Duopole de Bertrand

Le modèle de Bertrand est la référence de la concurrence simultanée par les prix : deux firmes vendent un bien homogène, affichent leurs prix au même instant et le vendeur le moins cher emporte tout le marché — elles ne se partagent la demande que lorsque les deux prix coïncident. Avec un coût marginal constant et sans contrainte de capacité, chaque firme veut casser le prix d'une rivale qui tarife au-dessus du coût, de sorte que l'unique issue de Nash ramène les deux prix au coût marginal. C'est le paradoxe de Bertrand : deux vendeurs suffisent pour le prix concurrentiel. Ce calculateur d'équilibre du duopole de Bertrand prend la demande inverse linéaire P = a − bQ avec le coût marginal constant de chaque firme et renvoie les deux prix affichés, les quantités vendues par chacune, la production totale et les profits. Lorsque les coûts sont égaux, le marché se partage à p = c avec un profit économique nul ; lorsqu'ils diffèrent, la firme à bas coût affiche soit son prix de monopole, soit un prix-limite au coût de la rivale. Étudiants, tuteurs et carnets d'organisation industrielle obtiennent une clé déterministe plutôt qu'un tableur qui traite mal la branche partager-ou-gagner.

Ce que signifie un équilibre de Bertrand à bien homogène

Dans le duopole de Bertrand à bien homogène, deux firmes choisissent leurs prix simultanément. Les acheteurs traitent les produits comme des substituts parfaits, donc ils n'achètent qu'à la firme la moins chère. Si les prix affichés sont égaux, la convention usuelle des manuels est que les deux firmes se partagent la demande de marché par moitié.

La demande inverse s'écrit P = a − bQ, où a est le prix de réserve sur l'axe vertical et b une pente positive, de sorte que la quantité demandée à un prix affiché P vaut Q = (a − P) / b dès que P se situe sous a. Chaque firme a un coût marginal constant et aucune capacité contraignante, donc le profit de celle qui emporte le marché au prix p est (p − c) fois la demande résiduelle.

La logique stratégique est le cassage de prix : si la rivale affiche un prix au-dessus de votre coût, vous pouvez prendre tout le marché en affichant un peu moins et conserver encore une marge positive. Cet incitatif se poursuit jusqu'à ce qu'aucune ne puisse descendre de façon profitable.

Lorsque les deux coûts sont égaux, l'unique équilibre de Nash est que les deux prix égalent ce coût commun, chaque firme servant la moitié de la demande résiduelle, et les deux profits économiques nuls — le résultat célèbre selon lequel la concurrence par les prix à bien homogène ramène le marché au coût marginal même avec seulement deux vendeurs.

Lorsque les coûts diffèrent, la firme à bas coût peut encore casser le prix ; elle facture soit son prix de monopole non contraint si ce prix se situe déjà au coût de la rivale ou en dessous, soit un prix-limite au coût de la firme chère et dessert tout le marché. Ce calculateur implémente cet équilibre en forme fermée, non une itération numérique de meilleure réponse ni un jeu de quantités à la Cournot.

Entrées, branches en forme fermée, validation et la réponse

Les deux coûts marginaux doivent être non négatifs, et le prix de réserve doit dépasser strictement le coût le plus bas afin qu'une quantité positive soit demandée au coût. Sur la branche symétrique, lorsque les deux coûts valent c, les deux firmes affichent p = c, la quantité totale est (a − c) / b, chacune vend la moitié de ce total et les deux profits sont nuls. Sur la branche asymétrique, le prix de monopole de la firme à bas coût est (a + c_L) / 2.

Si ce prix de monopole ne dépasse pas le coût de la rivale, la moins chère affiche le prix de monopole, la plus chère affiche son propre coût et ne vend rien, et la gagnante obtient le profit de monopole. Si le prix de monopole dépasse le coût de la rivale, la moins chère fixe un prix-limite au coût de la plus chère, prend toute la demande résiduelle à ce prix et gagne (c_H − c_L) fois cette quantité. Les nombres sont arrondis à douze décimales pour des goldens stables.

Où un calculateur de duopole de Bertrand trouve son utilité

Les cours d'introduction à l'organisation industrielle et de microéconomie intermédiaire assignent des exercices de Bertrand parce que le paradoxe est le premier contraste net avec Cournot : les mêmes deux firmes, la même demande linéaire, mais les prix plutôt que les quantités comme variable stratégique, et un prix d'équilibre tout autre.

Les plateformes de tutorat et les correcteurs automatiques LMS ont besoin d'un oracle déterministe qui renvoie le partage au coût lorsque les coûts coïncident et le vainqueur unique lorsqu'ils diffèrent, plutôt qu'un tableur d'étudiant qui divise toujours la quantité par deux. Les carnets de politique et de stratégie qui comparent Cournot et Bertrand sur les mêmes nombres de demande et de coût peuvent figer ici le versant Bertrand et garder Cournot dans un solveur de quantités à part.

Fixez dans les tests les prix arrondis et la chaîne de régime, gardez interceptes et coûts finis, et vous obtenez des équilibres de Bertrand reproductibles pour devoirs, générateurs d'examens et carnets légers d'OI sans dresser un solveur numérique de jeux.