ForHosting KIT · Matematica

Paradosso della rotazione della moneta

Scopra quanti giri compie un cerchio che rotola attorno a un altro: due monete uguali fanno 2 rotazioni, non 1, perché il conto è (R + r) / r. Inserisca i due raggi e veda le rotazioni accanto al semplice rapporto tra loro. Gratis nel suo browser.

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Esempio risolto

Se inserisce

Raggio maggiore: 1
Raggio minore: 1

Ottiene

Rapporto: 1
Rotazioni: 2

Il paradosso della rotazione della moneta è uno dei risultati più controintuitivi della geometria elementare: faccia rotolare una moneta intorno a un'altra moneta identica e compirà non una ma due rotazioni complete. Questa capacità calcola il caso generale a partire dai due raggi: un cerchio di raggio r che rotola senza slittare all'esterno di un cerchio fisso di raggio R compie (R + r) / r rotazioni. Invii i due raggi e ottenga il numero esatto di rotazioni, il rapporto tra i raggi e la formula utilizzata.

Perché la risposta ingenua è sbagliata

La maggior parte delle persone ragiona così: il cerchio che rotola percorre una circonferenza di lunghezza 2πR e la propria circonferenza misura 2πr, quindi dovrebbe girare R/r volte. Per due monete identiche questo prevede esattamente una rotazione. Provi con due monete e vedrà la moneta mobile girare due volte.

L'errore è che R/r conta solo i giri prodotti dallo srotolamento dell'arco di contatto. Ignora che il centro del cerchio mobile viaggia anche intorno al centro fisso su un cerchio di raggio R + r, e questo moto orbitale contribuisce esattamente un giro completo in più, qualunque siano i raggi. Il centro della moneta che rotola percorre un cammino di lunghezza 2π(R + r), e dividendo quel cammino per la propria circonferenza 2πr si ottengono (R + r)/r rotazioni — la risposta corretta.

Il paradosso della rotazione della moneta è il divario tra l'intuizione (R/r) e la geometria (R/r + 1), e compare ben oltre i libri di enigmi: gli ingranaggi epicicloidali, il moto planetario e la progettazione dei meccanismi cicloidali dipendono dal conteggio di quel giro extra.

Come funziona il calcolo

Il risultato è rotations = (R + r)/r, restituito insieme al rapporto semplice R/r così che Lei veda esattamente il +1 che il paradosso aggiunge. Il cerchio che rotola non deve essere per forza più piccolo: la formula è simmetrica nella sua logica e funziona anche quando il cerchio «piccolo» è più grande di quello fisso, il che dà semplicemente un valore tra 1 e 2.

Poiché il calcolo è un'unica divisione in forma chiusa, è esatto e deterministico: gli stessi due raggi producono sempre la stessa risposta, arrotondata a sei decimali per un output stabile e identico byte per byte.

Dove si colloca

Gli insegnanti usano il paradosso per liberare gli studenti dal pensiero basato solo sulle formule, e questo calcolatore offre verifiche istantanee per qualsiasi coppia di raggi: monete identiche, una moneta intorno a un anello dieci volte più grande o rapporti frazionari. Gli ingegneri che lavorano con treni di ingranaggi epicicloidali (planetari) si affidano alla stessa identità: un ingranaggio pianeta che rotola intorno a un ingranaggio sole gira più volte di quanto suggerisca il rapporto dei denti, e dimenticare il +1 compromette la progettazione dell'intero treno.

Gli sviluppatori di giochi e animazioni lo usano per far ruotare uno sprite che rotola alla velocità fisicamente corretta, così che il movimento non sembri uno slittamento. Gli autori di enigmi e i team di contenuti lo usano per generare soluzioni verificate. Qualunque sia il contesto, la regola è la stessa: rotolare all'esterno aggiunge esattamente un giro; rotolare all'interno di un anello ne sottrae uno.

Casi d'uso

Verificare un compito di geometria

Inserisca i due raggi e confermi il numero di rotazioni, compreso il giro extra che il paradosso aggiunge.

Progettare ingranaggi epicicloidali

Calcoli quante volte un ingranaggio pianeta gira per orbita intorno all'ingranaggio sole prima di fissare il numero di denti.

Animare correttamente un oggetto che rotola

Ottenga la velocità di rotazione fisicamente esatta di un cerchio che rotola intorno a un altro, così il movimento non sembrerà uno slittamento.

Domande frequenti

Quanto costa?

È anche gratuito nel Suo browser su questa pagina.

Perché due rotazioni con due monete identiche?

Perché R/r conta solo le rotazioni dell'arco di contatto.

I raggi devono essere in unità specifiche?

No. Conta solo il rapporto, quindi qualsiasi unità coerente — millimetri, pollici, pixel — dà lo stesso numero di rotazioni.

Il cerchio che rotola può essere più grande di quello fisso?

Sì. La formula (R + r)/r resta valida; ottiene un valore tra 1 e 2 rotazioni.

Gestisce il rotolamento all'interno di un anello?

No — questa capacità calcola il caso esterno, che aggiunge un giro. Rotolare all'interno di un anello ne sottrae uno.

Strumenti correlati

Per sviluppatori — accesso via API

Tutto quello che vedi in questa pagina è disponibile anche via API. Questa sezione è per i team che vogliono integrarlo nei propri sistemi; chi non ne ha bisogno può semplicemente usare lo strumento qui sopra.

Endpoint

POSThttps://api.kit.forhosting.com/math/coin-rotation-paradox

Autenticazione con Bearer token: un POST mette in coda l'attività e il risultato arriva via webhook o link firmato.

Chiamala dal tuo stack

curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/math/coin-rotation-paradox \
  -H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
  -H "Content-Type: application/json" \
  -d '{"radius_large":3,"radius_small":1}'

const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/math/coin-rotation-paradox", {
  method: "POST",
  headers: {
    "Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
    "Content-Type": "application/json"
  },
  body: JSON.stringify({
    "radius_large": 3,
    "radius_small": 1
  })
});
const { task_id } = await res.json();

import os, requests

res = requests.post(
    "https://api.kit.forhosting.com/math/coin-rotation-paradox",
    headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
    json={
    "radius_large": 3,
    "radius_small": 1
},
)
task_id = res.json()["task_id"]

<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/math/coin-rotation-paradox", false, stream_context_create([
  "http" => [
    "method"  => "POST",
    "header"  => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
    "content" => '{"radius_large":3,"radius_small":1}',
  ],
]));
$task = json_decode($res, true);

body := bytes.NewBufferString(`{"radius_large":3,"radius_small":1}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/math/coin-rotation-paradox", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)

Esempio di richiesta

{
  "radius_large": 3,
  "radius_small": 1
}

Esempio di risposta

{
  "task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
  "type": "math.coin_rotation_paradox",
  "status": "queued",
  "_links": {
    "result": "/tasks/tsk_…/result"
  }
}

L'API è asincrona: ricevi subito un task_id e puoi fare polling fino a 1 richiesta al secondo.

Prezzi

per richiesta$0.002

Prezzo pubblicato, senza token né crediti. Se l'attività fallisce, non paghi.

Limiti

min_radius 0

Errori

HTTP	Codice	Significato
`401`	`unauthorized`	Chiave API mancante o non valida: controlla l'header Authorization.
`402`	`insufficient_balance`	Credito esaurito: ricarica per continuare a eseguire attività.
`404`	`unknown_type`	Tipo di attività sconosciuto: controlla il campo type della richiesta.
`429`	`rate_limited`	Troppe richieste in poco tempo: rallenta e riprova tra qualche secondo.

Note tecniche

Come funziona il calcolo

L'endpoint accetta due campi: radius_large (R), il raggio del cerchio fisso, e radius_small (r), il raggio del cerchio che rotola. Entrambi devono essere numeri finiti e positivi; valori zero, negativi, mancanti o non numerici vengono rifiutati con un errore invalid_input e non vengono mai addebitati. Lo stesso codice viene eseguito gratis nel Suo browser su questa pagina e tramite l'API a pagamento, quindi può verificare qualsiasi risultato a mano prima di automatizzarlo.

Dove si colloca

Questo endpoint gestisce il caso esterno e restituisce il numero senza complicazioni, a $0.002 per richiesta quando viene chiamato tramite l'API.

Domande tecniche

Quali input vengono rifiutati?

Raggi mancanti, nulli, negativi, non finiti o non numerici vengono rifiutati con un errore invalid_input e non vengono addebitati.

Leggi la documentazione completa del KIT →

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Perché la risposta ingenua è sbagliata

Come funziona il calcolo

Dove si colloca

Casi d'uso

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Animare correttamente un oggetto che rotola

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