Polynome subtrahieren
Subtrahieren Sie Polynome spaltenweise: 4x^3 − 2x + 7 minus x^3 + 5x^2 − 3 ergibt 3x^3 − 5x^2 − 2x + 10, jede Potenz sauber untereinander, damit Sie jeden Schritt prüfen können. Kostenlos in Ihrem Browser.
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Rechenbeispiel
- Minuend
- 4x^3 - 2x + 7
- Subtrahend
- x^3 + 5x^2 - 3
- Ausdruck
- 3x^3 - 5x^2 - 2x + 10
- Grad
- 3
Dieser Rechner führt zwei Polynome in x zu einer vereinfachten Differenz zusammen. Es liefert einen lesbaren Ausdruck in absteigender Standardform, strukturierte Terme ungleich null, den resultierenden Grad und eine vollständige Ausrichtungstabelle, in der auch weggefallene Terme sichtbar bleiben. Dezimalkoeffizienten, fehlende Potenzen und Koeffizienten von eins werden unterstützt.
Polynome durch Ausrichten gleichartiger Terme subtrahieren
Bei der Polynomsubtraktion werden zuerst Terme mit derselben Variablen und demselben Exponenten erkannt. Ein kubischer Term lässt sich nur mit einem anderen kubischen Term verbinden, ein quadratischer nur mit einem quadratischen und eine Konstante nur mit einer Konstante. Ordnen Sie beide Polynome nach absteigendem Grad und setzen Sie für jede fehlende Potenz eine null ein.
Ziehen Sie anschließend den Koeffizienten der zweiten Zeile vom Koeffizienten der ersten ab. Der Rechner übernimmt diese Ausrichtung auch bei unsortierten Termen oder mehrfach vorkommenden Potenzen. Beim Abziehen von x^3 + 5x^2 - 3 von 4x^3 - 2x + 7 lauten die Koeffizientendifferenzen drei, minus fünf, minus zwei und zehn.
Das ergibt 3x^3 - 5x^2 - 2x + 10. Die Ausrichtungstabelle behält sämtliche Zeilen einschließlich der Nulldifferenzen; die kompakte Termliste und der endgültige Ausdruck lassen Nullen weg. So dient die Antwort zugleich als Ergebnis und nachvollziehbarer Rechenweg.
Heben sich alle Koeffizienten auf, lautet der Ausdruck null und der Grad minus eins, eine zweckmäßige Konvention für das Nullpolynom.
Ausdrücke eingeben und das Ergebnis verstehen
Die Reihenfolge ist entscheidend, denn A minus B entspricht normalerweise nicht B minus A. Verwenden Sie x oder X als Variable. Zulässig sind etwa 7, x, -x, 3x, 3*x, 2.5x^4 und Dezimalkonstanten wie .75.
Exponenten müssen, sofern angegeben, ausdrücklich nichtnegative Ganzzahlen sein. Daher ist x^0 als Konstante erlaubt, x^-1 jedoch nicht. Leerzeichen sind optional, und ein eingefügtes Unicode-Minuszeichen wird normalisiert.
Klammern, Brüche wie 1/2, mehrere Variablen und implizite Produkte ganzer Ausdrücke unterstützt dieser gezielte Parser nicht. Der Ergebnisausdruck ist bereits vom höchsten Exponenten bis zur Konstante sortiert. Das Array terms enthält Exponent und Koeffizient jedes Ergebnisterms ungleich null.
Degree bezeichnet den höchsten verbleibenden Exponenten oder minus eins beim Nullergebnis. Aligned_terms zeigt für jede vorkommende Potenz die Koeffizienten von Minuend, Subtrahend und Differenz.
Vorzeichen, Aufhebung und praktische Anwendungen prüfen
Der häufigste Fehler besteht darin, das Subtraktionszeichen nicht auf sämtliche Terme zu verteilen. Jeder Term des Subtrahenden wird abgezogen, auch ein bereits negativer Term. Berechnen Sie für jeden Exponenten unmittelbar den Minuend-Koeffizienten minus den Subtrahend-Koeffizienten.
Minus drei an der Konstantenstelle abzuziehen bedeutet folglich, drei zu addieren. Zur manuellen Kontrolle addieren Sie die berechnete Differenz wieder zum Subtrahenden; nach dem Zusammenfassen gleichartiger Terme muss der Minuend entstehen. Vertauschen Sie alternativ die Operanden und prüfen Sie, ob alle Koeffizienten ungleich null ihr Vorzeichen wechseln.
Der Rechner unterstützt das Prüfen von Aufgaben, das Erstellen von Lösungsblättern und deterministische Tests symbolischer Oberflächen. Mit der strukturierten Ausrichtung kann Lernsoftware fehlende Potenzen als Nullen darstellen, ohne die endgültige Standardform zu überladen. Ein Polynom minus sich selbst liefert den Ausdruck null, eine leere Liste von Nichtnulltermen und den Grad minus eins; die Tabelle zeigt dennoch jede Aufhebung.
Die stabile Genauigkeit eignet sich für übliche Dezimalkoeffizienten, nicht für exakte rationale Rechnungen mit riesigen Ganzzahlen.
Anwendungsfälle
Algebraaufgaben kontrollieren
Vergleichen Sie eine handschriftliche Differenz mit der Standardform und untersuchen Sie ausgerichtete Koeffizienten auf Vorzeichenfehler.
Nachvollziehbare Lösungen erstellen
Nutzen Sie die Ausrichtungszeilen, um Minuend, Subtrahend und Koeffizientendifferenz für jede Potenz darzustellen.
Häufige Fragen
Fasst der Rechner wiederholte gleichartige Terme zusammen?
Ja. Terme mit demselben Exponenten werden in jeder Eingabe vor der Subtraktion zusammengefasst.
Dürfen Potenzen fehlen oder die Grade verschieden sein?
Ja. Eine fehlende Potenz wird mit dem Koeffizienten null ausgerichtet; das Ergebnis folgt absteigenden Exponenten.
Was geschieht, wenn sich alle Terme aufheben?
Der Ausdruck ist 0, die Liste der Nichtnullterme ist leer und der Grad ist -1. Die Ausrichtungszeilen zeigen weiterhin die Aufhebung.
Spielt die Reihenfolge der Polynome eine Rolle?
Ja. A minus B ist im Allgemeinen nicht B minus A: Beim Vertauschen kehrt sich das Vorzeichen jedes Koeffizienten im Ergebnis um. Tragen Sie zuerst das Polynom ein, von dem abgezogen wird.
Welche Eingaben sind nicht möglich?
Klammern, Brüche wie 1/2, mehrere Variablen und Produkte von Ausdrücken sind ausgeschlossen. Verwenden Sie x oder X, ganzzahlige nicht negative Exponenten und bei Bedarf Dezimalkoeffizienten wie 2.5 oder .75.
Wozu dient die Tabelle der ausgerichteten Terme?
Sie zeigt für jede Potenz den Koeffizienten beider Polynome und ihre Differenz, auch wenn diese null wird. So lässt sich eine schriftliche Subtraktion Spalte für Spalte nachprüfen.
Verwandte Tools
Für Entwickler — API-Zugang
Alles auf dieser Seite ist auch per API verfügbar. Dieser Abschnitt richtet sich an Teams, die es in ihre eigenen Systeme einbinden möchten; alle anderen nutzen einfach das Tool oben.
Endpunkt
Authentifizierung per Bearer-Token. Ein einziger POST stellt die Aufgabe in die Warteschlange; das Ergebnis erhalten Sie per Webhook oder über einen signierten Link.
Aufruf aus Ihrem Stack
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/algebra/polynomial-subtract \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"minuend":"4x^3 - 2x + 7","subtrahend":"x^3 + 5x^2 - 3"}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/algebra/polynomial-subtract", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"minuend": "4x^3 - 2x + 7",
"subtrahend": "x^3 + 5x^2 - 3"
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/algebra/polynomial-subtract",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"minuend": "4x^3 - 2x + 7",
"subtrahend": "x^3 + 5x^2 - 3"
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/algebra/polynomial-subtract", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"minuend":"4x^3 - 2x + 7","subtrahend":"x^3 + 5x^2 - 3"}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"minuend":"4x^3 - 2x + 7","subtrahend":"x^3 + 5x^2 - 3"}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/algebra/polynomial-subtract", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Beispiel-Anfrage
{
"minuend": "4x^3 - 2x + 7",
"subtrahend": "x^3 + 5x^2 - 3"
}Beispiel-Antwort
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "algebra.polynomial_subtract",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}Die API arbeitet asynchron: Sie erhalten sofort eine task_id. Polling ist mit 1 Anfrage pro Sekunde erlaubt.
Preis
Der Preis steht auf der Seite – keine Tokens, keine Credits. Fehlgeschlagene Aufgaben werden nicht berechnet.
Fehler
| HTTP | Code | Bedeutung |
|---|---|---|
401 | unauthorized | Der API-Schlüssel fehlt oder ist ungültig – prüfen Sie den Authorization-Header (Bearer). |
402 | insufficient_balance | Ihr Guthaben reicht für diese Aufgabe nicht aus – Aufladungen verfallen nicht. |
404 | unknown_type | Unbekannter Aufgabentyp – prüfen Sie das Feld „type“ gegen den Katalog. |
429 | rate_limited | Zu viele Anfragen – warten Sie kurz; Polling ist mit 1 Anfrage pro Sekunde erlaubt. |
Technische Hinweise
Geben Sie unter minuend das Polynom ein, von dem subtrahiert wird, und unter subtrahend das abzuziehende Polynom. Das Werkzeug fasst wiederholte Potenzen zusammen, richtet gleichartige Terme aus, kehrt effektiv die Vorzeichen des zweiten Polynoms um und verrechnet die Koeffizienten. Dieselbe deterministische Funktion arbeitet im Browser und in der API; eine erfolgreiche API-Anfrage kostet $0.002 pro Element.
Ausdrücke eingeben und das Ergebnis verstehen
Füllen Sie die Pflichtfelder minuend und subtrahend aus. Ungültige Syntax erzeugt invalid_input mit einem Hinweis auf das betreffende Feld oder den Term, ohne die beabsichtigte Eingabe stillschweigend zu erraten.
Vorzeichen, Aufhebung und praktische Anwendungen prüfen
Es gibt keinen Netzwerkzugriff; eine erfolgreiche API-Berechnung kostet $0.002 pro Element.
Integrationsbeispiele
Symbolische Oberflächen testen
Erzeugen Sie stabile strukturierte Terme und Ausdrücke für Regressionstests ohne ein entferntes Algebra-System.
Technische Fragen
Welches Polynom gehört in welches Feld?
Tragen Sie das Ausgangspolynom unter minuend und das abzuziehende Polynom unter subtrahend ein. Berechnet wird Minuend minus Subtrahend.
Was kostet die Polynomsubtraktion?
Die Berechnung im Browser ist kostenlos. Eine erfolgreiche API-Anfrage kostet $0.002 pro Element.