Duopolio di Bertrand

Il modello di Bertrand è il riferimento della concorrenza simultanea di prezzo: due imprese vendono un bene omogeneo, annunciano i prezzi nello stesso istante e il venditore più conveniente si prende l'intero mercato — si spartiscono la domanda solo quando i due prezzi coincidono. Con costo marginale costante e senza vincolo di capacità, ciascuna impresa vuole sottocotare un rivale che prezza sopra il costo, così l'unico esito di Nash porta entrambi i prezzi fino al costo marginale. È il paradosso di Bertrand: due venditori bastano per il prezzo concorrenziale. Questo calcolatore di equilibrio del duopolio di Bertrand accetta la domanda inversa lineare P = a − bQ insieme al costo marginale costante di ciascuna impresa e restituisce entrambi i prezzi annunciati, le quantità vendute da ciascuna, la produzione totale e i profitti. Quando i costi sono uguali il mercato si spezza a p = c con profitto economico nullo; quando differiscono, l'impresa a costo più basso o annuncia il proprio prezzo di monopolio o fissa un prezzo limite al costo del rivale. Studenti, tutor e taccuini di organizzazione industriale ottengono una chiave deterministica invece di un foglio che tratta male il ramo spartire-o-vincere.

Che cosa significa un equilibrio di Bertrand con bene omogeneo

Nel duopolio di Bertrand a bene omogeneo due imprese scelgono i prezzi contemporaneamente. Gli acquirenti trattano i prodotti come sostituti perfetti, quindi comprano solo dall'impresa più conveniente. Se i prezzi annunciati coincidono, la convenzione standard dei manuali è che le due imprese si spartiscono a metà la domanda di mercato.

La domanda inversa si scrive P = a − bQ, dove a è il prezzo di riserva sull'asse verticale e b una pendenza positiva, così la quantità domandata a un prezzo annunciato P è Q = (a − P) / b ogni volta che P sta sotto a. Ciascuna impresa ha costo marginale costante e nessuna capacità vincolante, quindi il profitto di chi si aggiudica il mercato al prezzo p è (p − c) per la domanda residua.

La logica strategica è la sottocotazione: se il rivale annuncia un prezzo sopra il Suo costo, Lei può prendere tutto il mercato annunciando un po' meno e guadagnare ancora un margine positivo. Quell'incentivo continua finché nessuna può scendere in modo redditizio.

Quando i due costi coincidono, l'unico equilibrio di Nash è che entrambi i prezzi eguaglino quel costo comune, ciascuna impresa serva metà della domanda residua e entrambi i profitti economici siano nulli — il risultato celebre per cui la concorrenza di prezzo con bene omogeneo porta il mercato al costo marginale anche con soli due venditori.

Quando i costi differiscono, l'impresa a costo più basso può ancora sottocotare; o applica il proprio prezzo di monopolio non vincolato se quel prezzo sta già al costo del rivale o sotto, oppure fissa un prezzo limite al costo dell'impresa cara e serve l'intero mercato. Questo calcolatore implementa quell'equilibrio in forma chiusa, non un'iterazione numerica di migliore risposta né un gioco di quantità alla Cournot.

Ingressi, rami in forma chiusa, convalida e la risposta

Entrambi i costi marginali devono essere non negativi, e il prezzo di riserva deve superare in modo stretto il costo minore affinché qualche unità sia domandata al costo. Sul ramo simmetrico, quando i due costi valgono c, entrambe annunciano p = c, la quantità totale è (a − c) / b, ciascuna vende metà di quel totale e entrambi i profitti sono nulli. Sul ramo asimmetrico il prezzo di monopolio dell'impresa a costo più basso è (a + c_L) / 2.

Se quel prezzo di monopolio non supera il costo del rivale, la conveniente annuncia il prezzo di monopolio, la cara annuncia il proprio costo e non vende nulla, e la vincitrice ottiene il profitto di monopolio. Se il prezzo di monopolio sta sopra il costo del rivale, la conveniente fissa un prezzo limite al costo della cara, prende l'intera domanda residua a quel prezzo e guadagna (c_H − c_L) per quella quantità.

Dove un calcolatore di duopolio di Bertrand merita il posto

I corsi introduttivi di organizzazione industriale e di microeconomia intermedia assegnano esercizi di Bertrand perché il paradosso è il primo contrasto nitido con Cournot: le stesse due imprese, la stessa domanda lineare, ma i prezzi anziché le quantità come variabile strategica, e un prezzo di equilibrio del tutto diverso.

Le piattaforme di tutoraggio e i correttori automatici LMS hanno bisogno di un oracolo deterministico che restituisca l'esito di spartizione al costo quando i costi coincidono e quello del vincitore unico quando no, invece di un foglio studente che dimezza sempre la quantità. I taccuini di politica e di strategia che confrontano Cournot e Bertrand sugli stessi numeri di domanda e costo possono fissare qui il lato Bertrand e lasciare Cournot in un risolutore di quantità a parte.

Fissi nei test i prezzi arrotondati e la stringa di regime, tenga intercette e costi finiti, e ottiene equilibri di Bertrand riproducibili per compiti, generatori d'esame e taccuini leggeri di OI senza montare un risolutore numerico di giochi.