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Preço de elasticidade unitária

Para uma demanda que parte do preço de 100 e cai 2 por unidade, a elasticidade vale 1 ao preço de 50 e quantidade de 25, onde a receita atinge o máximo de 1250. É o pico de receita, não de lucro. Grátis no seu navegador.

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Exemplo resolvido

Se você digitar

Intercepto: 100
Inclinação: 2

Você obtém

Preço de elasticidade unitária: 50
Quantidade: 25
Receita total: 1.250
Elasticidade absoluta: 1

Em uma curva de demanda linear descendente, a elasticidade-preço pontual passa de muito elástica perto do preço de sufocamento a inelástica perto da interseção de quantidade, e vale um em um único ponto interior. Esse preço de elasticidade unitária também é o único que maximiza a receita total, porque a receita marginal cruza zero exatamente onde a elasticidade absoluta vale um. Estudantes, tutores e cadernos de precificação precisam desse preço, da quantidade correspondente e da receita de pico sem misturar interseções de demanda inversa e direta nem tratar a regra do ponto médio como condição de lucro máximo.

Por que |ε| vale um no ponto médio e por que esse preço maximiza a receita

Escreva a demanda inversa como preço igual à interseção a menos a inclinação b vezes a quantidade, de modo que a interseção vertical seja o preço de sufocamento no qual a quantidade demandada é zero e a curva desça de forma linear até a interseção de quantidade a sobre b. A elasticidade-preço pontual nessa reta é o produto da inclinação da quantidade em relação ao preço e da razão entre preço e quantidade.

Substituir Q igual a (a menos P) sobre b produz a identidade compacta de que a elasticidade absoluta é P sobre (a menos P). Igualar essa razão a um dá de imediato P-estrela igual a a sobre dois: o preço a meio caminho do preço de sufocamento até o eixo. A quantidade correspondente é a sobre dois b, que também é o ponto médio horizontal do segmento de demanda.

O mesmo ponto é o único máximo da receita total. A receita como função do preço é TR igual a P vezes (a menos P) sobre b, uma parábola que abre para baixo cuja derivada é (a menos dois P) sobre b; essa derivada é zero somente em P igual a a sobre dois. De forma equivalente, a receita marginal em demanda linear é a menos dois bQ, que é zero em Q igual a a sobre dois b.

Acima do ponto médio a demanda é elástica e um pequeno corte de preço eleva a receita; abaixo ela é inelástica e um pequeno corte reduz a receita. Por isso esta calculadora informa o preço de elasticidade unitária, a quantidade do ponto médio, a receita total de pico, a elasticidade absoluta de um e a receita marginal de zero como um pacote coerente.

Ela não afirma que esse preço maximize o lucro: a maximização de lucro ainda exige o custo marginal, e um custo marginal positivo empurraria a firma para a porção elástica da curva.

Onde o preço de elasticidade unitária é útil

Cursos de princípios e de microeconomia intermediária usam uma calculadora do ponto de preço de elasticidade unitária para que estudantes convertam qualquer interseção e inclinação de demanda inversa linear no preço, na quantidade e na receita de pico do ponto médio do livro, sem inverter a fórmula de elasticidade nem confundir a interseção vertical com a de quantidade.

Geradores de provas e plugins LMS precisam de um oráculo determinístico que rejeite uma interseção ou inclinação não positiva em vez de devolver em silêncio um preço zero que um corretor defeituoso poderia tratar como sucesso. Validação falha não consome saldo. Mantenha as requisições pequenas, fixe nos testes os campos arredondados de preço, quantidade e receita e você obtém números de ponto médio reproduzíveis para lição de casa, plugins LMS e edge workers sem montar uma pilha completa de economia computacional própria.

Casos de uso

Checagens de ponto médio e elasticidade em sala

Deixe os estudantes informarem a interseção e a inclinação de P=a−bQ e verificarem que o preço de elasticidade unitária é a/2, a quantidade é a/(2b) e |ε| vale um nesse ponto.

Correção automática em LMS e provas

Avalie itens de receita máxima com demanda linear com um oráculo determinístico que rejeita interseções ou inclinações não positivas e nunca inventa um segundo pico interior.

Cadernos de precificação antes de incluir custo

Calcule o pico de receita da demanda linear como linha de base antes de introduzir custo marginal, capacidade ou restrições multiproduto em uma etapa separada.

Perguntas frequentes

Como encontro o preço de elasticidade unitária em uma demanda linear?

Envie a interseção a e a inclinação b da demanda inversa em P=a−bQ. O preço de elasticidade unitária é a/2, a quantidade correspondente é a/(2b) e a receita total nesse ponto é a²/(4b). A elasticidade absoluta vale um ali.

Por que o preço de elasticidade unitária também maximiza a receita?

Em demanda linear, TR=P(a−P)/b é uma parábola em P cuja derivada é zero somente em P=a/2. De forma equivalente, a receita marginal a−2bQ é zero no mesmo ponto médio. É exatamente aí que |ε|=P/(a−P) vale um.

Este é o preço de monopólio que maximiza o lucro?

A maximização de lucro iguala MR=MC. Com custo marginal positivo a firma precifica na porção elástica da demanda, acima do ponto de elasticidade unitária.

O que acontece com a receita acima e abaixo desse preço?

Acima dele, a demanda é elástica e um pequeno corte de preço aumenta a receita. Abaixo, ela é inelástica e um corte adicional reduz a receita. O máximo fica exatamente no ponto médio, 1250 no exemplo.

E se minha demanda expressar a quantidade em função do preço?

Converta primeiro. Se a quantidade é alfa menos beta vezes o preço, o intercepto de preço é alfa dividido por beta e a inclinação é um dividido por beta. Informe esses dois números.

Ferramentas relacionadas

Para desenvolvedores — acesso via API

Tudo nesta página está disponível via API. Esta seção é para equipes que querem integrar a ferramenta aos próprios sistemas; quem não precisa disso pode simplesmente usar a ferramenta acima.

Endpoint

POSThttps://api.kit.forhosting.com/econ/unit-elastic-price

Autenticação por token Bearer. Um único POST coloca a tarefa na fila; o resultado chega por webhook ou link assinado.

Chame do seu código

curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/econ/unit-elastic-price \
  -H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
  -H "Content-Type: application/json" \
  -d '{"intercept":100,"slope":2}'

const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/econ/unit-elastic-price", {
  method: "POST",
  headers: {
    "Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
    "Content-Type": "application/json"
  },
  body: JSON.stringify({
    "intercept": 100,
    "slope": 2
  })
});
const { task_id } = await res.json();

import os, requests

res = requests.post(
    "https://api.kit.forhosting.com/econ/unit-elastic-price",
    headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
    json={
    "intercept": 100,
    "slope": 2
},
)
task_id = res.json()["task_id"]

<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/econ/unit-elastic-price", false, stream_context_create([
  "http" => [
    "method"  => "POST",
    "header"  => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
    "content" => '{"intercept":100,"slope":2}',
  ],
]));
$task = json_decode($res, true);

body := bytes.NewBufferString(`{"intercept":100,"slope":2}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/econ/unit-elastic-price", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)

Exemplo de requisição

{
  "intercept": 100,
  "slope": 2
}

Exemplo de resposta

{
  "task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
  "type": "econ.unit_elastic_price",
  "status": "queued",
  "_links": {
    "result": "/tasks/tsk_…/result"
  }
}

A API é assíncrona: cada chamada devolve um task_id na hora. Se preferir polling, consulte o status a até 1 requisição por segundo.

Preço

por chamadaUS$ 0,002

Preço publicado, sem tokens nem créditos escondidos. Tarefa que falha não é cobrada.

Erros

HTTP	Código	O que significa
`401`	`unauthorized`	Token ausente ou inválido. Confira o header Authorization.
`402`	`insufficient_balance`	Saldo insuficiente para esta tarefa. Faça uma recarga e tente de novo.
`404`	`unknown_type`	Esse tipo de tarefa não existe. Confira o campo type no catálogo.
`429`	`rate_limited`	Muitas requisições em pouco tempo. Espere um instante e tente de novo.

Notas técnicas

Contrato de entrada, campos de resposta e regras de validação

Ambos devem ser estritamente maiores que zero para que a curva tenha um preço de sufocamento positivo e desça. Opcionalmente envie decimals como um inteiro de zero a doze (padrão seis) para controlar o arredondamento half-up nos campos calculados de preço, quantidade e receita. Se você estimou um programa de demanda direta Q igual a alfa menos beta P, converta primeiro: a interseção inversa é alfa sobre beta e a inclinação inversa é um sobre beta, e envie aqui esses dois números. Envie com POST um corpo JSON com dois números finitos obrigatórios: intercept, a interseção de preço a da demanda inversa P igual a a menos bQ, e slope, o parâmetro de inclinação positivo b que diz quanto o preço cai por unidade extra vendida. Aliases comuns são aceitos: demand_intercept, a, choke_price ou price_intercept para intercept; demand_slope ou b para slope. Campos ausentes, strings vazias, valores não finitos, interseção ou inclinação nulas ou negativas, e decimals fora do intervalo falham com invalid_input e não são cobrados. Em caso de sucesso o corpo ecoa intercept e slope e depois devolve unit_elastic_price como a sobre dois, quantity como a sobre dois b, total_revenue como a ao quadrado sobre quatro b, abs_elasticity como um, marginal_revenue como zero e uma string formula que reafirma essas identidades. Exemplo: intercept cem e slope dois produzem preço de elasticidade unitária cinquenta, quantidade vinte e cinco e receita total mil duzentos e cinquenta. Combine os números com o seu próprio gráfico da demanda linear e da parábola TR se precisar de uma figura; este endpoint devolve apenas os números do ponto médio e não emite gráficos nem prosa em vários passos além do campo formula.

Onde uma API do ponto de preço de elasticidade unitária agrega valor

Cadernos de consultoria e sandboxes de precificação costumam tabular picos de receita de demanda linear antes de acrescentar custo, capacidade ou restrições multiproduto; fixar a aritmética em uma API parse minúscula mantém o desvio de planilha fora da coluna de comparação. Como a implementação é parse pura de nível A, cada chamada bem-sucedida custa o preço base publicado US$ 0,002 sem tokens de modelo nem rede de saída.

Perguntas técnicas

Que interseção e inclinação a calculadora espera?

Ela espera demanda inversa P=a−bQ: intercept é o preço de sufocamento a>0 e slope é a queda positiva do preço por unidade de quantidade b>0. Se você tem Q=α−βP, converta primeiro para a=α/β e b=1/β.

Quanto custa a calculadora do ponto de preço de elasticidade unitária?

A ferramenta do navegador é gratuita. As requisições API usam saldo pré-pago KIT a US$ 0,002 por chamada bem-sucedida; entrada inválida não é cobrada.

Ver a documentação completa do KIT →

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