cos(2θ)-Rechner

Der cos(2θ)-Rechner nimmt einen Winkel θ im Bogenmaß und liefert den Kosinus seines Doppelten, cos(2θ), ausgewertet über die Doppelwinkel-Identität cos²θ − sin²θ, statt den Winkel zuerst zu skalieren. Der Kosinus des doppelten Winkels taucht überall dort auf, wo eine Phase verdoppelt wird: Signalmischung, Polarisationoptik, Getriebekinematik, Wechselstromleistung. Die einzige Eingabe ist eine endliche Zahl im Bogenmaß; alles andere wird mit einem klaren Fehler für ungültige Eingabe abgelehnt, bevor irgendeine Berechnung stattfindet.

Was cos(2θ) bedeutet und warum es mit einer Identität berechnet wird

Einen Winkel zu verdoppeln und seinen Kosinus zu nehmen klingt, als bräuchte es nicht mehr als eine Multiplikation und einen Aufruf von cos. In der Gleitkommaarithmetik jedoch multipliziert die direkte Auswertung von cos(2θ) den Eingabefehler in θ mit zwei, bevor die transzendente Funktion überhaupt läuft, und nahe den Gipfeln und Nullstellen der Kosinuskurve kann dieser Fehler das Ergebnis dominieren.

Die Doppelwinkel-Identität cos(2θ) = cos²θ − sin²θ umgeht das Problem: Sie arbeitet mit cos θ und sin θ am ursprünglichen Winkel, sodass die einzige verstärkte Größe die ist, die für Sie wirklich zählt. Die Identität ist für jedes reelle θ exakt, benötigt keinen Reihenabbruch und kostet zwei transzendente Auswertungen plus eine Handvoll Multiplikationen. Deshalb berechnet dieser Rechner den Wert über die Identität, statt cos(2·θ) aufzurufen.

Sie übergeben eine Zahl — den Winkel θ im Bogenmaß — und erhalten den Wert von cos(2θ), das von Ihnen gelieferte θ zurückgespiegelt und die verwendete Identität, sodass die Antwort sich in jeder Pipeline oder jedem Audit-Protokoll, in dem sie landet, selbst dokumentiert.

Eingaberegeln: eine einzige endliche Zahl im Bogenmaß

Der Vertrag ist bewusst klein gehalten. Das Feld theta ist Pflicht und muss eine endliche Zahl im Bogenmaß sein. Nicht akzeptiert wird alles, was keine endliche Zahl ist: ein leeres Feld, eine nicht numerische Zeichenkette, NaN, Infinity oder ein ganz fehlendes Eingabeobjekt.

Bogenmaß ist die einzige Einheit, weil die Doppelwinkel-Identität einheitenlos ist und die Eingabe im Bogenmaß einen Umrechnungsschritt vermeidet, der vor Beginn der Berechnung Rundung hinzufügen würde: Liegt Ihr Winkel in Grad vor, multiplizieren Sie ihn zuerst mit π/180.

Wo der Kosinus des doppelten Winkels in der Praxis auftaucht

Der Kosinus des verdoppelten Winkels ist das Arbeitstier jedes Modells, in dem eine Phase quadriert oder eine Frequenz verdoppelt wird. In der Elektronik erzeugt das Mischen zweier Sinuskurven einen Term in cos(2ωt), den ein Demodulator vorhersagen muss. In der Optik ist das Malus-Gesetz für polarisiertes Licht eine Aussage über cos²θ, die die Identität als (1 + cos 2θ)/2 umschreibt — genau die Größe, die dieser Endpunkt zurückgibt.

In der Mechanik reduzieren sich sowohl die Resultierende zweier gleicher Kräfte mit Winkel θ als auch die Spannungstransformation an einem gedrehten Element auf Terme in cos(2θ).