Diskrete Gleichverteilung: Mittelwert- und Varianzrechner
Ein fairer Würfel von 1 bis 6 hat 6 gleich wahrscheinliche Ergebnisse, den Mittelwert 3,5 und die Varianz 35/12. Geben Sie die kleinste und die größte ganze Zahl ein, beide eingeschlossen, und erhalten Sie Mittelwert, Varianz und Zahl möglicher Ergebnisse. Kostenlos in Ihrem Browser.
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Rechenbeispiel
- A
- 1
- B
- 6
- Mittelwert
- 3,5
- Varianz
- 2,9166666667
- Größe des Trägers
- 6
Dieser Rechner bestimmt Mittelwert und Varianz einer ganzen Zahl, die gleichwahrscheinlich aus einem beidseitig eingeschlossenen Intervall gewählt wird. Geben Sie die Untergrenze a und die Obergrenze b ein; zusätzlich erhalten Sie die Anzahl möglicher Ergebnisse. Das eignet sich für faire Würfelmodelle, zufällige Ganzzahlauswahlen, Simulationsprüfungen und Wahrscheinlichkeitsaufgaben. Verwendet werden deterministische geschlossene Formeln. Liegt die Obergrenze unter der Untergrenze, wird die Eingabe abgelehnt.
Legen Sie den ganzzahligen Wertebereich richtig fest
Der Umfang lautet deshalb b − a + 1 und nicht b − a. Ohne die zusätzliche Einheit ändern sich Einzelwahrscheinlichkeit und Varianz. Die Grenzen dürfen negativ, positiv oder null sein, müssen aber sichere ganze Zahlen sein; außerdem darf b nicht unter a liegen.
Auch ein einzelner Punkt ist zulässig: Sind beide Grenzen 4, ist 4 das einzige Ergebnis, der Mittelwert beträgt 4 und die Varianz null. Der Rechner gilt ausschließlich für gleichwahrscheinliche aufeinanderfolgende ganze Zahlen, nicht für stetige Verteilungen, ausgelassene Werte, ungleiche Gewichte oder Kategorien.
Verstehen Sie die Formeln für Mittelwert und Varianz
Bei gleichwahrscheinlichen ganzen Zahlen von a bis b liegt der Mittelwert aufgrund der Symmetrie genau in der Mitte: Mittelwert = (a + b) / 2. Er muss nicht ganzzahlig sein. Beim Würfel von 1 bis 6 beträgt er 3.5; das ist der langfristige Durchschnitt, kein notwendiges Einzelergebnis.
Ist n = b − a + 1 der Umfang, lautet die Varianz (n² − 1) / 12. Sie misst den mittleren quadrierten Abstand vom Zentrum, besitzt quadrierte Einheiten und ist nie negativ. Verschieben Sie beide Grenzen gleich weit, ändert sich der Mittelwert, aber wegen unveränderter Breite nicht die Varianz.
Ein breiteres Intervall erhöht die Streuung. Die Implementierung nutzt eine äquivalente faktorisierte Rechnung und deterministische Zahlenarithmetik. Sichere Ganzzahlen stellen sicher, dass Grenzen und Umfang eindeutig numerisch dargestellt werden.
Nutzen Sie das Ergebnis für Analyse und Kontrolle
Vergleichen Sie bei einer Simulation beobachteten Stichprobenmittelwert und Stichprobenvarianz mit den theoretischen Größen, um einen angeblich gleichverteilten Generator zu beurteilen. Kleine Stichproben schwanken; die Formeln liefern Zielwerte, keine Garantie für jeden Lauf. Bei Spielen beschreibt der Mittelwert das erwartete numerische Ergebnis und die Varianz dessen Streuung.
Erwartetes Ergebnis bedeutet jedoch nicht automatisch erwarteten Gewinn; Auszahlungen und Kosten müssen zuvor umgerechnet werden. Der Umfang hilft ferner, Grenzkonventionen zwischen Systemen zu prüfen. Eine beidseitig inklusive Funktion hat genau b − a + 1 Ergebnisse, eine exklusive Obergrenze erzeugt eine andere Verteilung.
Eine falsche Reihenfolge wird bewusst nicht stillschweigend vertauscht, damit Eingabe- und Integrationsfehler sichtbar bleiben.
Anwendungsfälle
Eine Zufallszahlensimulation prüfen
Berechnen Sie theoretischen Mittelwert und Varianz zum Vergleich mit erzeugten gleichverteilten Stichproben.
Ein faires Zahlenspiel untersuchen
Bestimmen Sie Zentrum und Streuung gleichwahrscheinlicher aufeinanderfolgender Punkte, Karten oder Würfelergebnisse.
Grenzkonventionen kontrollieren
Prüfen Sie die erwartete Ergebnisanzahl, wenn ein System einschließlich a und b zieht.
Häufige Fragen
Sind a und b in der Verteilung enthalten?
Ja. Jede ganze Zahl von a bis b einschließlich beider Grenzen besitzt dieselbe Wahrscheinlichkeit.
Was geschieht, wenn a gleich b ist?
Die Verteilung hat nur ein Ergebnis; ihr Mittelwert entspricht dieser Grenze und ihre Varianz ist null.
Warum kann der Mittelwert nicht ganzzahlig sein?
Als langfristiger Durchschnitt kann er zwischen zwei zulässigen ganzen Zahlen liegen, ohne je gezogen zu werden.
Berechnet das Werkzeug eine stetige Gleichverteilung?
Nein. Es gilt für aufeinanderfolgende gleichwahrscheinliche Ganzzahlen; stetige Verteilungen verwenden eine andere Formel.
Ändert eine Verschiebung des Intervalls die Varianz?
Nein. Verschieben Sie beide Grenzen um denselben Betrag, ändert sich der Mittelwert, die Varianz aber nicht, weil Breite und Abstände gleich bleiben. Nur ein breiteres Intervall erhöht die Varianz, da Ergebnisse weiter von der Mitte entfernt liegen können.
Wie prüfe ich damit einen Zufallszahlengenerator?
Vergleichen Sie Durchschnitt und Varianz Ihrer Stichprobe mit den theoretischen Werten. Kleine Stichproben weichen naturgemäß ab, die Formeln liefern also Zielwerte und kein Versprechen für jeden einzelnen Durchlauf.
Verwandte Tools
Für Entwickler — API-Zugang
Alles auf dieser Seite ist auch per API verfügbar. Dieser Abschnitt richtet sich an Teams, die es in ihre eigenen Systeme einbinden möchten; alle anderen nutzen einfach das Tool oben.
Endpunkt
Authentifizierung per Bearer-Token. Ein einziger POST stellt die Aufgabe in die Warteschlange; das Ergebnis erhalten Sie per Webhook oder über einen signierten Link.
Aufruf aus Ihrem Stack
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/stat/discrete-uniform-mean-variance \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"a":1,"b":6}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/stat/discrete-uniform-mean-variance", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"a": 1,
"b": 6
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/stat/discrete-uniform-mean-variance",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"a": 1,
"b": 6
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/stat/discrete-uniform-mean-variance", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"a":1,"b":6}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"a":1,"b":6}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/stat/discrete-uniform-mean-variance", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Beispiel-Anfrage
{
"a": 1,
"b": 6
}Beispiel-Antwort
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "stat.discrete_uniform_mean_variance",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}Die API arbeitet asynchron: Sie erhalten sofort eine task_id. Polling ist mit 1 Anfrage pro Sekunde erlaubt.
Preis
Der Preis steht auf der Seite – keine Tokens, keine Credits. Fehlgeschlagene Aufgaben werden nicht berechnet.
Fehler
| HTTP | Code | Bedeutung |
|---|---|---|
401 | unauthorized | Der API-Schlüssel fehlt oder ist ungültig – prüfen Sie den Authorization-Header (Bearer). |
402 | insufficient_balance | Ihr Guthaben reicht für diese Aufgabe nicht aus – Aufladungen verfallen nicht. |
404 | unknown_type | Unbekannter Aufgabentyp – prüfen Sie das Feld „type“ gegen den Katalog. |
429 | rate_limited | Zu viele Anfragen – warten Sie kurz; Polling ist mit 1 Anfrage pro Sekunde erlaubt. |
Technische Hinweise
Legen Sie den ganzzahligen Wertebereich richtig fest
Eine diskrete Gleichverteilung weist jeder ganzen Zahl eines endlichen Intervalls dieselbe Wahrscheinlichkeit zu. a ist hier das kleinste, b das größte Ergebnis; beide Grenzen gehören dazu. a = 1 und b = 6 beschreiben etwa einen fairen sechsseitigen Würfel mit 1, 2, 3, 4, 5, 6.
Nutzen Sie das Ergebnis für Analyse und Kontrolle
Die Antwort enthält mean, variance und support_size und lässt sich daher in Tabellen, API-Abläufe oder automatisierte Tests übernehmen. Jede automatisierte Anfrage kostet $0.002; im Browser läuft dieselbe Berechnung kostenlos.
Technische Fragen
Was passiert, wenn b kleiner als a ist?
Die Anfrage liefert invalid_input, weil die Obergrenze nicht unter der Untergrenze liegen darf.
Was kostet eine API-Anfrage?
Eine API-Anfrage kostet $0.002. Im Browser ist die Berechnung auch ohne API-Aufruf verfügbar.