Momento de inercia papel higiénico

Una carrera de papel higiénico es la demostración de aula en la que dos rollos compiten por una rampa, o caen desde una altura mientras uno se desenrolla y el otro permanece como sólido rígido. El número que decide quién gana no es la masa sola: es el momento de inercia de masa del rollo respecto del eje del cartón, porque la rodadura sin deslizamiento acopla traslación y rotación a través de I. Esta calculadora modela un rollo de papel higiénico como un cilindro hueco uniforme, toma la masa medida y los radios interior y exterior del papel restante, y devuelve I = (1/2) m (ri² + ro²) en kilogramo metro cuadrado.

La fórmula de cilindro hueco que usa de verdad una carrera de papel higiénico

Un rollo de papel higiénico no es un aro delgado, un disco macizo ni una esfera. Cuando se retira el papel restante queda un tubo de pared gruesa: un núcleo de cartón de radio interior ri (a menudo el radio exterior del tubo vacío) y un radio exterior ro de la última vuelta de papel, con la masa m repartida por la corona.

Para un cilindro hueco de densidad uniforme que gira alrededor de su eje longitudinal central, el momento de inercia de masa es la forma cerrada I = (1/2) m (ri² + ro²). Esa identidad es la integral de r² dm sobre la corona; la longitud del rollo se cancela, así que nunca necesita el ancho de la hoja, solo la masa y los dos radios.

Cuando ri es mucho menor que ro el rollo se comporta como un disco macizo de inercia (1/2) m ro²; cuando el papel casi se ha agotado y ri se acerca a ro, I se acerca a m ro², el límite de aro delgado. Esos dos extremos explican por qué un rollo casi vacío y un rollo jumbo lleno no compiten igual aunque se escale la masa.

En una carrera por rampa con rodadura sin deslizamiento la aceleración lineal es a = g sinθ / (1 + I / (m R²)), y el radio de contacto R es el radio exterior ro. El factor adimensional k = I / (m ro²) vale por tanto (ri² + ro²) / (2 ro²), que en un rollo físico queda siempre entre un medio y uno.

Un k más pequeño significa que una fracción mayor de la energía potencial perdida va a traslación en vez de a giro, de modo que ese rollo llega primero abajo. Esta calculadora devuelve I y ese factor de inercia para que un cuaderno de laboratorio pueda sustituir k en la fórmula de la carrera sin un segundo despeje.

No integra un chorro de papel que se desenrolla, no modela el rozamiento cinético sobre el cartón ni convierte el resultado en un tiempo de llegada: esos pasos exigen el ángulo de la rampa, la longitud y si el papel puede desenrollarse con libertad. Lo que sí da es la I del rollo rígido de la que parte todo modelo de este tipo, con unidades SI y un redondeo determinista para que dos grupos que midan el mismo rollo obtengan el mismo número.

Quien busca una tabla genérica de anillo, disco, esfera o varilla está en otra página; esta solo responde el cilindro hueco de la carrera de papel higiénico a partir de la masa y de los dos radios.

Contrato de entrada, unidades SI y por qué el radio interior debe ser menor

Los signos más iniciales opcionales y la notación científica en cadenas numéricas se admiten cuando se interpretan como decimales finitos; los espacios incrustados, los prefijos hexadecimales y los tokens no numéricos se rechazan con un mensaje que nombra el campo. La masa debe ser estrictamente positiva: una masa nula o negativa no es un rollo y no se factura como una inercia cero exitosa. El radio interior debe ser no negativo; el radio exterior debe ser estrictamente positivo.

Radios iguales serían un aro delgado matemático, pero un rollo físico de papel higiénico siempre tiene pared finita, y esta página de carrera se niega a cambiar de fórmula en silencio. Las unidades son SI y no se convierten.

Un rollo doméstico típico tiene un radio exterior cercano a cinco centímetros, que debe enviar como 0.05 m, y un núcleo de cartón cercano a dos centímetros, enviado como 0.02 m; enviar milímetros como si fueran metros infla I en un factor de un millón al cuadrado y no se corregirá en silencio. No hay muestreo Monte Carlo de la densidad de las capas ni redondeo aleatorio: el motor o bien evalúa (1/2) m (ri² + ro²) dentro del rango de magnitud admitido, o bien rechaza la entrada.

Un radio exterior positivo muy pequeño es válido y produce una I correspondientemente pequeña; no se trata como cero. Mantenga las peticiones dentro del rango absoluto documentado. Esas cifras figuran entre los ejemplos de referencia de la capacidad; deben coincidir con una calculadora de mano que use la misma identidad de media masa por suma de cuadrados.

Si su pie de rey lee milímetros, divida por mil antes de la llamada.

Dónde resulta útil un número de inercia de carrera de papel higiénico

Los laboratorios introductorios de mecánica organizan carreras de papel higiénico porque el montaje es barato, la geometría se ve y el resultado depende de la inercia rotacional, no de quién tiene el rollo más pesado. El alumnado mide el papel restante con el pie de rey, pesa el rollo, calcula I y predice si un rollo lleno o uno casi agotado debería ganar una carrera por rampa sin deslizamiento a partir del factor k.

El profesorado puede pregenerar claves de respuesta para radios medidos arbitrarios sin confiar en aplicaciones opacas que cambian milímetros y metros en silencio o aplican la fórmula de disco macizo a un núcleo hueco.

Quien desarrolla llama al mismo contrato desde scripts para sembrar vectores de prueba deterministas en demostraciones de rodadura sin deslizamiento, para normalizar cotas de rollo introducidas por el usuario antes de que una interfaz grafique la aceleración frente al radio restante, o para satisfacer enunciados de retos de programación que exigen la I de cilindro hueco en lugar de un boceto aproximado. La práctica de concursos suele necesitar una fuente rápida y sin conexión de I y k para verificar soluciones sin calculadoras gráficas bajo presión de tiempo.

Las herramientas de producto y de educación usan la forma cerrada cuando quien aprende escribe masa y dos radios y la interfaz debe mostrar I, k y un recordatorio limpio de la fórmula. Combínela con una calculadora genérica de momento de inercia cuando la búsqueda sea un anillo, un disco, una esfera o una varilla, y con una de momento polar cuando la búsqueda sea torsión de ejes en metros a la cuarta, no inercia de masa.

No use esta página para tiempos de caída con desenrollado, descenso de yo-yo o papel de masa variable que abandona el rollo: esos problemas cambian el lagrangiano y clasificarían mal una carrera si se forzaran por un cilindro hueco rígido. Los scripts de mantenimiento y fiabilidad pueden agrupar rollos medidos de una sesión de laboratorio, rechazar filas con ri no menor que ro y adjuntar I y k a cada espécimen antes de la carrera.