Kegelschnitt-Exzentrizität

Die Exzentrizität ist die dimensionslose Zahl, die angibt, welchen Kegelschnitt Sie haben und wie stark er gestreckt ist. Ein Kreis hat die Exzentrizität null, eine Ellipse liegt strikt zwischen null und eins, eine Parabel liegt genau bei eins, und eine Hyperbel überschreitet stets die Eins. Diese Fähigkeit nimmt den Kegelschnitttyp und bei Bedarf die Halbachsen a und b entgegen und liefert die Exzentrizität mit der verwendeten Formel sowie — für Ellipse und Hyperbel — die lineare Exzentrizität zum Brennpunkt.

Was die Exzentrizität eines Kegelschnitts misst

In der klassischen Geometrie ist ein Kegelschnitt der Ort der Punkte, deren Abstand zu einem festen Brennpunkt ein konstantes Vielfaches des Abstands zu einer festen Leitlinie ist. Dieses konstante Vielfache ist die Exzentrizität e.

Dieselbe Zahl erscheint in den Standardachsenformen: für eine Ellipse mit großer Halbachse a und kleiner Halbachse b gilt e gleich der Quadratwurzel aus eins minus b zum Quadrat über a zum Quadrat; für eine Hyperbel mit transversaler Halbachse a und konjugierter Halbachse b gilt e gleich der Quadratwurzel aus eins plus b zum Quadrat über a zum Quadrat; ein Kreis ist die Grenzellipse mit e gleich null; eine Parabel hat e gleich eins per Definition.

Weil e dimensionslos ist, sind zwei Ellipsen mit derselben Exzentrizität ähnlich, und ebenso Hyperbeln: skaliert man a und b mit demselben Faktor, ändert sich e nicht. Studierende und Ingenieure nutzen die Exzentrizität, um Formen zu vergleichen, eine angepasste Kurve zu klassifizieren oder orbitale Sprache (wie gestreckt eine Bahn ist) mit der ebenen Geometrie zu verbinden. Die Ellipsenformel mit der Hyperbelformel zu vermischen, a und b zu tauschen oder bei einer Ellipse a kleiner oder gleich b zuzulassen, sind häufige Handrechenfehler.

Die Verzweigung nach Kegelschnitttyp mit validierten positiven Achsen zu automatisieren, beseitigt diese Fehlgriffe und legt zugleich die Zahlen offen, die Sie für den nächsten Schritt einer Lösung oder Zeichnung brauchen.

Wo Sie sie einsetzen und was sie kostet

Typische Einsätze sind die Prüfung studentischer Antworten zur Exzentrizität bei gegebenem Typ und Achsen, der Aufbau von Katalogzeilen ähnlicher Ellipsen oder Hyperbeln, die e teilen, während a und b skaliert werden, die Dokumentation der Brennpunktgeometrie für technische Zeichnungen sowie die Einspeisung von e in größere Kegelschnitt-Klassifikatoren, die die Halbachsen bereits aus einer Anpassung kennen. Der Browserpfad läuft lokal und braucht kein Konto.

Halten Sie Ellipsenachsen mit a als großer und b als kleiner Halbachse geordnet, halten Sie Hyperbelachsen strikt positiv, und bevorzugen Sie das serverseitig berechnete Exzentrizitätsfeld statt die Quadratwurzel in Clientcode neu abzuleiten, der einen anderen Gleitkommapfad nutzen könnte.