Forma escalonada por linhas
Digite as linhas 1, 2, 1; 2, 1, −1; −1, 1, 2 e obtenha uma escada com dois pivôs e uma última linha de zeros, então o posto é 2. Os elementos acima dos pivôs ficam como estão. Grátis no seu navegador.
- Grátis
- Funciona no seu navegador
- Sem cadastro
- Seus dados não saem do seu aparelho
Executar grátis
Exemplo resolvido
- Precisão
- 6
- Posto
- 2
- Linhas
- 3
- Colunas
- 3
Esta calculadora aplica eliminação de Gauss progressiva a qualquer matriz retangular compatível de números reais finitos. Ela retorna a matriz escalonada superior, todas as posições dos pivôs e o posto indicado por eles. Diferentemente de uma calculadora de forma escalonada reduzida, ela para após zerar os elementos abaixo de cada pivô: não zera os elementos acima nem força cada pivô a ser um.
O que a forma escalonada por linhas mostra
A forma escalonada por linhas, abreviada como REF, organiza as linhas não nulas de uma matriz como uma escada. A primeira entrada não nula de cada linha sucessiva aparece mais à direita, toda entrada abaixo de uma entrada líder é zero e as linhas totalmente nulas ficam no final. Essas entradas líderes são os pivôs.
Suas posições revelam as colunas estruturalmente importantes, e sua quantidade é o posto da matriz. A calculadora informa cada pivô com índices de linha e coluna iniciados em zero. Também retorna dimensões, precisão, método e posto.
A matriz resultante costuma ser chamada triangular superior quando a entrada é quadrada e tem um pivô em cada linha, embora REF também se aplique a matrizes retangulares e deficientes em posto. Operações elementares preservam o conjunto solução de um sistema aumentado e o posto. O resultado não é necessariamente único, pois trocas ou escalas válidas podem produzir outras matrizes escalonadas.
Esta implementação torna a escolha reproduzível por pivoteamento parcial e não normaliza as linhas de pivô.
Como funciona a eliminação de Gauss progressiva
O algoritmo começa na primeira linha e coluna e procura abaixo a entrada de maior valor absoluto na coluna ativa. Se todas as candidatas forem efetivamente zero, a coluna não possui pivô e a busca avança para a direita. Caso contrário, a linha escolhida troca de lugar com a linha ativa.
A entrada selecionada vira o pivô, e um múltiplo da linha do pivô é subtraído de cada linha inferior para zerar os elementos abaixo. A linha ativa avança e o processo continua até acabarem linhas ou colunas. Escolher a maior magnitude disponível é o pivoteamento parcial, que reduz erros evitáveis de ponto flutuante.
Valores dentro da tolerância fixa viram zero exato, e as entradas são arredondadas para as casas solicitadas. A precisão controla apenas a apresentação. A calculadora para nessa fase: não faz eliminação regressiva, não zera elementos acima dos pivôs e não divide as linhas para criar pivôs unitários.
Essas etapas pertencem à eliminação de Gauss-Jordan e à forma reduzida.
Como preparar a entrada e interpretar a saída
Matrizes quadradas, aumentadas largas e matrizes altas são aceitas dentro de cinquenta linhas e colunas. precision é um inteiro opcional de zero a doze e vale dez por padrão. Uma coluna sem pivô é livre nessa etapa, e menos pivôs que a menor dimensão indicam deficiência de posto. Não compare cada entrada com uma fonte que normalize pivôs: ambas podem produzir REF válidas.
Verifique a escada, os zeros inferiores, as colunas de pivô e o posto.
Casos de uso
Conferir exercícios de eliminação de Gauss
Compare sua eliminação progressiva, o padrão escalonado, as posições dos pivôs e o posto antes da substituição regressiva.
Criar casos de teste determinísticos
Gere matrizes REF estáveis e pivôs explícitos iniciados em zero para testes quadrados, retangulares e deficientes em posto.
Examinar independência linear
Conte os pivôs após a eliminação progressiva para obter o posto e revelar linhas ou colunas dependentes.
Perguntas frequentes
Forma escalonada é igual à forma escalonada reduzida?
Não. REF zera elementos abaixo dos pivôs; RREF também zera os elementos acima e transforma cada pivô em um.
A matriz precisa ser quadrada?
Não. Matrizes retangulares são aceitas se todas as linhas tiverem a mesma quantidade positiva de colunas e respeitarem os limites.
Por que minha resposta pode diferir de outra REF válida?
REF não é única. Trocas e escalas podem mudar suas entradas. Esta calculadora usa pivoteamento parcial e não normaliza pivôs.
O que os pivôs me dizem?
Cada pivô marca uma coluna com informação independente, e a quantidade de pivôs é o posto. No exemplo com linhas 1, 2, 1; 2, 1, −1; −1, 1, 2, há dois pivôs e uma linha de zeros, então o posto é 2.
As posições dos pivôs são contadas a partir de zero?
Sim. Linhas e colunas são numeradas a partir de zero, então um pivô no canto superior esquerdo aparece como linha 0, coluna 0. Some um a cada número para obter a numeração habitual.
Ferramentas relacionadas
Para desenvolvedores — acesso via API
Tudo nesta página está disponível via API. Esta seção é para equipes que querem integrar a ferramenta aos próprios sistemas; quem não precisa disso pode simplesmente usar a ferramenta acima.
Endpoint
Autenticação por token Bearer. Um único POST coloca a tarefa na fila; o resultado chega por webhook ou link assinado.
Chame do seu código
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/algebra/matrix-row-echelon \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"matrix":[[1,2,1],[2,1,-1],[-1,1,2]]}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/algebra/matrix-row-echelon", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"matrix": [
[
1,
2,
1
],
[
2,
1,
-1
],
[
-1,
1,
2
]
]
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/algebra/matrix-row-echelon",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"matrix": [
[
1,
2,
1
],
[
2,
1,
-1
],
[
-1,
1,
2
]
]
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/algebra/matrix-row-echelon", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"matrix":[[1,2,1],[2,1,-1],[-1,1,2]]}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"matrix":[[1,2,1],[2,1,-1],[-1,1,2]]}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/algebra/matrix-row-echelon", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Exemplo de requisição
{
"matrix": [
[
1,
2,
1
],
[
2,
1,
-1
],
[
-1,
1,
2
]
]
}Exemplo de resposta
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "algebra.matrix_row_echelon",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}A API é assíncrona: cada chamada devolve um task_id na hora. Se preferir polling, consulte o status a até 1 requisição por segundo.
Preço
Preço publicado, sem tokens nem créditos escondidos. Tarefa que falha não é cobrada.
Limites
max_rows | 50 |
max_cols | 50 |
max_abs_entry | 1000000000000 |
Erros
| HTTP | Código | O que significa |
|---|---|---|
401 | unauthorized | Token ausente ou inválido. Confira o header Authorization. |
402 | insufficient_balance | Saldo insuficiente para esta tarefa. Faça uma recarga e tente de novo. |
404 | unknown_type | Esse tipo de tarefa não existe. Confira o campo type no catálogo. |
429 | rate_limited | Muitas requisições em pouco tempo. Espere um instante e tente de novo. |
Notas técnicas
O pivoteamento parcial melhora o comportamento numérico, o arredondamento fixo estabiliza a saída JSON e a validação rigorosa rejeita matrizes irregulares. Você pode usar o executor gratuito no navegador ou chamar a API determinística por US$ 0,002 em exercícios, testes e software educacional.
Como preparar a entrada e interpretar a saída
Envie matrix como uma matriz JSON aninhada, com um array interno por linha. Todas as linhas devem conter a mesma quantidade de entradas, e cada entrada deve ser um número JSON finito dentro do limite publicado. Use mais casas para comparar derivações de ponto flutuante ou menos para respostas compactas. row_echelon contém a matriz transformada, enquanto pivots lista as posições escolhidas; rank é o comprimento dessa lista. Em um sistema aumentado, coeficientes todos nulos com termo aumentado não nulo indicam inconsistência, mas a API deixa essa interpretação ao cliente.
Perguntas técnicas
Quanto custa uma solicitação à API?
Uma solicitação bem-sucedida custa US$ 0,002. O mesmo cálculo determinístico está disponível gratuitamente no navegador.
As posições dos pivôs começam em zero?
Sim. A primeira entrada fica na linha 0, coluna 0, como na indexação usual de arrays e API.