Forme échelonnée par lignes
Saisissez les lignes 1, 2, 1 ; 2, 1, −1 ; −1, 1, 2 et obtenez un escalier avec deux pivots et une dernière ligne nulle : le rang vaut donc 2. Les coefficients au-dessus des pivots restent inchangés. Gratuit dans votre navigateur.
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Exemple résolu
- Précision
- 6
- Rang
- 2
- Lignes
- 3
- Colonnes
- 3
Ce calculateur applique l’élimination de Gauss directe à toute matrice rectangulaire compatible de nombres réels finis. Il renvoie la matrice échelonnée supérieure, chaque position de pivot et le rang donné par ces pivots. Contrairement à un calculateur de forme échelonnée réduite, il s’arrête après avoir annulé les valeurs sous chaque pivot : il n’annule pas celles du dessus et n’impose pas des pivots égaux à un.
Ce que révèle la forme échelonnée
La forme échelonnée par lignes, souvent abrégée REF, dispose les lignes non nulles d’une matrice en escalier. Le premier terme non nul de chaque nouvelle ligne se trouve plus à droite, toutes les valeurs sous un terme directeur sont nulles et les lignes entièrement nulles sont placées en bas. Ces termes directeurs sont les pivots.
Leurs positions indiquent les colonnes structurellement importantes et leur nombre donne le rang de la matrice. Ce calculateur décrit chaque pivot avec des indices de ligne et de colonne commençant à zéro. Il renvoie aussi les dimensions, la précision, la méthode et le rang.
Pour une matrice carrée ayant un pivot par ligne, le résultat est souvent qualifié de triangulaire supérieur, mais REF convient également aux matrices rectangulaires ou de rang déficient. Les opérations élémentaires conservent l’ensemble des solutions d’un système augmenté ainsi que le rang. La forme obtenue n’est pas nécessairement unique : d’autres permutations ou mises à l’échelle valides peuvent donner des matrices différentes.
Ici, le pivot partiel rend le choix reproductible et les lignes de pivot ne sont pas normalisées.
Fonctionnement de l’élimination de Gauss directe
L’algorithme part de la première ligne et de la première colonne, puis cherche vers le bas la valeur absolue la plus élevée dans la colonne active. Si toutes les candidates sont pratiquement nulles, cette colonne n’a pas de pivot et la recherche continue à droite. Sinon, la ligne choisie prend la place active.
Son entrée devient le pivot, puis un multiple de cette ligne est soustrait de chaque ligne inférieure afin d’annuler les valeurs sous le pivot. La ligne active avance et le traitement continue jusqu’à épuisement des lignes ou colonnes. Choisir la plus grande amplitude disponible constitue le pivot partiel et limite les erreurs évitables en virgule flottante.
Les valeurs dans la tolérance fixe deviennent exactement zéro, puis les résultats sont arrondis au nombre de décimales demandé. La précision ne modifie que la présentation. Le calcul s’arrête à cette étape : aucune élimination arrière, annulation au-dessus des pivots ou division pour créer des pivots unitaires.
Ces opérations relèvent de Gauss-Jordan et de la forme échelonnée réduite.
Préparer l’entrée et lire la sortie
Les matrices carrées, augmentées larges ou hautes sont admises dans la limite de cinquante lignes et colonnes. precision est un entier facultatif de zéro à douze, égal à dix par défaut. Une colonne sans pivot est libre à ce stade ; un nombre de pivots inférieur à la plus petite dimension signale un rang déficient. Ne comparez pas terme à terme avec une source qui normalise ses pivots : les deux REF peuvent être valides.
Vérifiez plutôt l’escalier, les zéros inférieurs, les colonnes pivots et le rang.
Cas d’usage
Vérifier un exercice d’élimination de Gauss
Comparez votre élimination directe, la structure en escalier, les positions des pivots et le rang avant la substitution arrière.
Créer des jeux de test déterministes
Produisez des matrices REF stables et des pivots explicites indexés à partir de zéro pour différents types d’entrées.
Examiner l’indépendance linéaire
Comptez les pivots après l’élimination directe afin de déterminer le rang et de repérer les lignes ou colonnes dépendantes.
Questions fréquentes
La forme échelonnée est-elle identique à la forme réduite ?
Non. REF annule les valeurs sous les pivots ; RREF annule aussi celles du dessus et transforme chaque pivot en un.
La matrice doit-elle être carrée ?
Non. Les matrices rectangulaires sont acceptées si toutes les lignes ont le même nombre positif de colonnes et respectent les limites.
Pourquoi mon résultat peut-il différer d’une autre REF valide ?
REF n’est pas unique. Les permutations et mises à l’échelle peuvent changer les valeurs. Ce calculateur emploie le pivot partiel sans normaliser les pivots.
Que m'apprennent les pivots ?
Chaque pivot signale une colonne porteuse d'une information indépendante, et leur nombre donne le rang. Dans l'exemple de lignes 1, 2, 1 ; 2, 1, −1 ; −1, 1, 2, il y a deux pivots et une ligne nulle : le rang vaut 2.
Les positions des pivots sont-elles comptées à partir de zéro ?
Oui. Lignes et colonnes sont numérotées à partir de zéro : un pivot dans le coin supérieur gauche apparaît en ligne 0, colonne 0. Ajoutez un à chaque numéro pour retrouver la numérotation habituelle.
Outils associés
Pour les développeurs — accès API
Tout sur cette page est disponible par programmation. Cette section s'adresse aux équipes qui veulent l'intégrer à leurs systèmes ; les autres peuvent simplement utiliser l'outil ci-dessus.
Endpoint
Authentification par jeton Bearer : un seul POST met la tâche en file d’attente, et le résultat vous parvient par webhook ou lien signé.
Appeler depuis votre stack
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/algebra/matrix-row-echelon \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"matrix":[[1,2,1],[2,1,-1],[-1,1,2]]}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/algebra/matrix-row-echelon", {
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2,
1
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[
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1,
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const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
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headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"matrix": [
[
1,
2,
1
],
[
2,
1,
-1
],
[
-1,
1,
2
]
]
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/algebra/matrix-row-echelon", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"matrix":[[1,2,1],[2,1,-1],[-1,1,2]]}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"matrix":[[1,2,1],[2,1,-1],[-1,1,2]]}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/algebra/matrix-row-echelon", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Exemple de requête
{
"matrix": [
[
1,
2,
1
],
[
2,
1,
-1
],
[
-1,
1,
2
]
]
}Exemple de réponse
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "algebra.matrix_row_echelon",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}L’API est asynchrone : chaque appel renvoie un task_id immédiatement, puis vous interrogez l’état à raison d’une requête par seconde.
Tarifs
Le prix est publié, sans tokens ni crédits. Une tâche qui échoue n’est pas facturée.
Limites
max_rows | 50 |
max_cols | 50 |
max_abs_entry | 1000000000000 |
Erreurs
| HTTP | Code | Signification |
|---|---|---|
401 | unauthorized | Clé API absente ou invalide : vérifiez l’en-tête Authorization. |
402 | insufficient_balance | Solde insuffisant : rechargez votre compte pour lancer cette tâche. |
404 | unknown_type | Type de tâche inconnu : vérifiez le champ type de votre requête. |
429 | rate_limited | Trop de requêtes : ralentissez la cadence, puis réessayez. |
Notes techniques
Le pivot partiel améliore la stabilité numérique, l’arrondi fixe stabilise la sortie JSON et la validation stricte refuse les matrices irrégulières. Utilisez gratuitement l’outil dans votre navigateur ou appelez l’API déterministe pour $0.002 dans vos exercices, tests et logiciels pédagogiques.
Préparer l’entrée et lire la sortie
Envoyez matrix sous forme de tableau JSON imbriqué, avec un tableau interne par ligne. Toutes les lignes doivent compter autant d’éléments et chaque élément doit être un nombre JSON fini respectant la limite publiée. Choisissez davantage de décimales pour comparer des calculs en virgule flottante, ou moins pour une réponse compacte. row_echelon contient la matrice transformée, pivots énumère les positions retenues et rank est la longueur de cette liste. Dans un système augmenté, une ligne de coefficients nuls avec un terme augmenté non nul indique une incompatibilité, mais l’API laisse cette interprétation au client.
Questions techniques
Combien coûte une requête API ?
Une requête réussie coûte $0.002. Le même calcul déterministe est disponible gratuitement dans votre navigateur.
Les positions des pivots commencent-elles à zéro ?
Oui. La première entrée est à la ligne 0, colonne 0, conformément à l’indexation habituelle des tableaux et API.