حاسبة cos(2θ)

تأخذ حاسبة cos(2θ) زاوية θ بالراديان وتُعيد جيب تمام ضعفها، cos(2θ)، محسوبًا عبر متطابقة الزاوية المضاعفة cos²θ − sin²θ بدلًا من مضاعفة الزاوية أولًا. يظهر جيب تمام الزاوية المضاعفة في كل موضع تتضاعف فيه الطور: خلط الإشارات، وبصريات الاستقطاب، وحركية التروس، وقدرة التيار المتردد. المُدخل الوحيد هو عدد منتهٍ بالراديان؛ وأي شيء آخر يُرفض بخطأ إدخال غير صالح واضح قبل حدوث أي حساب.

ماذا يعني cos(2θ) ولماذا يُحسب بمتطابقة

قد يبدو أن مضاعفة زاوية وأخذ جيب تمامها لا يتطلب أكثر من ضربة واحدة واستدعاء لدالة cos. غير أنه في حساب الفاصلة العائمة، يؤدي تقييم cos(2θ) مباشرةً إلى مضاعفة خطأ الإدخال في θ قبل أن تعمل الدالة المتسامية أصلًا، وقرب قمم منحنى جيب التمام وأصفاره قد يهيمن ذلك الخطأ على النتيجة. تتجاوز متطابقة الزاوية المضاعفة cos(2θ) = cos²θ − sin²θ هذه المشكلة: فهي تعمل بـ cos θ و sin θ عند الزاوية الأصلية، بحيث لا تتضخم إلا الكمية التي تهمك فعلًا.

المتطابقة دقيقة لكل θ حقيقية، ولا تحتاج إلى اقتطاع متسلسلات، وتكلفتها تقييمان متساميان وبضع عمليات ضرب فقط. لهذا تحسب هذه الحاسبة القيمة عبر المتطابقة بدلًا من استدعاء cos(2·θ). تُمرر عددًا واحدًا — الزاوية θ بالراديان — وتتلقى قيمة cos(2θ)، والزاوية θ التي أدخلتها مرتدةً في الاستجابة، والمتطابقة المستخدمة، بحيث توثّق الاستجابة نفسها بنفسها في أي خط معالجة أو سجل تدقيق تنتهي إليه.

قواعد الإدخال: عدد منتهٍ واحد بالراديان

صُمم العقد صغيرًا عن قصد. الحقل theta إلزامي ويجب أن يكون عددًا منتهيًا معبَّرًا عنه بالراديان. أما ما لا يُقبل فهو كل ما ليس عددًا منتهيًا: حقل فارغ، أو سلسلة غير رقمية، أو NaN، أو Infinity، أو غياب كائن الإدخال كله.

الراديان هو الوحدة الوحيدة لأن متطابقة الزاوية المضاعفة بلا أبعاد، ولأن الإدخال بالراديان يتفادى خطوة تحويل كانت ستضيف تقريبًا قبل بدء الحساب: إن كانت زاويتك بالدرجات فاضربها في π/180 أولًا. تُقرَّب النتائج إلى عشر خانات عشرية بحيث تُنتج المدخلات المتطابقة مخرجات متطابقة بايتًا ببايت على أي آلة، وهذا ما يجعل الأمثلة الذهبية قابلة للتكرار.

أين يظهر جيب تمام الزاوية المضاعفة عمليًا

جيب تمام الزاوية المضاعفة هو عمود أي نموذج تُربَّع فيه طور أو تتضاعف فيه تردد. في الإلكترونيات، ينتج عن خلط جيبين تماميين حد في cos(2ωt) يتعين على المُزيل للتضمين التنبؤ به. في البصريات، قانون مالوس للضوء المستقطب قضية في cos²θ، تعيد المتطابقة كتابتها على الصورة (1 + cos 2θ)/2 — وهي الكمية ذاتها التي يعيدها هذا المسار.

في الميكانيكا، تُختزل محصلة قوتين متساويتين بزاوية θ وتحويل الإجهادات على عنصر مُدار كلتاهما إلى حدود في cos(2θ). ولأن الحاسبة حتمية وخالية من الآثار الجانبية، فهي تناسب بأمان الفحوص الآلية: يمكن لاختبار انحدار أن يؤكد القيمة المقرَّبة الدقيقة، ويمكن لخط معالجة بيانات أن يستدعيها مباشرة دون مفاجآت في التعرفة، ويمكن لأداة تعليمية أن ترِيَ الطلاب أن المتطابقة والتقييم المباشر يتفقان حتى الرقم الأخير.