Bertrand-Duopol

Das Bertrand-Modell ist die Referenz für gleichzeitigen Preiswettbewerb: zwei Unternehmen verkaufen ein homogenes Gut, setzen im selben Moment Preise, und der günstigere Anbieter nimmt den ganzen Markt — sie teilen die Nachfrage nur, wenn beide Preise übereinstimmen. Bei konstanten Grenzkosten und ohne Kapazitätsgrenze will jedes Unternehmen einen Rivalen unterbieten, der über den Kosten preist, sodass das einzige Nash-Ergebnis beide Preise auf die Grenzkosten treibt. Das ist das Bertrand-Paradoxon: zwei Anbieter genügen für den Wettbewerbspreis. Dieser Rechner für das Bertrand-Duopol-Gleichgewicht nimmt die lineare inverse Nachfrage P = a − bQ zusammen mit den konstanten Grenzkosten jedes Unternehmens entgegen und liefert beide gesetzten Preise, die von jedem verkauften Mengen, den Gesamtausstoß und die Gewinne. Sind die Kosten gleich, teilt sich der Markt bei p = c mit ökonomischem Gewinn null; unterscheiden sie sich, setzt das kostengünstigere Unternehmen entweder seinen Monopolpreis oder einen Limitpreis auf den Kosten des Rivalen. Studierende, Tutoren und Notizbücher der Industrieökonomik erhalten einen deterministischen Schlüssel statt einer Tabelle, die den Zweig teilen-oder-gewinnen falsch behandelt.

Was ein homogenes Bertrand-Gleichgewicht bedeutet

Im Bertrand-Duopol mit homogenem Gut wählen zwei Unternehmen gleichzeitig Preise. Käufer behandeln die Produkte als perfekte Substitute und kaufen daher nur beim günstigeren Unternehmen. Stimmen die gesetzten Preise überein, teilen sich nach der üblichen Lehrbuchkonvention beide die Marktnachfrage zur Hälfte.

Die inverse Nachfrage lautet P = a − bQ, wobei a der Reservationspreis auf der senkrechten Achse ist und b eine positive Steigung, sodass die nachgefragte Menge zu einem gesetzten Preis P gleich Q = (a − P) / b ist, sobald P unter a liegt. Jedes Unternehmen hat konstante Grenzkosten und keine bindende Kapazität, daher ist der Gewinn dessen, der den Markt zum Preis p gewinnt, (p − c) mal Restnachfrage.

Die strategische Logik ist das Unterbieten: setzt der Rivale einen Preis über Ihren Kosten, können Sie den ganzen Markt nehmen, indem Sie etwas niedriger setzen und noch eine positive Marge verdienen. Dieser Anreiz hält an, bis keines mehr lohnend senken kann. Sind beide Kosten gleich, ist das einzige Nash-Gleichgewicht, dass beide Preise diesen gemeinsamen Kosten entsprechen, jedes Unternehmen die Hälfte der Restnachfrage bedient und beide ökonomischen Gewinne null sind — das berühmte Ergebnis, dass Preiswettbewerb mit homogenem Gut den Markt selbst bei nur zwei Anbietern auf die Grenzkosten treibt.

Unterscheiden sich die Kosten, kann das kostengünstigere Unternehmen weiter unterbieten; es verlangt entweder seinen unbeschränkten Monopolpreis, wenn dieser bereits bei oder unter den Kosten des Rivalen liegt, oder es setzt einen Limitpreis auf den Kosten des teuren Unternehmens und bedient den gesamten Markt. Dieser Rechner implementiert jenes Gleichgewicht in geschlossener Form, keine numerische Best-Response-Iteration und kein Cournot-Mengenspiel.

Eingaben, Zweige in geschlossener Form, Prüfung und die Antwort

Beide Grenzkosten müssen nichtnegativ sein, und der Reservationspreis muss die niedrigeren Kosten streng übersteigen, damit bei Kosten eine positive Menge nachgefragt wird. Auf dem symmetrischen Zweig, wenn beide Kosten gleich c sind, setzen beide p = c, die Gesamtmenge ist (a − c) / b, jedes verkauft die Hälfte davon und beide Gewinne sind null. Auf dem asymmetrischen Zweig ist der Monopolpreis des kostengünstigeren Unternehmens (a + c_L) / 2.

Liegt dieser Monopolpreis höchstens bei den Kosten des Rivalen, setzt das günstige den Monopolpreis, das teure setzt die eigenen Kosten und verkauft nichts, und der Gewinner erhält den Monopolgewinn. Liegt der Monopolpreis über den Kosten des Rivalen, setzt das günstige einen Limitpreis auf den Kosten des teuren, nimmt die gesamte Restnachfrage zu diesem Preis und verdient (c_H − c_L) mal diese Menge. Zahlen werden auf zwölf Dezimalstellen gerundet, damit Goldens stabil bleiben.

Wo ein Bertrand-Duopol-Rechner seinen Nutzen hat

Einführende Kurse der Industrieökonomik und der mittleren Mikroökonomik vergeben Bertrand-Aufgaben, weil das Paradoxon der erste scharfe Gegensatz zu Cournot ist: dieselben zwei Unternehmen, dieselbe lineare Nachfrage, aber Preise statt Mengen als strategische Variable und ein völlig anderer Gleichgewichtspreis. Tutoring-Plattformen und LMS-Autokorrekturen brauchen ein deterministisches Orakel, das bei gleichen Kosten die Teilung zu den Kosten und sonst den Alleingewinner liefert, statt einer Studierendentabelle, die die Menge stets halbiert.

Politik- und Strategienotizbücher, die Cournot und Bertrand auf denselben Nachfrage- und Kostenzahlen vergleichen, können hier die Bertrand-Seite festnageln und Cournot in einem getrennten Mengenlöser belassen. Fixieren Sie in Tests die gerundeten Preise und die Regimezeichenkette, halten Sie Achsenabschnitte und Kosten endlich, und Sie erhalten reproduzierbare Bertrand-Gleichgewichte für Hausaufgaben, Prüfungsgeneratoren und schlanke IO-Notizbücher, ohne einen numerischen Spielöser aufzusetzen.