Kubische Diskriminante und reelle Nullstellen berechnen

Die Diskriminante eines kubischen Polynoms fasst vier Koeffizienten zu einem Wert zusammen, der die Struktur der reellen Nullstellen zeigt, ohne jede Nullstelle einzeln zu lösen. Geben Sie die Koeffizienten von ax³ + bx² + cx + d mit a ungleich null ein. Der Rechner liefert Wert, Vorzeichen, eine verständliche Klassifikation und die Anzahl verschiedener reeller Nullstellen. Er unterscheidet drei reelle Nullstellen, eine reelle Nullstelle mit einem komplex konjugierten Paar, eine mehrfache Nullstelle und den Sonderfall einer dreifachen Nullstelle.

Was die kubische Diskriminante aussagt

Für das reelle kubische Polynom ax³ + bx² + cx + d lautet die Diskriminante 18abcd − 4b³d + b²c² − 4ac³ − 27a²d². Ihr Vorzeichen fasst zusammen, wie der Graph die horizontale Achse schneidet. Eine positive Diskriminante bedeutet drei verschiedene reelle Nullstellen; der Graph schneidet die Achse dreimal.

Eine negative Diskriminante bedeutet genau eine reelle Nullstelle und zwei nicht reelle Nullstellen als komplex konjugiertes Paar. Der Wert null zeigt an, dass mindestens zwei Nullstellen zusammenfallen. In diesem Fall prüft der Rechner zusätzliche Koeffizientenidentitäten, um eine dreifache reelle Nullstelle von zwei verschiedenen reellen Nullstellen zu unterscheiden, von denen eine doppelt ist.

Diese Unterscheidung ist wichtig: Drei Nullstellen unter Berücksichtigung ihrer Vielfachheit sind nicht dasselbe wie drei verschiedene reelle Lösungswerte. Die Nullstellen selbst werden nicht angenähert; der Rechner führt den schnellen Strukturtest über die Diskriminante aus.

Koeffizienten eingeben und Ergebnis lesen

Geben Sie a, b, c und d in derselben Reihenfolge an, in der sie in ax³ + bx² + cx + d stehen. Jeder Koeffizient ist erforderlich, auch null für fehlende Terme. Der führende Koeffizient a darf nicht null sein, da der Ausdruck sonst quadratisch oder von niedrigerem Grad wäre.

Die ausgegebene Formel macht die Konvention deutlich und verhindert Verwechslungen mit Cardanos Größe für die reduzierte kubische Gleichung, die in manchen Lehrbüchern mit umgekehrtem Vorzeichen erscheint. Numerische Zeichenfolgen werden angenommen, wenn sie ausschließlich eine gültige endliche Zahl enthalten.

Genauigkeit, mehrfache Nullstellen und Anwendung

Mehrfache Nullstellen sind numerisch empfindlich, weil eine theoretisch verschwindende Diskriminante nach mehreren Produkten und Summen einen winzigen Gleitkommarest behalten kann. Der Algorithmus vergleicht diesen Rest mit einer Toleranz, die an die Größen der fünf Formelterme angepasst ist. So wird gewöhnliches Rundungsrauschen nicht als tatsächlich positives oder negatives Ergebnis eingeordnet, während gleiche Eingaben deterministisch gleich behandelt werden.

Verwenden Sie den Rechner zur Prüfung von Algebraaufgaben, zur Analyse von Wendestrukturen, zur Untersuchung charakteristischer Polynome oder zur Auswahl des nächsten Lösungsverfahrens. Ein positiver Wert führt zu einem Verfahren für drei reelle Nullstellen; ein negativer Wert verlangt für die vollständige Lösung komplexe Arithmetik; null warnt davor, dass Vielfachheit allgemeine numerische Routinen instabiler machen kann. Das Werkzeug klassifiziert, faktorisiert aber nicht symbolisch und löst die kubische Gleichung nicht vollständig.