Moment d'inertie course papier toilette

Une course de papier toilette est la démonstration de cours où deux rouleaux rivalisent sur une rampe, ou chutent d'une hauteur tandis que l'un se déroule et l'autre reste un solide indéformable. Le nombre qui décide du vainqueur n'est pas la masse seule : c'est le moment d'inertie de masse du rouleau autour de l'axe du carton, car le roulement sans glissement couple translation et rotation par I. Ce calculateur modélise un rouleau de papier toilette comme un cylindre creux uniforme, prend la masse mesurée et les rayons intérieur et extérieur du papier restant, et renvoie I = (1/2) m (ri² + ro²) en kilogramme mètre carré.

La formule de cylindre creux qu'une course de papier toilette utilise vraiment

Un rouleau de papier toilette n'est ni un cerceau mince, ni un disque plein, ni une sphère. Une fois le papier restant retiré, il reste un tube à paroi épaisse : un noyau de carton de rayon intérieur ri (souvent le rayon extérieur du tube vide) et un rayon extérieur ro de la dernière spire de papier, la masse m étant répartie dans la couronne.

Pour un cylindre creux de densité uniforme tournant autour de son axe longitudinal central, le moment d'inertie de masse est la forme close I = (1/2) m (ri² + ro²). Cette identité est l'intégrale de r² dm sur la couronne ; la longueur du rouleau s'annule, de sorte que vous n'avez jamais besoin de la largeur de la feuille, seulement de la masse et des deux rayons.

Lorsque ri est beaucoup plus petit que ro, le rouleau se comporte comme un disque plein d'inertie (1/2) m ro² ; lorsque le papier est presque épuisé et que ri s'approche de ro, I s'approche de m ro², la limite du cerceau mince. Ces deux extrêmes expliquent pourquoi un rouleau presque vide et un rouleau jumbo plein ne courent pas de la même façon même si l'on met la masse à l'échelle.

Dans une course sur rampe avec roulement sans glissement, l'accélération linéaire est a = g sinθ / (1 + I / (m R²)), et le rayon de contact R est le rayon extérieur ro. Le facteur sans dimension k = I / (m ro²) vaut donc (ri² + ro²) / (2 ro²), qui se situe toujours entre un demi et un pour un rouleau physique.

Un k plus petit signifie qu'une plus grande part de l'énergie potentielle perdue va à la translation plutôt qu'à la rotation, de sorte que ce rouleau arrive le premier en bas. Ce calculateur renvoie I et ce facteur d'inertie afin qu'un cahier de laboratoire puisse injecter k dans la formule de course sans un second réarrangement.

Il n'intègre pas un flux de papier qui se déroule, ne modélise pas le frottement cinétique sur le carton et ne convertit pas le résultat en un temps d'arrivée : ces étapes exigent l'angle de la rampe, la longueur et le fait que le papier puisse se dérouler librement. Ce qu'il fait, c'est donner le I du rouleau indéformable dont part tout modèle de ce type, avec des unités SI et un arrondi déterministe pour que deux groupes mesurant le même rouleau obtiennent le même nombre.

Qui cherche un tableau générique d'anneau, de disque, de sphère ou de tige est sur une autre page ; celle-ci ne répond qu'au cylindre creux de la course de papier toilette à partir de la masse et des deux rayons.

Contrat d'entrée, unités SI et pourquoi le rayon intérieur doit être plus petit

Les signes plus initiaux facultatifs et la notation scientifique sur les chaînes numériques sont admis lorsqu'ils s'interprètent comme des décimaux finis ; les espaces intégrés, les préfixes hexadécimaux et les jetons non numériques sont rejetés avec un message qui nomme le champ. La masse doit être strictement positive : une masse nulle ou négative n'est pas un rouleau et n'est pas facturée comme une inertie nulle réussie. Le rayon intérieur doit être non négatif ; le rayon extérieur doit être strictement positif.

Des rayons égaux seraient un cerceau mince mathématique, mais un rouleau physique de papier toilette a toujours une paroi finie, et cette page de course refuse de changer de formule en silence. Les unités sont SI et ne sont pas converties.

Un rouleau ménager typique a un rayon extérieur proche de cinq centimètres, que vous devez envoyer comme 0.05 m, et un noyau de carton proche de deux centimètres, envoyé comme 0.02 m ; envoyer des millimètres comme s'ils étaient des mètres gonfle I d'un facteur d'un million au carré et ne sera pas corrigé en silence.

Il n'y a pas d'échantillonnage Monte Carlo de la densité des plis ni d'arrondi aléatoire : le moteur évalue (1/2) m (ri² + ro²) dans la plage de magnitude prise en charge, ou bien rejette l'entrée. Un rayon extérieur positif très petit est valide et produit un I correspondant petit ; il n'est pas traité comme zéro. Conservez les requêtes dans la plage absolue documentée.

Si votre pied à coulisse lit des millimètres, divisez par mille avant l'appel.

Où un nombre d'inertie de course de papier toilette justifie son existence

Les laboratoires d'introduction à la mécanique organisent des courses de papier toilette parce que le matériel est bon marché, la géométrie est visible et le résultat dépend de l'inertie de rotation plutôt que de qui a le rouleau le plus lourd. Les étudiants mesurent le papier restant au pied à coulisse, pèsent le rouleau, calculent I, puis prédisent si un rouleau plein ou un rouleau presque épuisé devrait gagner une course sur rampe sans glissement d'après le facteur k.

Les enseignants peuvent pré-générer des clés de correction pour des rayons mesurés arbitraires sans se fier à des applications opaques qui permutent millimètres et mètres en silence ou appliquent une formule de disque plein à un noyau creux.

Les développeurs appellent le même contrat depuis des scripts pour ensemencer des vecteurs de test déterministes pour des démonstrations de roulement sans glissement, pour normaliser des cotes de rouleau saisies par l'utilisateur avant qu'une interface trace l'accélération en fonction du rayon restant, ou pour satisfaire des énoncés de défis de programmation qui exigent le I du cylindre creux plutôt qu'un croquis approximatif.

L'entraînement aux concours a souvent besoin d'une source rapide et hors ligne de I et de k afin de vérifier les solutions sans calculatrices graphiques sous pression de temps. Les outils de produit et d'éducation utilisent la forme close lorsqu'un apprenant saisit masse et deux rayons et que l'interface doit afficher I, k et un rappel propre de la formule.

Associez-la à un calculateur générique de moment d'inertie lorsque la recherche est un anneau, un disque, une sphère ou une tige, et à un calculateur de moment polaire lorsque la recherche est la torsion d'arbres en mètres à la quatrième, non l'inertie de masse. N'utilisez pas cette page pour des temps de chute avec déroulement, une descente de yo-yo ou un papier de masse variable qui quitte le rouleau : ces problèmes changent le lagrangien et classeraient mal une course s'ils étaient forcés à travers un cylindre creux indéformable.

Les scripts de maintenance et de fiabilité peuvent regrouper des rouleaux mesurés d'une séance de laboratoire, rejeter les lignes où ri n'est pas inférieur à ro, et attacher I et k à chaque spécimen avant la course.