Duopolio de Bertrand

El modelo de Bertrand es la referencia de la competencia simultánea en precios: dos empresas venden un bien homogéneo, anuncian precios al mismo instante y el vendedor más barato se queda con todo el mercado; solo se parten la demanda cuando ambos precios coinciden. Con coste marginal constante y sin tope de capacidad, cada empresa querrá socavar a un rival que cobre por encima del coste, de modo que el único desenlace de Nash lleva ambos precios hasta el coste marginal. Esa es la paradoja de Bertrand: dos vendedores bastan para el precio competitivo. Esta calculadora de equilibrio del duopolio de Bertrand toma la demanda inversa lineal P = a − bQ junto con el coste marginal constante de cada empresa y devuelve ambos precios anunciados, las cantidades que vende cada una, la producción total y los beneficios. Cuando los costes son iguales el mercado se parte en p = c con beneficio económico nulo; cuando difieren, la de menor coste o bien anuncia su precio de monopolio o bien fija un precio límite en el coste del rival. El alumnado, los tutores y los cuadernos de organización industrial obtienen una clave determinista en lugar de una hoja que trata mal la rama partir-o-ganar.

Qué significa un equilibrio de Bertrand con bien homogéneo

En el duopolio de Bertrand con bien homogéneo, dos empresas eligen precios a la vez. Los compradores tratan los productos como sustitutos perfectos, de modo que solo compran a la empresa más barata. Si los precios anunciados coinciden, la convención habitual de los manuales es que ambas se parten la demanda de mercado por la mitad.

La demanda inversa se escribe P = a − bQ, donde a es el precio de reserva en el eje vertical y b es una pendiente positiva, de modo que la cantidad demandada a un precio anunciado P es Q = (a − P) / b siempre que P quede por debajo de a. Cada empresa tiene coste marginal constante y ninguna capacidad vinculante, así que el beneficio de quien se lleva el mercado al precio p es (p − c) por la demanda residual.

La lógica estratégica es el socavamiento: si el rival anuncia un precio por encima de su coste, usted puede quedarse con todo el mercado anunciando uno un poco menor y seguir ganando un margen positivo. Ese incentivo continúa hasta que ninguna puede bajar con provecho.

Cuando los dos costes coinciden, el único equilibrio de Nash es que ambos precios igualen ese coste común, cada empresa atienda la mitad de la demanda residual y ambos beneficios económicos sean nulos: el resultado célebre de que la competencia en precios con bien homogéneo lleva el mercado al coste marginal aunque solo haya dos vendedores.

Cuando los costes difieren, la de menor coste aún puede socavar; o bien cobra su precio de monopolio sin restricción si ese precio ya queda en o por debajo del coste del rival, o bien fija un precio límite en el coste de la empresa cara y atiende todo el mercado. Esta calculadora implementa ese equilibrio en forma cerrada, no una iteración numérica de mejor respuesta ni un juego de cantidades a la Cournot.

Entradas, ramas en forma cerrada, validación y la respuesta

Ambos costes marginales deben ser no negativos, y el precio de reserva debe superar de forma estricta el coste menor para que se demanden unidades al coste. En la rama simétrica, cuando ambos costes valen c, las dos anuncian p = c, la cantidad total es (a − c) / b, cada una vende la mitad de ese total y ambos beneficios son nulos. En la rama asimétrica el precio de monopolio de la de menor coste es (a + c_L) / 2.

Si ese precio de monopolio no supera el coste del rival, la barata anuncia el precio de monopolio, la cara anuncia su propio coste y no vende nada, y la ganadora obtiene el beneficio de monopolio. Si el precio de monopolio queda por encima del coste del rival, la barata fija un precio límite en el coste de la cara, se queda con toda la demanda residual a ese precio y gana (c_H − c_L) por esa cantidad. Los números se redondean a doce decimales para goldens estables.

Dónde resulta útil una calculadora de duopolio de Bertrand

Los cursos introductorios de organización industrial y de microeconomía intermedia asignan ejercicios de Bertrand porque la paradoja es el primer contraste nítido con Cournot: las mismas dos empresas, la misma demanda lineal, pero precios en vez de cantidades como variable estratégica, y un precio de equilibrio del todo distinto.

Las plataformas de tutoría y los autocorrectores LMS necesitan un oráculo determinista que devuelva el desenlace de partir al coste cuando los costes coinciden y el de ganador único cuando no, en lugar de una hoja de alumno que siempre divide la cantidad por dos. Los cuadernos de política y de estrategia que comparan Cournot y Bertrand con la misma demanda y los mismos costes pueden fijar aquí el lado Bertrand y dejar Cournot en un solucionador de cantidades aparte.

Fije en las pruebas los precios redondeados y la cadena de régimen, mantenga interceptos y costes finitos, y obtendrá equilibrios de Bertrand reproducibles para tareas, generadores de examen y cuadernos ligeros de OI sin montar un solucionador numérico de juegos.