Écart-type d'une variable discrète
Un dé équilibré, avec les valeurs 1 à 6 de probabilité 1/6 chacune, a une moyenne de 3,5. Saisissez votre propre tableau de valeurs et de probabilités, dont la somme doit faire un, et obtenez la moyenne, le moment d'ordre deux, la variance et l'écart-type. Gratuit dans votre navigateur.
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Exemple résolu
- Valeurs
- 1, 2, 3, 4, 5, 6
- Probabilités
- 0,1666666667, 0,1666666667, 0,1666666667, 0,1666666667, 0,1666666667, 0,1666666667
- N
- 6
- Somme des probabilités
- 1
- Moyenne
- 3,5
- Variance
- 2,9166666667
L'écart-type d'une variable aléatoire discrète mesure l'éloignement des résultats typiques par rapport à la moyenne pondérée par les probabilités lorsque chaque valeur possible a une probabilité explicite. Contrairement à l'écart-type d'échantillon ordinaire d'une liste de données brutes, ce calculateur prend deux tableaux parallèles — les valeurs du support fini et les probabilités correspondantes —, vérifie que les probabilités forment une mesure valide qui somme à un, et renvoie la moyenne en forme fermée, le second moment, la variance et l'écart-type. Les étudiants s'en servent pour vérifier des tables de dés et de notes, les concepteurs de jeux pondèrent les gains par les chances de victoire, et les analystes convertissent des feuilles de scénarios en un seul chiffre de risque.
Ce que signifie l'écart-type discret et en quoi il diffère du σ d'échantillon
La moyenne de X est la somme pondérée par les probabilités de chaque valeur : c'est la moyenne de long terme que vous observeriez si l'expérience était répétée indéfiniment sous la même mesure. Deux distributions peuvent partager la même moyenne tout en se comportant très différemment : l'une peut concentrer presque toute la masse près du centre tandis qu'une autre place une masse importante sur des queues lointaines.
La variance capture cette dispersion comme l'écart quadratique attendu par rapport à la moyenne, ou de façon équivalente le second moment moins le carré de la moyenne. L'écart-type est la racine carrée non négative de la variance et restaure les unités d'origine des résultats, c'est pourquoi les corrigés et les rapports de risque citent souvent la moyenne et l'écart-type côte à côte. Ce n'est pas le même objet que l'écart-type d'échantillon d'une liste brute d'observations.
Les formules d'échantillon divisent par n moins un et traitent chaque point comme équiprobable ; les formules discrètes pondèrent chaque point du support par sa probabilité et n'appliquent jamais la correction de Bessel. Si vous n'avez que des mesures non pondérées, utilisez l'outil d'écart-type ordinaire. Si vous disposez déjà d'une table de probabilités, cette page est le chemin correct en forme fermée.
Comme chaque quantité est une somme finie de produits, les formules sont classiques et pleinement déterministes : les mêmes valeurs et les mêmes probabilités doivent toujours produire la même moyenne, la même variance et le même écart-type pour les tests automatisés et les corrigés de cours.
Usage pratique, tarifs, limites et quand choisir cet outil
Utilisez l'outil navigateur lorsque vous voulez un écart-type discret immédiat pour vérifier une réponse de devoir, dimensionner un jeu de hasard simple ou expliquer le risque sans installer un paquet statistique. Les résultats sont pleinement déterministes : les mêmes valeurs et probabilités donnent toujours la même moyenne, variance et écart-type. Il n'y a pas de modèle de langage, ni de service externe de probabilité, ni d'aléa, de sorte que la capacité est sûre à épingler dans des contrôles d'intégration continue et des supports de cours reproductibles.
Choisissez cette page lorsque votre intention de recherche est spécifiquement l'écart-type d'une variable aléatoire discrète à partir d'une table de probabilités. Si vous n'avez besoin que du récit de l'espérance ou d'un lot de moments centré sur E de X, le calculateur d'espérance dédié couvre cette landing. Si vous avez une série de données non pondérées plutôt que des probabilités, le calculateur d'écart-type de population et d'échantillon est le bon choix.
Ensemble, ces outils couvrent les chemins SEO courants sans forcer une seule page à répondre à chaque requête de statistiques.
Cas d’usage
Devoirs et laboratoires d'introduction aux probabilités
Étudiants et correcteurs vérifient moyenne, variance et écart-type pour dés, pièces et tables discrètes personnalisées, y compris la règle stricte que les probabilités doivent sommer à un.
Jeux de hasard et risque des gains
Les concepteurs pondèrent les gains par les probabilités de victoire pour obtenir le rendement espéré et l'écart-type discret avant d'expédier une passe d'équilibrage ou un exemple tutoriel.
Tableaux de bord de scénarios et de risque
Les analystes convertissent valeurs et probabilités de scénarios finis en moyenne, variance et écart-type stables pour rapports et oracles automatisés.
Questions fréquentes
Que se passe-t-il si les probabilités ne somment pas à un ?
Le message indique la somme observée afin que vous puissiez renormaliser ou corriger la liste. Les échecs de validation ne sont pas facturés.
Comment la variance et l'écart-type sont-ils calculés ?
La variance est E[X²] moins (E[X])² en une seule passe sur le support. L'écart-type est la racine carrée de cette variance, toujours non négative pour une mesure de probabilité valide.
Cet outil simule-t-il des échantillons aléatoires de la distribution ?
Non. Il évalue les moments discrets en forme fermée de façon déterministe. Les mêmes valeurs et probabilités renvoient toujours la même moyenne, variance et écart-type.
En quoi est-ce différent de l'écart-type d'une liste de données ?
Ici, chaque valeur est pondérée par sa probabilité et il n'y a pas de correction en n moins un. Une liste ordinaire traite chaque observation comme également probable ; si vous n'avez que des mesures non pondérées, utilisez un calculateur d'écart-type classique.
À quoi sert l'écart-type d'une variable aléatoire discrète ?
À résumer en un seul chiffre la dispersion d'un tableau de probabilités : vérifier un exercice de dés ou de notes, pondérer les gains d'un jeu par leurs chances, ou transformer une feuille de scénarios en une mesure de risque.
Outils associés
Pour les développeurs — accès API
Tout sur cette page est disponible par programmation. Cette section s'adresse aux équipes qui veulent l'intégrer à leurs systèmes ; les autres peuvent simplement utiliser l'outil ci-dessus.
Endpoint
Authentification par jeton Bearer : un seul POST met la tâche en file d’attente, et le résultat vous parvient par webhook ou lien signé.
Appeler depuis votre stack
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/stat/std-dev-discrete-rv \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"values":[1,2,3,4,5,6],"probabilities":[0.16666666666666666,0.16666666666666666,0.16666666666666666,0.16666666666666666,0.16666666666666666,0.1666666666666667]}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/stat/std-dev-discrete-rv", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"values": [
1,
2,
3,
4,
5,
6
],
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0.16666666666666666,
0.16666666666666666,
0.16666666666666666,
0.16666666666666666,
0.1666666666666667
]
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
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2,
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0.16666666666666666,
0.16666666666666666,
0.16666666666666666,
0.16666666666666666,
0.1666666666666667
]
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)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/stat/std-dev-discrete-rv", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"values":[1,2,3,4,5,6],"probabilities":[0.16666666666666666,0.16666666666666666,0.16666666666666666,0.16666666666666666,0.16666666666666666,0.1666666666666667]}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"values":[1,2,3,4,5,6],"probabilities":[0.16666666666666666,0.16666666666666666,0.16666666666666666,0.16666666666666666,0.16666666666666666,0.1666666666666667]}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/stat/std-dev-discrete-rv", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Exemple de requête
{
"values": [
1,
2,
3,
4,
5,
6
],
"probabilities": [
0.16666666666666666,
0.16666666666666666,
0.16666666666666666,
0.16666666666666666,
0.16666666666666666,
0.1666666666666667
]
}Exemple de réponse
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "stat.std_dev_discrete_rv",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}L’API est asynchrone : chaque appel renvoie un task_id immédiatement, puis vous interrogez l’état à raison d’une requête par seconde.
Tarifs
Le prix est publié, sans tokens ni crédits. Une tâche qui échoue n’est pas facturée.
Erreurs
| HTTP | Code | Signification |
|---|---|---|
401 | unauthorized | Clé API absente ou invalide : vérifiez l’en-tête Authorization. |
402 | insufficient_balance | Solde insuffisant : rechargez votre compte pour lancer cette tâche. |
404 | unknown_type | Type de tâche inconnu : vérifiez le champ type de votre requête. |
429 | rate_limited | Trop de requêtes : ralentissez la cadence, puis réessayez. |
Notes techniques
L'arithmétique est entièrement déterministe, s'exécute gratuitement dans votre navigateur et est disponible via l'API à $0.002 par requête réussie. Les listes qui ne somment pas à un sont rejetées avec une erreur claire invalid_input afin que des modèles défectueux ne produisent jamais de dispersions absurdes en silence.
Ce que signifie l'écart-type discret et en quoi il diffère du σ d'échantillon
Une variable aléatoire discrète X est entièrement décrite par une liste finie de valeurs possibles x_one à x_n avec des probabilités p_one à p_n non négatives qui somment exactement à un.
Comment ce calculateur valide les entrées et calcule σ en une seule passe
Après validation, le noyau parcourt le support une fois, en accumulant la somme pondérée par les probabilités des valeurs et la somme pondérée par les probabilités de leurs carrés. La moyenne est cette première somme pondérée ; la variance est le second moment moins le carré de la moyenne, avec une pince microscopique pour que l'arrondi flottant n'invente pas une variance négative pour une mesure valide ; l'écart-type est la racine carrée non négative de la variance. La réponse rapporte aussi n, la somme observée des probabilités et le second moment afin que vous puissiez auditer les étapes intermédiaires sans les redériver. Appelez la capacité avec deux tableaux obligatoires de même longueur : values, les points de support numériques finis, et probabilities, le poids de chaque point. Le moteur accepte aussi les alias outcomes et x pour values, et probs et p pour probabilities, afin que les scripts qui parlent déjà en ces termes n'aient pas besoin d'une étape de renommage. La validation rejette les champs manquants, les tableaux vides, les longueurs différentes, les nombres non finis, les probabilités négatives, les probabilités supérieures à un et toute liste dont la somme n'est pas un dans une tolérance flottante minuscule, le tout avec invalid_input et sans débiter le solde. Les listes acceptées maintiennent la boucle bornée pour les isolats Worker : jusqu'à dix mille points de support couvrent les exemples courants de cours et d'entreprise tout en terminant rapidement sur des runtimes de bord.
Usage pratique, tarifs, limites et quand choisir cet outil
Utilisez l'API lorsqu'un script, une plateforme de préparation d'entretiens, un site éducatif ou un tableau de bord de scénarios a besoin de JSON stable pour de nombreuses distributions discrètes sous un seul contrat. Chaque requête réussie est un élément facturable à $0.002 ; une validation échouée ne consomme pas le solde. Branchez l'endpoint sur des tutoriels de théorie de la décision, des contrôles de jeu équitable, des feuilles de scénarios de portefeuille ou des sandboxes d'entretiens de programmation où vous préférez déjà l'arithmétique des moments en forme fermée aux histogrammes de simulation approximative qui n'atterrissent jamais deux fois sur la même dispersion.
Questions techniques
Comment calculer l'écart-type d'une variable aléatoire discrète ?
Envoyez du JSON avec values (tableau de nombres) et probabilities (tableau correspondant de poids qui somment à 1) à stat.std_dev_discrete_rv. La réponse renvoie standard_deviation, variance, mean et second_moment.
Le calculateur d'écart-type de variable aléatoire discrète est-il gratuit ?
L'outil navigateur s'exécute gratuitement sur votre appareil. Les appels API utilisent le solde prépayé KIT à $0.002 par élément réussi ; les échecs de validation ne sont pas facturés.