Momento de inércia corrida papel higiênico

Uma corrida de papel higiênico é a demonstração de sala em que dois rolos competem numa rampa, ou caem de uma altura enquanto um se desenrola e o outro permanece um corpo rígido. O número que decide quem vence não é a massa sozinha: é o momento de inércia de massa do rolo em torno do eixo do papelão, porque o rolamento sem deslizamento acopla translação e rotação por meio de I. Esta calculadora modela um rolo de papel higiênico como um cilindro oco uniforme, recebe a massa medida e os raios interno e externo do papel restante e devolve I = (1/2) m (ri² + ro²) em quilograma metro quadrado.

A fórmula de cilindro oco que uma corrida de papel higiênico realmente usa

Um rolo de papel higiênico não é um aro fino, um disco maciço nem uma esfera. Depois de retirar o papel restante, o que sobra é um tubo de parede espessa: um núcleo de papelão de raio interno ri (em geral o raio externo do tubo vazio) e um raio externo ro da última volta de papel, com a massa m distribuída pelo anel.

Para um cilindro oco de densidade uniforme que gira em torno do eixo longitudinal central, o momento de inércia de massa é a forma fechada I = (1/2) m (ri² + ro²). Essa identidade é a integral de r² dm sobre o anel; o comprimento do rolo se cancela, então você nunca precisa da largura da folha, só da massa e dos dois raios.

Quando ri é muito menor que ro o rolo se comporta como um disco maciço de inércia (1/2) m ro²; quando o papel quase acabou e ri se aproxima de ro, I se aproxima de m ro², o limite de aro fino. Esses dois extremos explicam por que um rolo quase vazio e um rolo jumbo cheio não correm do mesmo jeito mesmo se você escalar a massa.

Numa corrida em rampa com rolamento sem deslizamento a aceleração linear é a = g sinθ / (1 + I / (m R²)), e o raio de contato R é o raio externo ro. O fator adimensional k = I / (m ro²) vale portanto (ri² + ro²) / (2 ro²), que num rolo físico fica sempre entre um meio e um. Um k menor significa que uma fração maior da energia potencial perdida vai para translação em vez de giro, então esse rolo chega primeiro embaixo.

Esta calculadora devolve I e esse fator de inércia para que um caderno de laboratório possa substituir k na fórmula da corrida sem um segundo rearranjo. Ela não integra um jato de papel que se desenrola, não modela atrito cinético no papelão nem converte o resultado em tempo de chegada: esses passos exigem o ângulo da rampa, o comprimento e se o papel pode se desenrolar livremente.

O que ela faz é dar a I do rolo rígido da qual todo modelo desse tipo parte, com unidades SI e um arredondamento determinístico para que dois grupos que meçam o mesmo rolo obtenham o mesmo número. Quem busca uma tabela genérica de anel, disco, esfera ou haste está em outra página; esta responde só o cilindro oco da corrida de papel higiênico a partir da massa e dos dois raios.

Contrato de entrada, unidades SI e por que o raio interno precisa ser menor

Sinais de mais à esquerda opcionais e notação científica em strings numéricas são permitidos quando interpretados como decimais finitos; espaços embutidos, prefixos hexadecimais e tokens não numéricos são rejeitados com uma mensagem que nomeia o campo. A massa deve ser estritamente positiva: massa nula ou negativa não é um rolo e não é cobrada como uma inércia zero bem-sucedida. O raio interno deve ser não negativo; o raio externo deve ser estritamente positivo.

Raios iguais seriam um aro fino matemático, mas um rolo físico de papel higiênico sempre tem parede finita, e esta página da corrida recusa trocar de fórmula em silêncio. As unidades são SI e não são convertidas. Um rolo doméstico típico tem raio externo perto de cinco centímetros, que você deve enviar como 0.05 m, e um núcleo de papelão perto de dois centímetros, enviado como 0.02 m; enviar milímetros como se fossem metros infla I por um fator de um milhão ao quadrado e não será corrigido em silêncio.

Não há amostragem Monte Carlo da densidade das camadas nem arredondamento aleatório: o mecanismo ou avalia (1/2) m (ri² + ro²) dentro da faixa de magnitude suportada, ou rejeita a entrada. Um raio externo positivo muito pequeno é válido e produz um I correspondentemente pequeno; não é tratado como zero. Mantenha as solicitações dentro da faixa absoluta documentada.

Se o seu paquímetro lê milímetros, divida por mil antes da chamada.

Onde um número de inércia de corrida de papel higiênico vale a pena

Laboratórios introdutórios de mecânica encenam corridas de papel higiênico porque o aparato é barato, a geometria é visível e o resultado depende da inércia rotacional, não de quem tem o rolo mais pesado. Alunos medem o papel restante com paquímetro, pesam o rolo, calculam I e preveem se um rolo cheio ou um quase gasto deveria vencer uma corrida em rampa sem deslizamento a partir do fator k.

Docentes podem pré-gerar gabaritos para raios medidos arbitrários sem confiar em aplicativos opacos que trocam milímetros e metros em silêncio ou aplicam a fórmula de disco maciço a um núcleo oco.

Quem desenvolve chama o mesmo contrato a partir de scripts para semear vetores de teste determinísticos em demos de rolamento sem deslizamento, para normalizar cotas de rolo digitadas pelo usuário antes de a interface traçar aceleração versus raio restante, ou para satisfazer enunciados de desafios de programação que exigem a I de cilindro oco em vez de um esboço aproximado. A prática de concursos costuma precisar de uma fonte rápida e offline de I e k para conferir soluções sem calculadoras gráficas sob pressão de tempo.

Ferramentas de produto e de educação usam a forma fechada quando quem aprende digita massa e dois raios e a interface precisa mostrar I, k e um lembrete limpo da fórmula. Combine-a com uma calculadora genérica de momento de inércia quando a busca for anel, disco, esfera ou haste, e com uma de momento polar quando a busca for torção de eixos em metros à quarta, não inércia de massa.

Não use esta página para tempos de queda com desenrolamento, descida de ioiô ou papel de massa variável que deixa o rolo: esses problemas mudam o lagrangiano e classificariam mal uma corrida se fossem forçados por um cilindro oco rígido. Scripts de manutenção e confiabilidade podem agrupar rolos medidos de uma sessão de laboratório, rejeitar linhas com ri não menor que ro e anexar I e k a cada espécime antes da corrida.