トイレットペーパー競争の慣性モーメント
質量0.2 kg、内側の半径0.02 m、外側の半径0.05 mのロールは、慣性モーメントが0.00029 kg·m²、慣性係数が0.58です。質量と2つの半径を入力すると、係数の小さいロールほど先に斜面を下りきることが分かります。ブラウザで無料で使えます。
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計算例
- 質量
- 0.2
- 内半径
- 0.02
- 外半径
- 0.05
- 慣性モーメント
- 0.00029 kg·m^2
- 慣性係数
- 0.58
- 方程式
- I = (1/2)·0.2·(0.02^2 + 0.05^2) = 0.00029
- 軸
- central longitudinal axis of the toilet paper roll
トイレットペーパー競争とは、二つのロールが斜面を競い合う、あるいは一方がほどけながら他方が剛体のまま落ちる教室デモです。勝敗を決める数は質量だけではありません。すべりなし転がりが並進と回転を I で結合するため、厚紙軸まわりのロールの質量慣性モーメントです。本計算機はトイレットペーパーのロールを一様な中空円筒として模型化し、測った質量と残りの紙の内半径・外半径を受け取り、キログラム平方メートルで I = (1/2) m (ri² + ro²) を返します。
トイレットペーパー競争が実際に使う中空円筒の式
トイレットペーパーのロールは薄い輪でも中実円盤でも球でもありません。残りの紙を剥がすと厚い壁の管が残ります。内半径 ri の厚紙コア（多くの場合、空の筒の外半径）と、最後の巻きの外半径 ro があり、質量 m は円環に分布します。
一様密度の中空円筒が中心の長手軸まわりに回転するとき、質量慣性モーメントは閉じた形 I = (1/2) m (ri² + ro²) です。その恒等式は円環上の r² dm の積分であり、ロールの長さは打ち消されるため、紙の幅は不要で、質量と二つの半径だけで足ります。
ri が ro よりはるかに小さいとき、ロールは慣性 (1/2) m ro² の中実円盤のように振る舞い、紙がほとんど無くなり ri が ro に近づくと、I は薄い輪の極限 m ro² に近づきます。この二つの極端があるため、ほぼ空のロールと満杯のジャンボロールは、質量をスケールしても同じようには競争しません。
すべりなし転がりの斜面競争では線加速度は a = g sinθ / (1 + I / (m R²)) であり、接触半径 R は外半径 ro です。したがって無次元因子 k = I / (m ro²) は (ri² + ro²) / (2 ro²) に等しく、物理的なロールでは常に二分の一と一の間にあります。
k が小さいほど、失われた位置エネルギーのうち並進に回る割合が大きく、そのロールが先に下に着きます。本計算機は I とその慣性因子を返すので、実験ノートは二度目の変形なしに競争の式へ k を代入できます。ほどける紙の流れを積分せず、厚紙上の運動摩擦も模型化せず、結果を予想ゴールタイムにも変換しません。
それらの手順には斜面角、長さ、紙が自由にほどけるかどうかの指定が必要です。行うのは、そのような模型がすべて出発点とする剛体ロールの I を、SI 単位と決定的な丸めで与えることです。同じロールを測る二つの班が同じ数を得ます。
リング、円盤、球、棒の一般表を探す人は別のページにいます。このページは質量と二つの半径から、トイレットペーパー競争の中空円筒だけに答えます。
入力契約、SI 単位、内半径が小さくなければならない理由
数値文字列の先頭の任意のプラス記号や指数表記は、有限の小数として解析できる場合に受け付けられます。質量は厳密に正でなければなりません。ゼロまたは負の質量はロールではなく、成功したゼロ慣性としては課金されません。
内半径は非負、外半径は厳密に正でなければなりません。等しい半径は数学的な薄い輪になりますが、物理的なトイレットペーパーのロールには必ず有限の壁があり、この競争ページは黙って式を切り替えません。単位は SI であり、換算しません。
典型的な家庭用ロールの外半径は約五センチメートルで、0.05 m として送り、厚紙コアは約二センチメートルで 0.02 m として送ります。ミリメートルをメートルであるかのように送ると I は百万の二乗倍に膨らみ、黙っては直されません。プライ密度のモンテカルロサンプリングも乱数丸めもありません。
エンジンはサポートされる大きさの範囲内で (1/2) m (ri² + ro²) を評価するか、入力を拒否します。ごく小さい正の外半径は有効で、それに応じて小さい I を与えます。ゼロとしては扱いません。
要求は文書化された絶対範囲内に収めてください。ノギスがミリメートルを示す場合は、呼び出し前に千で割ってください。
トイレットペーパー競争の慣性の数が役立つ場面
入門力学の実験は、装置が安く幾何が見え、結果が重いロールを持つ人ではなく回転慣性に依存するため、トイレットペーパー競争を行います。学生は残りの紙をノギスで測り、ロールを量り、I を計算し、因子 k から満杯のロールとほぼ使い切ったロールのどちらがすべりなし斜面競争に勝つべきかを予測します。
教員は、ミリメートルとメートルを黙って入れ替える不透明な計算機アプリや、中空コアに中実円盤の式を当てはめるアプリを信頼せずに、任意の測定半径の解答キーを事前に作れます。
開発者は同じ契約をスクリプトから呼び、すべりなし転がりデモの決定的な試験ベクトルを蒔き、利用者が入力したロール仕様を、残半径に対する加速度を描く前に正規化し、あるいは手描きの略図ではなく中空円筒の I を求めるプログラミング課題を満たします。競技練習では、時間制限の下でグラフ電卓なしに解を確認するため、I と k の高速でオフラインな源がしばしば必要です。
製品と教育の道具は、学習者が質量と二つの半径を打ち、画面が I、k、きれいな式のリマインダを示すときに閉じた形を使います。このページでは作業はすべてご使用のブラウザ内で走ります。検索がリング、円盤、球、棒なら一般の慣性モーメント計算機と組み合わせ、軸のねじりでメートルの四乗を探すなら極モーメント計算機と組み合わせてください。
質量慣性ではありません。ほどけ落ちの時間、ヨーヨーの降下、ロールを離れる可変質量の紙には使わないでください。それらの問題はラグランジアンを変え、剛体の中空円筒に無理に通すと競争の順位を黙って誤ります。
保守と信頼性のスクリプトは実験時間に測ったロールをまとめ、ri が ro より小さくない行を拒否し、競争前に各標本へ I と k を付けられます。実装は純粋な parse の tier A であるため、モデル遅延も外向きネットワークもありません。
活用例
教室のトイレットペーパー斜面競争
ノギスで測った半径から I = (1/2) m (ri² + ro²) と k = I / (m ro²) を計算し、どのロールがすべりなし斜面でより速く加速するかを学生が予測できるようにします。
よくある質問
どの単位で送ればよいですか？
ミリメートルは 1000 で割って換算してください（外半径 50 mm は 0.05 m）。慣性モーメントは常に kg·m² です。
I はトイレットペーパー競争の勝敗をどのように決めますか？
すべりなし転がりでは a = g sinθ / (1 + k)、k = I / (m ro²) です。k が小さい（より満杯、ri が ro よりはるかに小さい）ほど並進にエネルギーが入り、そのロールが先に下に着くのが普通です。
ロールの幅を測る必要はありますか？
いいえ、必要ありません。一様な中空円筒では長さが計算から消えるため、質量と2つの半径だけで決まります。幅が違っても、質量と半径が同じロールは慣性モーメントも同じです。
ほぼ空のロールと満杯のロールで転がり方が違うのはなぜですか？
芯が小さい満杯のロールは中身の詰まった円板に近く、係数は2分の1に近くなります。紙が減って内側の半径が外側に近づくと薄い輪のようになり、係数は1に近づいて、ゆっくり転がります。
慣性係数とは何ですか？
慣性モーメントを、質量と外側の半径の二乗の積で割った値です。実際のロールでは必ず2分の1から1の間に収まり、斜面での加速度の式にそのまま当てはめられます。
関連ツール
開発者向け — APIアクセス
このページの機能はすべてAPIからも利用できます。自社システムに組み込みたいチーム向けのセクションです。それ以外の方は上のツールをそのままお使いください。
エンドポイント
Bearerトークンで認証し、POST1回でタスクをキューに登録します。結果はWebhookまたは署名付きリンクで受け取れます。
お使いのスタックから呼び出す
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/phys/toilet-paper-race-mass-moment-inertia \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"mass":0.2,"inner_radius":0.02,"outer_radius":0.05}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/phys/toilet-paper-race-mass-moment-inertia", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"mass": 0.2,
"inner_radius": 0.02,
"outer_radius": 0.05
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/phys/toilet-paper-race-mass-moment-inertia",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"mass": 0.2,
"inner_radius": 0.02,
"outer_radius": 0.05
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/phys/toilet-paper-race-mass-moment-inertia", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"mass":0.2,"inner_radius":0.02,"outer_radius":0.05}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"mass":0.2,"inner_radius":0.02,"outer_radius":0.05}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/phys/toilet-paper-race-mass-moment-inertia", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)リクエスト例
{
"mass": 0.2,
"inner_radius": 0.02,
"outer_radius": 0.05
}レスポンス例
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "phys.toilet_paper_race_mass_moment_inertia",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}非同期APIです。task_idは即時に返ります。ポーリングは1秒あたり1リクエストまでです。
料金
単価はすべて公開しています。トークン換算や独自クレジットはありません。失敗したタスクは課金されません。
制限
max_abs | 1000000000000 |
エラー
| HTTP | コード | 意味 |
|---|---|---|
401 | unauthorized | APIキーが無効か、指定されていません。Authorizationヘッダーを確認してください。 |
402 | insufficient_balance | 残高が不足しています。チャージ後に再度お試しください。 |
404 | unknown_type | 指定されたタスクタイプは存在しません。タイプ名を確認してください。 |
429 | rate_limited | リクエストが多すぎます。しばらく待ってから再度お試しください。 |
技術的な注記
内半径が外半径より厳密に小さくなければ幾何はロールではなく、輪を捏造する代わりに invalid_input で失敗します。成功した API 呼び出しは $0.002 で課金され、無効な入力は課金されません。
入力契約、SI 単位、内半径が小さくなければならない理由
必須の有限な数を三つ含む JSON 本体を POST してください。質量はキログラムの mass、内半径はメートルの inner_radius、外半径はメートルの outer_radius です。別名 m、ri、r_inner、inner_r、ro、r_outer、outer_r を受け付けるため、表計算と型付きフォームは同じ契約を再利用できます。埋め込まれた空白、16進数プレフィックス、非数値トークンはフィールド名を示すメッセージとともに拒否されます。特徴的な幾何の規則は、inner_radius が outer_radius より厳密に小さいことです。ri が ro 以上で送られると、その組は紙の円環を表さないため、タスクは invalid_input と「内半径が外半径より小さくない」というメッセージで失敗します。応答は正規化された質量と半径、kg·m^2 の moment_of_inertia、inertia_factor k、式の文字列、代入した方程式、単位、軸の説明をエコーします。自動化パイプライン内で同一の数学的結果が必要なときは、このページの無料ブラウザ実行と有料 API を組み合わせてください。都合のよい確認例は m = 0.2 kg、ri = 0.02 m、ro = 0.05 m で、I = 0.00029 kg·m^2 と k = 0.58 になります。これらの数字は能力に同梱される参照例の一部であり、同じ半質量かける二乗和の恒等式を使う手計算と一致するはずです。
トイレットペーパー競争の慣性の数が役立つ場面
API 経由では成功した照会ごとに $0.002 がかかり、失敗した検証は課金されず、応答の後に何も保存されません。無料の対話探索と有料で同一の API というこの分割は、KIT の tier A カタログの残りと一致し、教室デモから自動化パイプラインへ、数学的結果を変えずに移れます。質量はキログラム、半径はメートルのまま、試験では丸めた moment_of_inertia を固定すれば、すでに閉じた形を持つ円環に有限要素メッシュを立てずに、宿題、LMS プラグイン、エッジワーカー向けの再現可能な I が得られます。
連携の活用例
宿題と講義の解答キー
質量と二つの半径から決定的な中空円筒のオラクルを学習者に与え、内半径が外半径より小さくない場合の硬い invalid_input 経路も含めます。
実験の一括採点と LMS プラグイン
計算機代数ライブラリを取り込まずにスクリプトで測ったロールを採点し、無料ブラウザウィジェットがページに示すのと同じ I を付けます。
技術的な質問
トイレットペーパー競争の計算機はどの式を使いますか。
ロールを厚紙軸まわりの一様な中空円筒として模型化します。I = (1/2) m (inner_radius² + outer_radius²) を kg·m² で返し、競争因子 k = I / (m outer_radius²) も付けます。
内半径はなぜ外半径より小さくなければならないのですか。
トイレットペーパーのロールは紙の円環です。inner_radius が outer_radius より厳密に小さくなければ幾何はロールではないため、タスクは invalid_input で失敗し、課金されません。
トイレットペーパー競争の慣性計算機の料金はいくらですか。
ブラウザの道具は無料です。API 要求は成功した呼び出しごとに $0.002 で KIT の前払い残高を使い、無効な入力は課金されません。