Momento d'inerzia corsa carta igienica

Una corsa di carta igienica è la dimostrazione in aula in cui due rotoli gareggiano su una rampa, oppure cadono da un'altezza mentre uno si srotola e l'altro resta un corpo rigido. Il numero che decide chi vince non è la massa da sola: è il momento d'inerzia di massa del rotolo rispetto all'asse del cartone, perché il rotolamento senza slittamento accoppia traslazione e rotazione attraverso I. Questo calcolatore modellizza un rotolo di carta igienica come un cilindro cavo uniforme, prende la massa misurata e i raggi interno ed esterno della carta restante e restituisce I = (1/2) m (ri² + ro²) in chilogrammo metro quadrato.

La formula del cilindro cavo che una corsa di carta igienica usa davvero

Un rotolo di carta igienica non è un anello sottile, un disco pieno né una sfera. Dopo aver rimosso la carta restante resta un tubo a parete spessa: un nucleo di cartone di raggio interno ri (spesso il raggio esterno del tubo vuoto) e un raggio esterno ro dell'ultima spira di carta, con la massa m distribuita nella corona. Per un cilindro cavo a densità uniforme che ruota attorno al proprio asse longitudinale centrale, il momento d'inerzia di massa è la forma chiusa I = (1/2) m (ri² + ro²).

Quell'identità è l'integrale di r² dm sulla corona; la lunghezza del rotolo si cancella, quindi Lei non ha mai bisogno della larghezza del foglio, soltanto della massa e dei due raggi. Quando ri è molto minore di ro il rotolo si comporta come un disco pieno di inerzia (1/2) m ro²; quando la carta è quasi finita e ri si avvicina a ro, I si avvicina a m ro², il limite dell'anello sottile.

Quei due estremi spiegano perché un rotolo quasi vuoto e un rotolo jumbo pieno non gareggiano allo stesso modo anche se si scala la massa. In una corsa su rampa con rotolamento senza slittamento l'accelerazione lineare è a = g sinθ / (1 + I / (m R²)), e il raggio di contatto R è il raggio esterno ro. Il fattore adimensionale k = I / (m ro²) vale pertanto (ri² + ro²) / (2 ro²), che per un rotolo fisico sta sempre tra un mezzo e uno.

Un k più piccolo significa che una quota maggiore dell'energia potenziale persa va in traslazione anziché in spin, così quel rotolo arriva per primo in fondo. Questo calcolatore restituisce I e quel fattore d'inerzia affinché un quaderno di laboratorio possa inserire k nella formula della corsa senza un secondo riarrangiamento. Non integra un flusso di carta che si srotola, non modellizza l'attrito cinetico sul cartone e non converte il risultato in un tempo di arrivo: quei passi richiedono l'angolo della rampa, la lunghezza e se la carta può srotolarsi liberamente.

Ciò che fa è dare la I del rotolo rigido da cui parte ogni modello di questo tipo, con unità SI e un arrotondamento deterministico così due gruppi che misurano lo stesso rotolo ottengono lo stesso numero. Chi cerca una tabella generica di anello, disco, sfera o asta è su un'altra pagina; questa risponde soltanto al cilindro cavo della corsa di carta igienica a partire dalla massa e dai due raggi.

Contratto di ingresso, unità SI e perché il raggio interno deve essere minore

I segni più iniziali opzionali e la notazione scientifica sulle stringhe numeriche sono ammessi quando si interpretano come decimali finiti; gli spazi incorporati, i prefissi esadecimali e i token non numerici vengono rifiutati con un messaggio che nomina il campo. La massa deve essere strettamente positiva: una massa nulla o negativa non è un rotolo e non viene addebitata come un'inerzia zero riuscita. Il raggio interno deve essere non negativo; il raggio esterno deve essere strettamente positivo.

Raggi uguali sarebbero un anello sottile matematico, ma un rotolo fisico di carta igienica ha sempre una parete finita, e questa pagina della corsa rifiuta di cambiare formula in silenzio. Le unità sono SI e non vengono convertite.

Un rotolo domestico tipico ha un raggio esterno vicino a cinque centimetri, che Lei deve inviare come 0.05 m, e un nucleo di cartone vicino a due centimetri, inviato come 0.02 m; inviare millimetri come se fossero metri gonfia I di un fattore di un milione al quadrato e non verrà corretto in silenzio. Non c'è campionamento Monte Carlo della densità delle veli né arrotondamento casuale: il motore o valuta (1/2) m (ri² + ro²) entro l'intervallo di magnitudine supportato, oppure rifiuta l'ingresso.

Un raggio esterno positivo molto piccolo è valido e produce una I corrispondentemente piccola; non viene trattato come zero. Mantenga le richieste entro l'intervallo assoluto documentato. Quelle cifre figurano tra gli esempi di riferimento spediti con la capacità; devono coincidere con una calcolatrice tascabile che usa la stessa identità di mezza massa per somma di quadrati.

Se il Suo calibro legge millimetri, divida per mille prima della chiamata.

Dove un numero d'inerzia di corsa di carta igienica merita il proprio posto

I laboratori introduttivi di meccanica allestiscono corse di carta igienica perché l'apparato è economico, la geometria è visibile e il risultato dipende dall'inerzia rotazionale anziché da chi ha il rotolo più pesante. Gli studenti misurano la carta restante con il calibro, pesano il rotolo, calcolano I e poi prevedono se un rotolo pieno o uno quasi esaurito dovrebbe vincere una corsa su rampa senza slittamento a partire dal fattore k.

I docenti possono pregenerare chiavi di correzione per raggi misurati arbitrari senza fidarsi di applicazioni opache che scambiano millimetri e metri in silenzio o applicano la formula del disco pieno a un nucleo cavo. Chi sviluppa chiama lo stesso contratto da script per seminare vettori di prova deterministici per dimostrazioni di rotolamento senza slittamento, per normalizzare le misure di rotolo immesse dall'utente prima che un'interfaccia tracci l'accelerazione rispetto al raggio restante, o per soddisfare enunciati di sfide di programmazione che esigono la I del cilindro cavo anziché uno schizzo approssimativo.

L'allenamento ai concorsi spesso ha bisogno di una fonte rapida e non in rete di I e k per verificare soluzioni senza calcolatrici grafiche sotto pressione di tempo. Gli strumenti di prodotto e di istruzione usano la forma chiusa quando chi impara digita massa e due raggi e l'interfaccia deve mostrare I, k e un promemoria pulito della formula.

La abbini a un calcolatore generico di momento d'inerzia quando la ricerca è un anello, un disco, una sfera o un'asta, e a uno di momento polare quando la ricerca è la torsione di alberi in metri alla quarta, non l'inerzia di massa. Non usi questa pagina per tempi di caduta con srotolamento, discesa di yo-yo o carta a massa variabile che lascia il rotolo: quei problemi cambiano il lagrangiano e classificherebbero male una corsa se fossero forzati attraverso un cilindro cavo rigido.

Gli script di manutenzione e affidabilità possono raggruppare rotoli misurati di una sessione di laboratorio, rifiutare le righe con ri non minore di ro e allegare I e k a ciascun campione prima della corsa.