Calculateur de moyenne et variance uniforme discrète
Un dé équilibré de 1 à 6 compte 6 issues équiprobables, une moyenne de 3,5 et une variance de 35/12. Saisissez le plus petit et le plus grand entier, tous deux inclus, et obtenez la moyenne, la variance et le nombre d'issues possibles. Gratuit dans votre navigateur.
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Exemple résolu
- A
- 1
- B
- 6
- Moyenne
- 3,5
- Variance
- 2,9166666667
- Taille du support
- 6
Ce calculateur détermine la moyenne et la variance d’un entier tiré avec la même probabilité dans un intervalle inclusif. Indiquez la borne inférieure a et la borne supérieure b pour obtenir également le nombre d’issues possibles. Il convient aux modèles de dés équilibrés, aux sélections aléatoires d’entiers, aux contrôles de simulation et aux exercices de probabilités. Des formules fermées déterministes sont utilisées, et toute borne supérieure inférieure à la borne basse est refusée.
Définissez correctement le support entier inclusif
Une loi uniforme discrète attribue la même probabilité à chaque entier d’un intervalle fini. Ici, a est la plus petite issue et b la plus grande, les deux bornes étant comprises. Sa taille vaut donc b − a + 1, et non b − a.
Oublier cette unité modifie la probabilité de chaque issue et la variance. Les bornes peuvent être négatives, positives ou nulles, à condition d’être des entiers sûrs et que b ne soit pas inférieur à a. Un intervalle réduit à un point reste valide : avec deux bornes égales à 4, l’unique issue est 4, la moyenne est 4 et la variance est nulle.
Cet outil concerne uniquement des entiers consécutifs équiprobables, pas une loi continue, des valeurs espacées, des poids inégaux ni des catégories.
Comprenez les formules de moyenne et de variance
Pour des entiers consécutifs de a à b ayant la même probabilité, la symétrie place la moyenne à mi-chemin : moyenne = (a + b) / 2. Elle n’est pas nécessairement entière. Pour un dé allant de 1 à 6, elle vaut 3.5 : c’est une moyenne à long terme, et non une issue exigée lors d’un lancer.
Si n = b − a + 1 désigne la taille du support, la variance vaut (n² − 1) / 12. Elle mesure l’écart quadratique moyen autour du centre, s’exprime en unités carrées et ne peut être négative. Décaler les deux bornes d’une même quantité change la moyenne, mais pas la variance, puisque la largeur et l’espacement restent identiques.
Élargir l’intervalle augmente la dispersion. Le calcul emploie une forme factorisée équivalente et une arithmétique déterministe. Les entrées sont limitées aux entiers sûrs afin que chaque borne et chaque dénombrement possèdent une représentation numérique sans ambiguïté.
Exploitez le résultat pour analyser et valider
Pour une simulation, comparez la moyenne et la variance observées dans l’échantillon à ces valeurs théoriques afin d’évaluer le comportement d’un générateur annoncé comme uniforme. Les petits échantillons fluctuent naturellement : ces formules fournissent des cibles, pas une garantie à chaque exécution. Dans un jeu, la moyenne représente l’issue numérique attendue et la variance sa dispersion, mais une issue attendue n’est pas forcément un bénéfice attendu ; transformez d’abord gains et coûts.
La taille du support permet aussi de vérifier les conventions de bornes entre systèmes. Une fonction inclusive doit offrir exactement b − a + 1 issues, tandis qu’une borne supérieure exclusive définit une autre loi. Un ordre incorrect est refusé plutôt que corrigé silencieusement, ce qui évite de masquer une erreur de saisie ou d’intégration.
Cas d’usage
Contrôler une simulation d’entiers aléatoires
Calculez la moyenne et la variance théoriques, puis comparez-les aux statistiques d’échantillons uniformes.
Analyser un jeu numérique équilibré
Décrivez le centre et la dispersion de scores, roues, cartes ou dés consécutifs équiprobables.
Questions fréquentes
Les bornes a et b sont-elles incluses ?
Oui. Tous les entiers de a à b, y compris les deux bornes, ont la même probabilité.
Que se passe-t-il lorsque a est égal à b ?
La loi ne comporte qu’une issue ; sa moyenne est cette borne et sa variance est nulle.
Pourquoi la moyenne peut-elle ne pas être entière ?
Il s’agit d’une moyenne à long terme, qui peut se situer entre deux entiers sans apparaître lors d’un tirage.
Ce calcul concerne-t-il une loi uniforme continue ?
Non. Il vise des entiers consécutifs équiprobables ; une loi continue utilise une autre formule de variance.
Décaler l'intervalle change-t-il la variance ?
Non. Déplacer les deux bornes de la même quantité change la moyenne, mais pas la variance, car la largeur et l'espacement restent identiques. Seul un intervalle plus large augmente la variance, puisque les issues peuvent s'éloigner davantage du centre.
Outils associés
Pour les développeurs — accès API
Tout sur cette page est disponible par programmation. Cette section s'adresse aux équipes qui veulent l'intégrer à leurs systèmes ; les autres peuvent simplement utiliser l'outil ci-dessus.
Endpoint
Authentification par jeton Bearer : un seul POST met la tâche en file d’attente, et le résultat vous parvient par webhook ou lien signé.
Appeler depuis votre stack
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/stat/discrete-uniform-mean-variance \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"a":1,"b":6}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/stat/discrete-uniform-mean-variance", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"a": 1,
"b": 6
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/stat/discrete-uniform-mean-variance",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"a": 1,
"b": 6
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/stat/discrete-uniform-mean-variance", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"a":1,"b":6}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"a":1,"b":6}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/stat/discrete-uniform-mean-variance", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Exemple de requête
{
"a": 1,
"b": 6
}Exemple de réponse
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "stat.discrete_uniform_mean_variance",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}L’API est asynchrone : chaque appel renvoie un task_id immédiatement, puis vous interrogez l’état à raison d’une requête par seconde.
Tarifs
Le prix est publié, sans tokens ni crédits. Une tâche qui échoue n’est pas facturée.
Erreurs
| HTTP | Code | Signification |
|---|---|---|
401 | unauthorized | Clé API absente ou invalide : vérifiez l’en-tête Authorization. |
402 | insufficient_balance | Solde insuffisant : rechargez votre compte pour lancer cette tâche. |
404 | unknown_type | Type de tâche inconnu : vérifiez le champ type de votre requête. |
429 | rate_limited | Trop de requêtes : ralentissez la cadence, puis réessayez. |
Notes techniques
Définissez correctement le support entier inclusif
Ainsi, a = 1 et b = 6 décrivent un dé équilibré à six faces, dont le support est 1, 2, 3, 4, 5, 6.
Exploitez le résultat pour analyser et valider
La réponse contient mean, variance et support_size ; elle s’intègre donc dans une feuille de calcul, un traitement par API ou un test automatisé. Chaque requête automatisée coûte $0.002 ; le même calcul reste gratuit dans le navigateur.
Cas d'intégration
Vérifier les conventions de bornes
Confirmez le nombre d’issues prévu lorsqu’une API tire inclusivement entre a et b.
Questions techniques
Que se passe-t-il si b est inférieur à a ?
La requête renvoie une erreur invalid_input, car la borne supérieure ne peut pas être sous la borne inférieure.
Quel est le prix d’une requête API ?
Une requête API coûte $0.002. Le calcul est également disponible dans le navigateur sans appel API.