Forma a scala per righe
Inserisca le righe 1, 2, 1; 2, 1, −1; −1, 1, 2 e ottenga una scala con due pivot e un'ultima riga di zeri, quindi il rango è 2. Gli elementi sopra i pivot restano come sono. Gratis nel suo browser.
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Esempio risolto
- Precisione
- 6
- Rango
- 2
- Righe
- 3
- Colonne
- 3
Questo calcolatore applica l’eliminazione di Gauss in avanti a qualsiasi matrice rettangolare supportata di numeri reali finiti. Restituisce la matrice a scala superiore, tutte le posizioni dei pivot e il rango determinato da tali pivot. Diversamente da un calcolatore della forma ridotta, si ferma dopo avere azzerato gli elementi sotto ogni pivot: non azzera quelli superiori e non impone pivot uguali a uno.
Che cosa mostra la forma a scala per righe
La forma a scala per righe, spesso abbreviata REF, dispone le righe non nulle di una matrice come una scalinata. Il primo elemento non nullo di ogni riga successiva compare più a destra, tutti gli elementi sotto un elemento guida sono zero e le righe interamente nulle si trovano in fondo. Gli elementi guida sono i pivot.
Le loro posizioni mostrano le colonne strutturalmente importanti e il loro numero coincide con il rango della matrice. Il calcolatore descrive ogni pivot con indici di riga e colonna a partire da zero. Restituisce inoltre dimensioni, precisione, metodo e rango.
La matrice risultante viene spesso detta triangolare superiore quando l’input è quadrato e presenta un pivot in ogni riga, ma REF vale anche per matrici rettangolari e con rango carente. Le operazioni elementari conservano sia l’insieme delle soluzioni di un sistema aumentato sia il rango. Il risultato non è necessariamente unico, poiché scambi o riscalamenti validi possono produrre matrici diverse.
Questa implementazione rende la scelta riproducibile mediante pivot parziale e non normalizza le righe pivot.
Come funziona l’eliminazione di Gauss in avanti
L’algoritmo parte dalla prima riga e colonna, poi cerca verso il basso l’elemento con valore assoluto maggiore nella colonna attiva. Se tutti i candidati sono praticamente zero, la colonna non ha pivot e la ricerca prosegue a destra. Altrimenti, la riga scelta viene scambiata con quella attiva.
L’elemento selezionato diventa il pivot e un multiplo della sua riga viene sottratto da ogni riga sottostante per azzerare gli elementi inferiori. La riga attiva avanza e il procedimento continua finché restano righe e colonne. Scegliere la maggiore grandezza disponibile costituisce il pivot parziale e riduce gli errori evitabili in virgola mobile.
I valori entro la tolleranza fissa diventano zero esatto e gli elementi vengono arrotondati alle cifre richieste. La precisione controlla soltanto la presentazione. Il calcolatore si ferma qui: non esegue eliminazione all’indietro, non azzera sopra i pivot e non divide le righe per creare pivot unitari.
Questi passaggi appartengono a Gauss-Jordan e alla forma ridotta.
Come preparare l’input e interpretare l’output
Sono accettate matrici quadrate, matrici aumentate larghe e matrici alte entro cinquanta righe e colonne. precision è un intero facoltativo da zero a dodici e vale dieci per impostazione predefinita. Una colonna senza pivot è libera in quella fase; meno pivot della dimensione minore indicano un rango carente. Non confronti voce per voce con una fonte che normalizza i pivot: entrambe le REF possono essere valide.
Controlli invece la scala, gli zeri inferiori, le colonne pivot e il rango.
Casi d'uso
Verificare esercizi di eliminazione di Gauss
Confronti l’eliminazione in avanti, la struttura a scala, le posizioni dei pivot e il rango prima della sostituzione all’indietro.
Esaminare l’indipendenza lineare
Conti i pivot dopo l’eliminazione in avanti per ricavare il rango e individuare righe o colonne dipendenti.
Domande frequenti
La forma a scala coincide con quella ridotta?
No. REF azzera gli elementi sotto i pivot; RREF azzera anche quelli sopra e rende ogni pivot uguale a uno.
La matrice deve essere quadrata?
No. Sono ammesse matrici rettangolari se tutte le righe hanno lo stesso numero positivo di colonne e rispettano i limiti.
Perché il risultato può differire da un’altra REF valida?
REF non è unica. Scambi e riscalamenti possono modificarla. Il calcolatore usa il pivot parziale e non normalizza i pivot.
Che cosa mi dicono i pivot?
Ogni pivot segna una colonna con informazione indipendente, e il loro numero è il rango. Nell'esempio con righe 1, 2, 1; 2, 1, −1; −1, 1, 2 ci sono due pivot e una riga di zeri, quindi il rango è 2.
Le posizioni dei pivot si contano da zero?
Sì. Righe e colonne sono numerate da zero, quindi un pivot nell'angolo in alto a sinistra compare come riga 0, colonna 0. Aggiunga uno a ogni numero per ottenere la numerazione abituale.
Strumenti correlati
Per sviluppatori — accesso via API
Tutto quello che vedi in questa pagina è disponibile anche via API. Questa sezione è per i team che vogliono integrarlo nei propri sistemi; chi non ne ha bisogno può semplicemente usare lo strumento qui sopra.
Endpoint
Autenticazione con Bearer token: un POST mette in coda l'attività e il risultato arriva via webhook o link firmato.
Chiamala dal tuo stack
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/algebra/matrix-row-echelon \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"matrix":[[1,2,1],[2,1,-1],[-1,1,2]]}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/algebra/matrix-row-echelon", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
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body: JSON.stringify({
"matrix": [
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2,
1
],
[
2,
1,
-1
],
[
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1,
2
]
]
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/algebra/matrix-row-echelon",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"matrix": [
[
1,
2,
1
],
[
2,
1,
-1
],
[
-1,
1,
2
]
]
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/algebra/matrix-row-echelon", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"matrix":[[1,2,1],[2,1,-1],[-1,1,2]]}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"matrix":[[1,2,1],[2,1,-1],[-1,1,2]]}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/algebra/matrix-row-echelon", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Esempio di richiesta
{
"matrix": [
[
1,
2,
1
],
[
2,
1,
-1
],
[
-1,
1,
2
]
]
}Esempio di risposta
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "algebra.matrix_row_echelon",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}L'API è asincrona: ricevi subito un task_id e puoi fare polling fino a 1 richiesta al secondo.
Prezzi
Prezzo pubblicato, senza token né crediti. Se l'attività fallisce, non paghi.
Limiti
max_rows | 50 |
max_cols | 50 |
max_abs_entry | 1000000000000 |
Errori
| HTTP | Codice | Significato |
|---|---|---|
401 | unauthorized | Chiave API mancante o non valida: controlla l'header Authorization. |
402 | insufficient_balance | Credito esaurito: ricarica per continuare a eseguire attività. |
404 | unknown_type | Tipo di attività sconosciuto: controlla il campo type della richiesta. |
429 | rate_limited | Troppe richieste in poco tempo: rallenta e riprova tra qualche secondo. |
Note tecniche
Il pivot parziale migliora il comportamento numerico, l’arrotondamento fisso rende stabile l’output JSON e la convalida rigorosa rifiuta matrici irregolari. Lei può usare gratuitamente lo strumento nel browser oppure chiamare l’API deterministica a $0.002 per esercizi, test e software didattico.
Come preparare l’input e interpretare l’output
Invii matrix come array JSON annidato, con un array interno per ogni riga. Tutte le righe devono contenere lo stesso numero di elementi e ogni elemento deve essere un numero JSON finito entro il limite pubblicato. Usi più decimali per confrontare calcoli in virgola mobile o meno per una risposta compatta. row_echelon contiene la matrice trasformata, pivots elenca le posizioni scelte e rank è la lunghezza della lista. In un sistema aumentato, coefficienti tutti nulli con termine aumentato non nullo indicano incoerenza, ma l’API lascia l’interpretazione al chiamante.
Casi di integrazione
Creare fixture di test deterministiche
Generi matrici REF stabili e pivot espliciti indicizzati da zero per input quadrati, rettangolari e con rango carente.
Domande tecniche
Quanto costa una richiesta API?
Una richiesta riuscita costa $0.002. Lo stesso calcolo deterministico è disponibile gratuitamente nel browser.
Le posizioni dei pivot partono da zero?
Sì. Il primo elemento si trova alla riga 0, colonna 0, come nella normale indicizzazione di array e API.