Erwartungswert-Rechner: Mittelwert, Varianz und Standardabweichung
Ein fairer Würfel mit den Augen 1 bis 6 hat den Erwartungswert 3,5: den langfristigen Durchschnitt vieler Würfe, obwohl kein einzelner Wurf ihn zeigt. Tragen Sie Ergebnisse und Wahrscheinlichkeiten ein und erhalten Sie Mittelwert, Varianz und Standardabweichung. Kostenlos in Ihrem Browser.
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Rechenbeispiel
- Ergebnisse
- 1, 2, 3, 4, 5, 6
- Wahrscheinlichkeiten
- 0,1666666667, 0,1666666667, 0,1666666667, 0,1666666667, 0,1666666667, 0,1666666667
- N
- 6
- Summe der Wahrscheinlichkeiten
- 1
- Erwartungswert
- 3,5
- Varianz
- 2,9166666667
Der Erwartungswert ist der wahrscheinlickeitsgewichtete Durchschnitt jedes möglichen Ergebnisses einer diskreten Zufallsvariablen. Portfolioanalysten gewichten Renditen mit Szenariowahrscheinlichkeiten, Spieldesigner gewichten Auszahlungen mit Gewinnchancen, und Studierende gewichten Prüfungsergebnisse mit der Wahrscheinlichkeit jeder Note. Dieser Rechner nimmt eine Liste numerischer Ergebnisse und eine passende Liste von Wahrscheinlichkeiten, prüft, dass die Wahrscheinlichkeiten zu eins summieren, und liefert den Erwartungswert, das zweite Moment, die Varianz und die Standardabweichung der Verteilung.
Was Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung für eine diskrete Verteilung bedeuten
Der Erwartungswert E von X ist die Summe jedes Ergebnisses multipliziert mit seiner Wahrscheinlichkeit: es ist der langfristige Durchschnitt, den man beobachten würde, wenn das Experiment unter demselben Maß für immer wiederholt würde. Zwei Verteilungen können denselben Mittelwert teilen und sich sehr unterschiedlich verhalten: eine kann fast die gesamte Masse nahe dem Mittel konzentrieren, während eine andere große Masse auf fernen Schwänzen platziert. Die Varianz erfasst diese Streuung als erwartete quadratische Abweichung vom Mittel, äquivalent das zweite Moment minus dem Quadrat des Mittels.
Die Standardabweichung ist die Quadratwurzel der Varianz und stellt die ursprünglichen Einheiten der Ergebnisse wieder her, weshalb Risikoberichte und Hausaufgaben-Schlüssel üblicherweise Mittelwert und Standardabweichung nebeneinander angeben. Weil jede Größe eine endliche Summe von Produkten ist, sind die Formeln klassisch und vollständig deterministisch: dieselben Ergebnisse und dieselben Wahrscheinlichkeiten müssen immer denselben Erwartungswert, dieselbe Varianz und dieselbe Standardabweichung erzeugen. Diese Eigenschaft macht die Zahlen sicher zum Festnageln in automatisierten Tests, Unterrichtsschlüsseln und reproduzierbaren Notebooks ohne Monte-Carlo-Rauschen, das sich nie ganz zweimal setzt.
Anwendungsfälle
Hausaufgaben und einführende Wahrscheinlichkeitslabs
Studierende und Bewerter prüfen E[X], Var(X) und SA für Würfel, Münzen und benutzerdefinierte diskrete Tabellen, einschließlich der harten Regel, dass Wahrscheinlichkeiten zu eins summieren müssen.
Glücksspiele und Fair-Game-Checks
Designer gewichten Auszahlungen mit Gewinnwahrscheinlichkeiten, um erwartete Rendite und Streuung zu erhalten, bevor ein Balance-Pass oder Tutorialbeispiel ausgeliefert wird.
Szenario- und Risiko-Dashboards
Analysten wandeln endliche Szenarioergebnisse und -wahrscheinlichkeiten in einen stabilen Mittelwert, Varianz und Standardabweichung für Berichte und automatisierte Orakel um.
Häufige Fragen
Was passiert, wenn die Wahrscheinlichkeiten nicht zu eins summieren?
Die Meldung meldet die beobachtete Summe, damit Sie renormalisieren oder die Liste korrigieren können. Validierungsfehler werden nicht berechnet.
Wie werden Varianz und Standardabweichung berechnet?
Die Varianz ist E[X²] minus (E[X])² in einem einzigen Durchlauf über den Träger. Die Standardabweichung ist die Quadratwurzel dieser Varianz, stets nichtnegativ für ein gültiges Wahrscheinlichkeitsmaß.
Simuliert dies Zufallsstichproben aus der Verteilung?
Nein. Es wertet die geschlossenen diskreten Momente deterministisch aus. Dieselben Ergebnisse und Wahrscheinlichkeiten liefern immer denselben Erwartungswert, dieselbe Varianz und dieselbe Standardabweichung.
Welchen Erwartungswert hat ein fairer Würfel?
Er beträgt 3,5. Jede Augenzahl von 1 bis 6 hat die Wahrscheinlichkeit ein Sechstel, die gewichtete Summe ergibt also 3,5, obwohl kein Wurf diese Zahl zeigen kann: Es ist der langfristige Durchschnitt vieler Würfe.
Können zwei Verteilungen denselben Erwartungswert, aber unterschiedliches Risiko haben?
Ja. Die eine kann fast ihre ganze Masse nahe am Mittelwert haben, die andere viel Gewicht auf weit entfernten Ergebnissen. Deshalb werden Varianz und Standardabweichung neben dem Erwartungswert ausgegeben.
Verwandte Tools
Für Entwickler — API-Zugang
Alles auf dieser Seite ist auch per API verfügbar. Dieser Abschnitt richtet sich an Teams, die es in ihre eigenen Systeme einbinden möchten; alle anderen nutzen einfach das Tool oben.
Endpunkt
Authentifizierung per Bearer-Token. Ein einziger POST stellt die Aufgabe in die Warteschlange; das Ergebnis erhalten Sie per Webhook oder über einen signierten Link.
Aufruf aus Ihrem Stack
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-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"outcomes":[1,2,3,4,5,6],"probabilities":[0.16666666666666666,0.16666666666666666,0.16666666666666666,0.16666666666666666,0.16666666666666666,0.1666666666666667]}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/prob/expected-value", {
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});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
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task_id = res.json()["task_id"]<?php
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$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"outcomes":[1,2,3,4,5,6],"probabilities":[0.16666666666666666,0.16666666666666666,0.16666666666666666,0.16666666666666666,0.16666666666666666,0.1666666666666667]}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/prob/expected-value", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Beispiel-Anfrage
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5,
6
],
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0.16666666666666666,
0.16666666666666666,
0.1666666666666667
]
}Beispiel-Antwort
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "prob.expected_value",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}Die API arbeitet asynchron: Sie erhalten sofort eine task_id. Polling ist mit 1 Anfrage pro Sekunde erlaubt.
Preis
Der Preis steht auf der Seite – keine Tokens, keine Credits. Fehlgeschlagene Aufgaben werden nicht berechnet.
Limits
max_outcomes | 10000 |
Fehler
| HTTP | Code | Bedeutung |
|---|---|---|
401 | unauthorized | Der API-Schlüssel fehlt oder ist ungültig – prüfen Sie den Authorization-Header (Bearer). |
402 | insufficient_balance | Ihr Guthaben reicht für diese Aufgabe nicht aus – Aufladungen verfallen nicht. |
404 | unknown_type | Unbekannter Aufgabentyp – prüfen Sie das Feld „type“ gegen den Katalog. |
429 | rate_limited | Zu viele Anfragen – warten Sie kurz; Polling ist mit 1 Anfrage pro Sekunde erlaubt. |
Technische Hinweise
Listen, die kein gültiges Wahrscheinlichkeitsmaß bilden, werden mit einem klaren invalid_input-Fehler abgelehnt, damit kaputte Modelle niemals stille Unsinnszahlen erzeugen. Die Arithmetik ist vollständig deterministisch, läuft kostenlos in Ihrem Browser und ist über die API zu $0.002 pro erfolgreicher Anfrage verfügbar.
Was Erwartungswert, Varianz und Standardabweichung für eine diskrete Verteilung bedeuten
Eine diskrete Zufallsvariable X ist vollständig durch einen endlichen Träger von Ergebnissen x_one bis x_n zusammen mit nichtnegativen Wahrscheinlichkeiten p_one bis p_n beschrieben, die exakt zu eins summieren.
Wie dieser Rechner Eingaben validiert und die Momente berechnet
Nach der Validierung durchläuft der Kern den Träger einmal und akkumuliert die wahrscheinlickeitsgewichtete Summe der Ergebnisse sowie die wahrscheinlickeitsgewichtete Summe ihrer Quadrate. Der Erwartungswert ist diese erste gewichtete Summe; die Varianz ist das zweite Moment minus dem Quadrat des Mittels, mit einer mikroskopischen Klammer, damit Gleitkomma-Rundung keine negative Varianz für ein gültiges Maß erfindet; die Standardabweichung ist die nichtnegative Quadratwurzel der Varianz. Rufen Sie die Fähigkeit mit zwei Pflicht-Arrays gleicher Länge auf: outcomes, die endlichen numerischen Trägerpunkte, und probabilities, das Gewicht jedes Punkts. Die Engine akzeptiert auch die Aliase values und x für outcomes sowie probs und p für probabilities, sodass Skripte, die bereits in diesen Begriffen sprechen, keinen Umbenennungsschritt brauchen. Die Validierung lehnt fehlende Felder, leere Arrays, ungleiche Längen, nicht-endliche Zahlen, negative Wahrscheinlichkeiten, Wahrscheinlichkeiten über eins und jede Liste ab, deren Summe nicht eins innerhalb einer winzigen Gleitkomma-Toleranz ist, alles mit invalid_input und ohne Guthabenbelastung.
Praktische Nutzung, Grenzen, Preise und Bereitstellung
Nutzen Sie das Browser-Tool, wenn Sie sofort Mittelwert und Streuung wollen, um eine Hausaufgabenantwort zu prüfen, ein einfaches Glücksspiel zu dimensionieren oder Risiko zu erklären, ohne ein Statistikpaket zu installieren. Ergebnisse sind vollständig deterministisch: dieselben Ergebnisse und Wahrscheinlichkeiten liefern immer denselben Erwartungswert, dieselbe Varianz und dieselbe Standardabweichung. Es gibt kein Sprachmodell, keinen externen Wahrscheinlichkeitsdienst und keine Zufälligkeit, sodass die Fähigkeit sicher in Continuous-Integration-Checks und reproduzierbaren Unterrichtsmaterialien festgenagelt werden kann. Nutzen Sie die API, wenn ein Skript, eine Interview-Vorbereitungsplattform, eine Bildungsseite oder ein Szenario-Dashboard stabiles JSON für viele diskrete Verteilungen unter einem Vertrag braucht. Jede erfolgreiche Anfrage ist ein abrechenbarer Artikel zu $0.002; fehlgeschlagene Validierung wird nicht berechnet. Akzeptierte Listen halten die Schleife für Worker-Isolate begrenzt: bis zu zehntausend Trägerpunkte decken gängige Unterrichts- und Geschäftsbeispiele ab und enden trotzdem schnell. Verdrahten Sie den Endpoint in Entscheidungstheorie-Tutorials, Fair-Game-Checks, Portfolio-Szenariotabellen oder Coding-Interview-Sandboxes, wo Sie bereits geschlossene Momentenarithmetik gegenüber ungefähren Simulationshistogrammen bevorzugen, die nie zweimal denselben Mittelwert treffen.
Technische Fragen
Wie berechne ich den Erwartungswert mit diesem Rechner?
Senden Sie JSON mit outcomes (Array von Zahlen) und probabilities (passendes Array von Gewichten, die zu 1 summieren) an prob.expected_value. Die Antwort liefert expected_value, variance, standard_deviation und second_moment.
Ist der Erwartungswert-Rechner kostenlos?
Das Browser-Tool läuft kostenlos auf Ihrem Gerät. API-Aufrufe nutzen vorausbezahltes KIT-Guthaben zu $0.002 pro erfolgreichem Artikel; Validierungsfehler werden nicht berechnet.