation-paradox", false, stream_context_create([
  "http" => [
    "method"  => "POST",
    "header"  => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
    "content" => '{"radius_large":3,"radius_small":1}',
  ],
]));
$task = json_decode($res, true);

body := bytes.NewBufferString(`{"radius_large":3,"radius_small":1}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/math/coin-rotation-paradox", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)

Exemple de requête

{
  "radius_large": 3,
  "radius_small": 1
}

Exemple de réponse

{
  "task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
  "type": "math.coin_rotation_paradox",
  "status": "queued",
  "_links": {
    "result": "/tasks/tsk_…/result"
  }
}

L’API est asynchrone : chaque appel renvoie un task_id immédiatement, puis vous interrogez l’état à raison d’une requête par seconde.

Tarifs

par requête$0.002

Le prix est publié, sans tokens ni crédits. Une tâche qui échoue n’est pas facturée.

Limites

min_radius 0

Erreurs

HTTP	Code	Signification
`401`	`unauthorized`	Clé API absente ou invalide : vérifiez l’en-tête Authorization.
`402`	`insufficient_balance`	Solde insuffisant : rechargez votre compte pour lancer cette tâche.
`404`	`unknown_type`	Type de tâche inconnu : vérifiez le champ type de votre requête.
`429`	`rate_limited`	Trop de requêtes : ralentissez la cadence, puis réessayez.

Notes techniques

Comment fonctionne le calcul

Le endpoint prend deux champs : radius_large (R), le rayon du cercle fixe, et radius_small (r), celui du cercle qui roule. Les deux doivent être des nombres finis et positifs ; les valeurs nulles, négatives, manquantes ou non numériques sont rejetées avec une erreur invalid_input et ne sont jamais facturées. Le même code s'exécute gratuitement dans votre navigateur sur cette page et via l'API payante, vous pouvez donc vérifier tout résultat à la main avant de l'automatiser.

Où il s'intègre

Ce endpoint traite le cas extérieur et renvoie le nombre sans histoire, à $0.002 par requête lorsqu'il est appelé via l'API.

Questions techniques

Quelles entrées sont rejetées ?

Les rayons manquants, nuls, négatifs, non finis ou non numériques sont rejetés avec une erreur invalid_input et ne sont pas facturés.

Consulter la documentation complète du KIT →

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Pourquoi la réponse naïve est fausse

Comment fonctionne le calcul

Où il s'intègre

Cas d’usage

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Concevoir des engrenages épicycloïdaux

Animer correctement un objet qui roule

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Endpoint

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