عزم قصور سباق ورق المرحاض

سباق ورق المرحاض عرض صفي يتنافس فيه لفيفان على منحدر، أو يسقطان من ارتفاع بينما ينفك أحدهما ويبقى الآخر جسمًا جاسئًا. الرقم الذي يحسم الفوز ليس الكتلة وحدها: إنه عزم القصور الكتلي للفيفة حول محور الورق المقوى، لأن التدحرج بلا انزلاق يقرن الانتقال بالدوران عبر I. تحاكي هذه الحاسبة لفيفة ورق المرحاض بأسطوانة مجوفة منتظمة، فتأخذ الكتلة المقاسة ونصفَي القطر الداخلي والخارجي للورق المتبقي، وترجع I = (1/2) m (ri² + ro²) بوحدة الكيلوغرام متر مربع.

صيغة الأسطوانة المجوفة التي يستخدمها سباق ورق المرحاض فعلًا

لفيفة ورق المرحاض ليست طوقًا رقيقًا ولا قرصًا مصمتًا ولا كرة. بعد نزع الورق المتبقي يبقى أنبوب سميك الجدار: نواة من الورق المقوى بنصف قطر داخلي ri (غالبًا نصف القطر الخارجي للأنبوب الفارغ) ونصف قطر خارجي ro لآخر لفة ورق، والكتلة m موزعة على الحلقة. لأسطوانة مجوفة منتظمة الكثافة تدور حول محورها الطولي المركزي، عزم القصور الكتلي هو الشكل المغلق I = (1/2) m (ri² + ro²).

تلك الهوية تكامل r² dm على الحلقة؛ يختفي طول اللفافة، فلا تحتاج أبدًا إلى عرض الورقة، بل إلى الكتلة ونصفَي القطر فقط. عندما يكون ri أصغر كثيرًا من ro تتصرف اللفافة كقرص مصمت قصوره (1/2) m ro²؛ وعندما يكاد الورق ينفد ويقترب ri من ro تقترب I من m ro²، حدّ الطوق الرقيق. يفسّر هذان الطرفان لمَ لا تتسابق لفيفة شبه فارغة ولفافة عملاقة ممتلئة بالطريقة نفسها حتى لو قيس السلم بالكتلة.

في سباق منحدر بتدحرج بلا انزلاق يكون التسارع الخطي a = g sinθ / (1 + I / (m R²))، ونصف قطر التماس R هو نصف القطر الخارجي ro. وعليه يساوي العامل عديم البعد k = I / (m ro²) المقدار (ri² + ro²) / (2 ro²)، ويقع دائمًا بين النصف والواحد للفيفة فيزيائية. يعني k أصغر أن حصة أكبر من الطاقة الكامنة المفقودة تذهب إلى الانتقال لا إلى الدوران، فتصل تلك اللفافة أولًا إلى الأسفل.

ترجع هذه الحاسبة I وذلك عامل القصور حتى يضع دفتر المختبر k في صيغة السباق مباشرة دون إعادة ترتيب ثانية. لا تُكامل تيار ورق ينفك، ولا تحاكي الاحتكاك الحركي على الورق المقوى، ولا تحوّل النتيجة إلى زمن وصول متوقع: تحتاج تلك الخطوات إلى زاوية المنحدر والطول وبيان ما إذا كان الورق حرًا في الانفكاك. ما تفعله هو إعطاء I اللفافة الجاسئة التي ينطلق منها كل نموذج من هذا النوع، بوحدات النظام الدولي وتقريب حتمي حتى تحصل مجموعتان تقيسان اللفافة نفسها على الرقم نفسه.

من يبحث عن جدول عام لحلقة أو قرص أو كرة أو قضيب فهو في صفحة أخرى؛ تجيب هذه الصفحة فقط عن الأسطوانة المجوفة لسباق ورق المرحاض من الكتلة ونصفَي القطر.

عقد الإدخال ووحدات النظام الدولي ولماذا يجب أن يكون نصف القطر الداخلي أصغر

تُقبل علامة الجمع الاختيارية في البداية والترميز العلمي في السلاسل الرقمية عند تحليلها كأعداد عشرية منتهية؛ أما المسافات المضمَّنة وبادئات الست عشري والرموز غير الرقمية فتُرفض برسالة تسمّي الحقل. يجب أن تكون الكتلة موجبة بصرامة: الكتلة الصفرية أو السالبة ليست لفيفة ولا تُحاسب كقصور صفري ناجح. يجب أن يكون نصف القطر الداخلي غير سالب؛ ويجب أن يكون نصف القطر الخارجي موجبًا بصرامة.

الأقطار المتساوية ستكون طوقًا رقيقًا رياضيًا، لكن لفيفة ورق مرحاض فيزيائية لها دائمًا جدار منتهٍ، وترفض صفحة السباق هذه تبديل الصيغة في صمت. الوحدات وفق النظام الدولي ولا تُحوَّل. للفيفة منزلية نمطية نصف قطر خارجي قرب خمسة سنتيمترات، يجب إرساله 0.05 m، ونواة ورق مقوى قرب سنتيمترين تُرسل 0.02 m؛ وإرسال المليمترات كما لو كانت أمتارًا يضخّم I بعامل مليون مربع ولن يُصحَّح في صمت.

لا يوجد أخذ عيّنات Monte Carlo لكثافة الطبقات ولا تقريب عشوائي: إما أن يقيّم المحرك (1/2) m (ri² + ro²) ضمن نطاق الحجم المدعوم أو يرفض الإدخال. نصف القطر الخارجي الموجب الصغير جدًا صالح ويعطي I صغيرة بالمقابل؛ ولا يُعامل صفرًا. أبقِ الطلبات داخل النطاق المطلق الموثَّق.

تلك الأرقام من أمثلة المرجع المرفقة بالقدرة؛ وينبغي أن تطابق آلة حاسبة يدوية تستخدم هوية نصف الكتلة في مجموع المربعات نفسها. إن قرأ قدَمُك الورنية مليمترات فاقسم على ألف قبل الاستدعاء.

أين يثبت رقم قصور سباق ورق المرحاض جدواه

تنظّم مختبرات الميكانيكا التمهيدية سباقات ورق المرحاض لأن الجهاز رخيص والهندسة ظاهرة والنتيجة تعتمد على القصور الدوراني لا على من يملك اللفافة الأثقل. يقيس الطلاب الورق المتبقي بالورنية، ويزنون اللفافة، ويحسبون I، ثم يتنبؤون من العامل k بما إذا كانت لفيفة ممتلئة أو شبه مستنفدة ينبغي أن تفوز بسباق منحدر بلا انزلاق. يستطيع المدرّسون توليد مفاتيح تصحيح مسبقًا لأنصاف أقطار مقاسة كيفما اتفق دون الثقة بتطبيقات حاسبة مبهمة تبدّل المليمترات والأمتار في صمت أو تطبّق صيغة القرص المصمت على نواة مجوفة.

يستدعي المطوّرون العقد نفسه من النصوص لزرع متجهات اختبار حتمية لعروض التدحرج بلا انزلاق، ولتطبيع مواصفات اللفافة التي يدخلها المستخدم قبل أن ترسم واجهة التسارع مقابل نصف القطر المتبقي، أو لاستيفاء بيانات تحديات برمجة تطالب ب I الأسطوانة المجوفة لا برسم تقريبي. يحتاج تمرين المسابقات غالبًا إلى مصدر سريع دون اتصال ل I وk كي تُراجع الحلول بلا آلات حاسبة بيانية تحت ضغط الوقت. تستخدم أدوات المنتج والتعليم الشكل المغلق عندما يكتب المتعلم الكتلة ونصفَي قطر ويجب أن تعرض الواجهة I وk وتذكيرًا نظيفًا بالصيغة.

ذلك الفصل — استكشاف تفاعلي مجاني وواجهة برمجية مدفوعة مطابقة — يوافق بقية فهرس KIT من الفئة A ويتيح الانتقال من عرض صفي إلى خط أنابيب آلي دون تغيير النتيجة الرياضية. اقرنها بحاسبة عزم قصور عامة عندما يكون البحث حلقة أو قرصًا أو كرة أو قضيبًا، وبحاسبة عزم قطبي عندما يكون البحث فتل أعمدة بالأمتار إلى القوة الرابعة لا قصورًا كتليًا.

لا تستخدم هذه الصفحة لأزمنة سقوط مع انفكاك، ولا لهبوط اليويو، ولا لورق متغير الكتلة يغادر اللفافة: تلك المسائل تغيّر اللاغرانجي وتصنف سباقًا خطأ إن أُكرهت عبر أسطوانة مجوفة جاسئة. تستطيع نصوص الصيانة والموثوقية تجميع لفافات مقاسة من حصة مختبر، ورفض الصفوف التي ليس فيها ri أصغر من ro، وإرفاق I وk بكل عيّنة قبل السباق.