Duopólio de Bertrand

O modelo de Bertrand é a referência da concorrência simultânea em preços: duas empresas vendem um bem homogêneo, anunciam preços no mesmo instante e o vendedor mais barato fica com o mercado inteiro — só dividem a demanda quando os dois preços coincidem. Com custo marginal constante e sem restrição de capacidade, cada empresa quer cobrir por baixo um rival que cobre acima do custo, de modo que o único desfecho de Nash leva ambos os preços até o custo marginal. Esse é o paradoxo de Bertrand: dois vendedores bastam para o preço competitivo. Esta calculadora de equilíbrio do duopólio de Bertrand recebe a demanda inversa linear P = a − bQ junto com o custo marginal constante de cada empresa e devolve os dois preços anunciados, as quantidades que cada uma vende, a produção total e os lucros. Quando os custos são iguais o mercado se parte em p = c com lucro econômico zero; quando diferem, a de menor custo ou anuncia o preço de monopólio ou faz preço-limite no custo do rival. Alunos, tutores e cadernos de organização industrial obtêm uma chave determinística em vez de uma planilha que trata mal o ramo partir-ou-ganhar.

O que significa um equilíbrio de Bertrand com bem homogêneo

No duopólio de Bertrand com bem homogêneo, duas empresas escolhem preços ao mesmo tempo. Os compradores tratam os produtos como substitutos perfeitos, então só compram da empresa mais barata. Se os preços anunciados coincidem, a convenção usual dos manuais é que as duas partem a demanda de mercado ao meio.

A demanda inversa se escreve P = a − bQ, em que a é o preço de reserva no eixo vertical e b é uma inclinação positiva, de modo que a quantidade demandada a um preço anunciado P é Q = (a − P) / b sempre que P fica abaixo de a. Cada empresa tem custo marginal constante e nenhuma capacidade vinculante, então o lucro de quem leva o mercado ao preço p é (p − c) vezes a demanda residual.

A lógica estratégica é cobrir por baixo: se o rival anuncia um preço acima do seu custo, voce pode ficar com o mercado inteiro anunciando um pouco menos e ainda ganhar margem positiva. Esse incentivo continua até que nenhuma consiga baixar com proveito.

Quando os dois custos coincidem, o único equilíbrio de Nash é ambos os preços iguais a esse custo comum, cada empresa atendendo metade da demanda residual e ambos os lucros econômicos iguais a zero — o resultado famoso de que a concorrência em preços com bem homogêneo leva o mercado ao custo marginal mesmo com só dois vendedores.

Quando os custos diferem, a de menor custo ainda pode cobrir por baixo; ou cobra o preço de monopólio sem restrição se esse preço já fica em ou abaixo do custo do rival, ou faz preço-limite no custo da cara e atende o mercado inteiro. Esta calculadora implementa esse equilíbrio em forma fechada, não uma iteração numérica de melhor resposta nem um jogo de quantidades à la Cournot.

Entradas, ramos em forma fechada, validação e a resposta

Ambos os custos marginais devem ser não negativos, e o preço de reserva precisa superar de forma estrita o custo menor para que alguma quantidade seja demandada ao custo. No ramo simétrico, quando os dois custos valem c, ambas anunciam p = c, a quantidade total é (a − c) / b, cada uma vende metade desse total e ambos os lucros são zero. No ramo assimétrico o preço de monopólio da de menor custo é (a + c_L) / 2.

Se esse preço de monopólio não passa do custo do rival, a barata anuncia o preço de monopólio, a cara anuncia o próprio custo e não vende nada, e a vencedora leva o lucro de monopólio. Se o preço de monopólio fica acima do custo do rival, a barata faz preço-limite no custo da cara, fica com toda a demanda residual nesse preço e ganha (c_H − c_L) vezes essa quantidade. Os números são arredondados a doze casas decimais para goldens estáveis.

Onde uma calculadora de duopólio de Bertrand se justifica

Cursos introdutórios de organização industrial e de microeconomia intermediária passam exercícios de Bertrand porque o paradoxo é o primeiro contraste nítido com Cournot: as mesmas duas empresas, a mesma demanda linear, mas preços em vez de quantidades como variável estratégica, e um preço de equilíbrio completamente diferente.

Plataformas de tutoria e autocorretores de LMS precisam de um oráculo determinístico que devolva o desfecho de partir ao custo quando os custos coincidem e o de vencedor único quando não, em vez de uma planilha de aluno que sempre divide a quantidade pela metade. Cadernos de política e de estratégia que comparam Cournot e Bertrand com a mesma demanda e os mesmos custos podem fixar aqui o lado Bertrand e deixar Cournot em um solucionador de quantidades à parte.

Fixe nos testes os preços arredondados e a string de regime, mantenha interceptos e custos finitos, e voce obtém equilíbrios de Bertrand reproduzíveis para tarefas, geradores de prova e cadernos leves de OI sem montar um solucionador numérico de jogos.