Zeilenstufenform-Rechner
Geben Sie die Zeilen 1, 2, 1; 2, 1, −1; −1, 1, 2 ein und erhalten Sie eine Treppe mit zwei Pivots und einer Nullzeile am Ende, der Rang ist also 2. Einträge oberhalb der Pivots bleiben unverändert. Kostenlos in Ihrem Browser.
- Kostenlos
- Läuft in Ihrem Browser
- Ohne Anmeldung
- Ihre Daten bleiben auf Ihrem Gerät
Im Browser ausführen – kostenlos
Rechenbeispiel
- Genauigkeit
- 6
- Rang
- 2
- Zeilen
- 3
- Spalten
- 3
Dieser Rechner führt die Vorwärtsphase der Gauß-Elimination für jede unterstützte rechteckige Matrix aus endlichen reellen Zahlen aus. Er liefert die obere Zeilenstufenmatrix, sämtliche Pivotpositionen und den durch diese Pivots bestimmten Rang. Anders als ein Rechner für die reduzierte Zeilenstufenform endet er nach dem Nullsetzen der Einträge unter jedem Pivot: Werte oberhalb werden nicht beseitigt und Pivots nicht auf eins normiert.
Was die Zeilenstufenform erkennen lässt
Die Zeilenstufenform, häufig REF abgekürzt, ordnet die von null verschiedenen Matrixzeilen als Treppe an. Der erste von null verschiedene Eintrag jeder folgenden Zeile steht weiter rechts, unter jedem führenden Eintrag befinden sich nur Nullen und vollständige Nullzeilen stehen unten. Die führenden Einträge heißen Pivots.
Ihre Positionen kennzeichnen strukturell wichtige Spalten; ihre Anzahl ist der Rang der Matrix. Der Rechner gibt jeden Pivot mit nullbasierten Zeilen- und Spaltenindizes an. Außerdem liefert er Dimensionen, Genauigkeit, Methode und Rang.
Bei einer quadratischen Eingabe mit einem Pivot pro Zeile wird das Ergebnis oft obere Dreiecksmatrix genannt, doch REF gilt ebenso für rechteckige Matrizen und Matrizen mit Rangdefizit. Elementare Zeilenoperationen erhalten die Lösungsmenge eines erweiterten Gleichungssystems und den Rang. Das Ergebnis ist nicht zwingend eindeutig, da andere gültige Vertauschungen oder Skalierungen andere Stufenmatrizen erzeugen können.
Diese Implementierung trifft durch Teilpivotisierung eine reproduzierbare Wahl und normiert Pivotzeilen nicht.
So arbeitet die Vorwärtselimination nach Gauß
Der Algorithmus beginnt in der ersten Zeile und Spalte und sucht in der aktiven Spalte abwärts nach dem betragsmäßig größten Eintrag. Sind alle Kandidaten praktisch null, besitzt die Spalte keinen Pivot und die Suche rückt nach rechts. Andernfalls wird die gewählte Zeile an die aktive Position getauscht.
Ihr ausgewählter Eintrag wird zum Pivot; danach wird von jeder tieferen Zeile ein Vielfaches der Pivotzeile abgezogen, sodass unter dem Pivot Nullen entstehen. Anschließend rückt die aktive Zeile weiter, bis keine Zeilen oder Spalten verbleiben. Die Wahl des größten verfügbaren Betrags heißt Teilpivotisierung und vermindert vermeidbare Gleitkommafehler.
Werte innerhalb der festen Toleranz werden exakt null gesetzt und die Ausgabe auf die gewünschte Anzahl Dezimalstellen gerundet. Die Genauigkeit beeinflusst nur die Darstellung. Der Rechner endet nach dieser Phase: Er führt keine Rückwärtselimination durch, beseitigt keine Einträge oberhalb der Pivots und teilt Pivotzeilen nicht zur Erzeugung führender Einsen.
Diese weiteren Schritte gehören zum Gauß-Jordan-Verfahren und zur reduzierten Zeilenstufenform.
Eingabe vorbereiten und Ausgabe verstehen
Quadratische, breite erweiterte und hohe Matrizen sind bis zu fünfzig Zeilen und Spalten zulässig. precision ist eine optionale ganze Zahl von null bis zwölf und hat den Standardwert zehn. Eine Spalte ohne Pivot ist in dieser Phase frei; weniger Pivots als die kleinere Dimension bedeuten ein Rangdefizit. In einem erweiterten System weist eine Zeile mit lauter Nullkoeffizienten und einem von null verschiedenen Erweiterungseintrag auf einen Widerspruch hin, doch diese Deutung bleibt dem Aufrufer überlassen.
Vergleichen Sie das Ergebnis nicht eintragsweise mit einer Quelle, die Pivots normiert: Beide REF können gültig sein. Prüfen Sie Treppenform, Nullen unter den Pivots, Pivotspalten und Rang.
Anwendungsfälle
Aufgaben zur Gauß-Elimination prüfen
Vergleichen Sie Vorwärtselimination, Treppenmuster, Pivotpositionen und Rang, bevor Sie mit der Rückwärtssubstitution beginnen.
Deterministische Testdaten erzeugen
Erstellen Sie stabile REF-Matrizen und explizite nullbasierte Pivots für quadratische, rechteckige und rangdefiziente Eingaben.
Lineare Unabhängigkeit untersuchen
Zählen Sie die Pivots nach der Vorwärtselimination, um Rang und abhängige Zeilen oder Spalten zu erkennen.
Häufige Fragen
Sind Zeilenstufenform und reduzierte Form identisch?
Nein. REF setzt Einträge unter Pivots null; RREF beseitigt zusätzlich die Einträge darüber und normiert jeden Pivot auf eins.
Beginnen Pivotpositionen bei null?
Ja. Der erste Eintrag liegt in Zeile 0, Spalte 0, wie bei der üblichen Indizierung von Arrays und APIs.
Muss die Matrix quadratisch sein?
Nein. Rechteckige Matrizen sind zulässig, sofern jede Zeile gleich viele positive Spalten besitzt und die Grenzen einhält.
Warum kann mein Ergebnis von einer anderen gültigen REF abweichen?
REF ist nicht eindeutig. Vertauschungen und Skalierungen können Einträge ändern. Dieser Rechner verwendet Teilpivotisierung ohne Pivotnormierung.
Was sagen mir die Pivots?
Jedes Pivot markiert eine Spalte mit unabhängiger Information, und ihre Anzahl ist der Rang. Im Beispiel mit den Zeilen 1, 2, 1; 2, 1, −1; −1, 1, 2 gibt es zwei Pivots und eine Nullzeile, der Rang ist also 2.
Werden die Pivotpositionen ab null gezählt?
Ja. Zeilen und Spalten werden ab null nummeriert, ein Pivot oben links erscheint also als Zeile 0, Spalte 0. Zählen Sie zu jeder Nummer eins hinzu, um die übliche Zählung zu erhalten.
Ist die Zeilenstufenform dasselbe wie die reduzierte Zeilenstufenform?
Nein. Hier wird nur unterhalb jedes Pivots eliminiert; Einträge oberhalb bleiben stehen, und die Pivots werden nicht auf 1 gebracht. Für die reduzierte Form wäre ein weiterer Rechenschritt nötig.
Verwandte Tools
Für Entwickler — API-Zugang
Alles auf dieser Seite ist auch per API verfügbar. Dieser Abschnitt richtet sich an Teams, die es in ihre eigenen Systeme einbinden möchten; alle anderen nutzen einfach das Tool oben.
Endpunkt
Authentifizierung per Bearer-Token. Ein einziger POST stellt die Aufgabe in die Warteschlange; das Ergebnis erhalten Sie per Webhook oder über einen signierten Link.
Aufruf aus Ihrem Stack
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/algebra/matrix-row-echelon \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"matrix":[[1,2,1],[2,1,-1],[-1,1,2]]}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/algebra/matrix-row-echelon", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"matrix": [
[
1,
2,
1
],
[
2,
1,
-1
],
[
-1,
1,
2
]
]
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/algebra/matrix-row-echelon",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"matrix": [
[
1,
2,
1
],
[
2,
1,
-1
],
[
-1,
1,
2
]
]
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/algebra/matrix-row-echelon", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"matrix":[[1,2,1],[2,1,-1],[-1,1,2]]}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"matrix":[[1,2,1],[2,1,-1],[-1,1,2]]}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/algebra/matrix-row-echelon", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Beispiel-Anfrage
{
"matrix": [
[
1,
2,
1
],
[
2,
1,
-1
],
[
-1,
1,
2
]
]
}Beispiel-Antwort
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "algebra.matrix_row_echelon",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}Die API arbeitet asynchron: Sie erhalten sofort eine task_id. Polling ist mit 1 Anfrage pro Sekunde erlaubt.
Preis
Der Preis steht auf der Seite – keine Tokens, keine Credits. Fehlgeschlagene Aufgaben werden nicht berechnet.
Limits
max_rows | 50 |
max_cols | 50 |
max_abs_entry | 1000000000000 |
Fehler
| HTTP | Code | Bedeutung |
|---|---|---|
401 | unauthorized | Der API-Schlüssel fehlt oder ist ungültig – prüfen Sie den Authorization-Header (Bearer). |
402 | insufficient_balance | Ihr Guthaben reicht für diese Aufgabe nicht aus – Aufladungen verfallen nicht. |
404 | unknown_type | Unbekannter Aufgabentyp – prüfen Sie das Feld „type“ gegen den Katalog. |
429 | rate_limited | Zu viele Anfragen – warten Sie kurz; Polling ist mit 1 Anfrage pro Sekunde erlaubt. |
Technische Hinweise
Teilpivotisierung verbessert das numerische Verhalten, feste Rundung stabilisiert die JSON-Ausgabe und eine strenge Prüfung weist ungleich lange Zeilen zurück. Nutzen Sie den Rechner kostenlos im Browser oder rufen Sie die deterministische API für $0.002 in Übungen, Tests und Lernsoftware auf.
Eingabe vorbereiten und Ausgabe verstehen
Übergeben Sie matrix als verschachteltes JSON-Array mit einem inneren Array je Zeile. Jede Zeile muss gleich viele Einträge enthalten; jeder Eintrag muss eine endliche JSON-Zahl innerhalb der veröffentlichten Betragsgrenze sein. Verwenden Sie mehr Dezimalstellen zum Vergleich von Gleitkommarechnungen oder weniger für kompakte Lösungen. row_echelon enthält die transformierte Matrix, pivots führt die gewählten Positionen auf und rank entspricht der Länge dieser Liste.
Technische Fragen
Was kostet ein API-Aufruf?
Ein erfolgreicher API-Aufruf kostet $0.002. Dieselbe deterministische Berechnung ist im Browser kostenlos verfügbar.