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Summe der arithmetisch-geometrischen Reihe – kostenlos

Mit Anfangsglied 1, Differenz 1, Quotient 0,5 und 5 Gliedern beträgt die Summe 3,5625. Geben Sie arithmetischen Start und Schritt, den geometrischen Quotienten und die Anzahl der Glieder ein und erhalten Sie die endliche Summe über ihre geschlossene Formel. Kostenlos in Ihrem Browser.

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Rechenbeispiel

Wenn Sie eingeben

A: 1
Differenz: 1
Widerstand (Ω): 0,5
N: 5
Dezimalstellen: 6

Erhalten Sie

Sum: 3,5625

Endliche Summe Σ(a+(k)d)r^k in geschlossener Form. Suchintention: arithmetico geometric series. Es sind keine Netzwerkaufrufe und keine Zufalls-Seeds erforderlich. Fehlgeschlagene Aufträge werden nicht berechnet.

Was eine arithmetisch-geometrische Reihe ist

Eine arithmetisch-geometrische Reihe multipliziert Glied für Glied zwei bekannte Muster. Der erste Faktor wächst wie eine arithmetische Folge: a, dann a plus d, dann a plus zweimal d. Der zweite wächst wie eine geometrische Folge: 1, dann r, dann r zum Quadrat. Zusammen ergeben sich die Glieder a, (a + d) mal r, (a + 2d) mal r zum Quadrat, und die Reihe addiert die ersten n davon. Mit Anfangsglied 1, Differenz 1, Quotient 0,5 und 5 Gliedern werden die arithmetischen Teile 1 bis 5 mit den aufeinanderfolgenden Potenzen von 0,5 multipliziert; die Summe ist 3,5625.

So funktioniert die geschlossene Formel, und typische Fehler

Gliedweises Addieren klappt bei fünf Gliedern, wird bei vielen aber mühsam. Der klassische Kniff: Man multipliziert die ganze Summe mit r und zieht sie von der ursprünglichen ab. Die arithmetischen Teile fallen zusammen, übrig bleibt eine einfache geometrische Reihe mit bekannter Summe. Genau diese geschlossene Formel wendet der Rechner an. Sie versagt, wenn der Quotient genau 1 ist, weil dann alle geometrischen Faktoren 1 sind; dieser Fall wird daher gesondert als gewöhnliche arithmetische Summe berechnet. Typische Fehler sind, schon das erste Glied mit r zu multiplizieren, was alle Potenzen verschiebt, und diese endliche Summe mit dem Grenzwert einer unendlichen Reihe zu verwechseln.

Anwendungsfälle

Lehre

Fixierte Goldens.

Häufige Fragen

Was ist eine arithmetisch-geometrische Reihe?

Eine Summe, deren Glieder eine arithmetische Folge mit einer geometrischen multiplizieren: a, dann (a + d) mal r, dann (a + 2d) mal r zum Quadrat und so weiter. Der Rechner addiert die ersten n dieser Glieder.

Was passiert, wenn der Quotient genau 1 ist?

Dann ist jeder geometrische Faktor 1, und die Reihe wird zu einer gewöhnlichen arithmetischen Summe. Die übliche geschlossene Formel gilt dafür nicht, deshalb behandelt der Rechner diesen Fall gesondert und liefert trotzdem die richtige Summe.

Berechnet er die Summe einer unendlichen Reihe?

Nein. Er addiert eine endliche Anzahl von Gliedern, nämlich die von Ihnen angegebene, über eine geschlossene Formel. Den Grenzwert, dem sich eine unendliche Reihe bei wachsender Gliederzahl nähern könnte, berechnet er nicht.

Kann ich die Anzahl der Dezimalstellen wählen?

Ja. Wenn Sie Dezimalstellen vorgeben, wird die Summe genau einmal ganz am Ende gerundet, Hälften nach oben. Ohne diese Vorgabe erhalten Sie den vollständig berechneten Wert, wie die 3,5625 im Beispiel.

Für Entwickler — API-Zugang

Alles auf dieser Seite ist auch per API verfügbar. Dieser Abschnitt richtet sich an Teams, die es in ihre eigenen Systeme einbinden möchten; alle anderen nutzen einfach das Tool oben.

Endpunkt

POSThttps://api.kit.forhosting.com/math/arithmetico-geometric-series

Authentifizierung per Bearer-Token. Ein einziger POST stellt die Aufgabe in die Warteschlange; das Ergebnis erhalten Sie per Webhook oder über einen signierten Link.

Aufruf aus Ihrem Stack

curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/math/arithmetico-geometric-series \
  -H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
  -H "Content-Type: application/json" \
  -d '{"a":1,"diff":1,"r":0.5,"n":5}'

const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/math/arithmetico-geometric-series", {
  method: "POST",
  headers: {
    "Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
    "Content-Type": "application/json"
  },
  body: JSON.stringify({
    "a": 1,
    "diff": 1,
    "r": 0.5,
    "n": 5
  })
});
const { task_id } = await res.json();

import os, requests

res = requests.post(
    "https://api.kit.forhosting.com/math/arithmetico-geometric-series",
    headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
    json={
    "a": 1,
    "diff": 1,
    "r": 0.5,
    "n": 5
},
)
task_id = res.json()["task_id"]

<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/math/arithmetico-geometric-series", false, stream_context_create([
  "http" => [
    "method"  => "POST",
    "header"  => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
    "content" => '{"a":1,"diff":1,"r":0.5,"n":5}',
  ],
]));
$task = json_decode($res, true);

body := bytes.NewBufferString(`{"a":1,"diff":1,"r":0.5,"n":5}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/math/arithmetico-geometric-series", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)

Beispiel-Anfrage

{
  "a": 1,
  "diff": 1,
  "r": 0.5,
  "n": 5
}

Beispiel-Antwort

{
  "task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
  "type": "math.arithmetico_geometric_series",
  "status": "queued",
  "_links": {
    "result": "/tasks/tsk_…/result"
  }
}

Die API arbeitet asynchron: Sie erhalten sofort eine task_id. Polling ist mit 1 Anfrage pro Sekunde erlaubt.

Preis

pro Anfrage$0.002

Der Preis steht auf der Seite – keine Tokens, keine Credits. Fehlgeschlagene Aufgaben werden nicht berechnet.

Fehler

HTTP	Code	Bedeutung
`401`	`unauthorized`	Der API-Schlüssel fehlt oder ist ungültig – prüfen Sie den Authorization-Header (Bearer).
`402`	`insufficient_balance`	Ihr Guthaben reicht für diese Aufgabe nicht aus – Aufladungen verfallen nicht.
`404`	`unknown_type`	Unbekannter Aufgabentyp – prüfen Sie das Feld „type“ gegen den Katalog.
`429`	`rate_limited`	Zu viele Anfragen – warten Sie kurz; Polling ist mit 1 Anfrage pro Sekunde erlaubt.

Technische Hinweise

Der Rechner ist im Browser kostenlos, deterministisch und auf dem API-Pfad identisch. Die Eingaben werden vor der Berechnung geprüft, sodass ungültige Nutzlasten mit invalid_input fehlschlagen. Bei angeforderten Dezimalstellen wird die kaufmännische Rundung (half-up) einmalig auf die rohen IEEE-Werte angewendet. Verwenden Sie dasselbe JSON aus Tabellenkalkulationen, CMS, Automatisierungen oder Lehrdemos.

So funktioniert es

Endliche Summe Σ(a+(k)d)r^k in geschlossener Form. Es sind keine Netzwerkaufrufe und keine Zufalls-Seeds erforderlich. Fehlgeschlagene Aufträge werden nicht berechnet. Es sind keine Netzwerkaufrufe und keine Zufalls-Seeds erforderlich. Fehlgeschlagene Aufträge werden nicht berechnet. Standardformel der AG-Reihe für |r|≠1 und den Fall r=1. Der Rechner ist im Browser kostenlos, deterministisch und auf dem API-Pfad identisch. Die Eingaben werden vor der Berechnung geprüft, sodass ungültige Nutzlasten mit invalid_input fehlschlagen. Bei angeforderten Dezimalstellen wird die kaufmännische Rundung (half-up) einmalig auf die rohen IEEE-Werte angewendet. Verwenden Sie dasselbe JSON aus Tabellenkalkulationen, CMS, Automatisierungen oder Lehrdemos. Der Rechner ist im Browser kostenlos, deterministisch und auf dem API-Pfad identisch. Die Eingaben werden vor der Berechnung geprüft, sodass ungültige Nutzlasten mit invalid_input fehlschlagen. Bei angeforderten Dezimalstellen wird die kaufmännische Rundung (half-up) einmalig auf die rohen IEEE-Werte angewendet. Verwenden Sie dasselbe JSON aus Tabellenkalkulationen, CMS, Automatisierungen oder Lehrdemos.

Eingaben, Grenzen und Rundung

Optionale Dezimalstellen nutzen einmalig half-up. Die Ausgaben spiegeln die Eingaben wider. Es sind keine Netzwerkaufrufe und keine Zufalls-Seeds erforderlich. Fehlgeschlagene Aufträge werden nicht berechnet. Es sind keine Netzwerkaufrufe und keine Zufalls-Seeds erforderlich. Fehlgeschlagene Aufträge werden nicht berechnet. Übergeben Sie die erforderlichen JSON-Felder. Ungültige Typen lösen invalid_input aus. Der Rechner ist im Browser kostenlos, deterministisch und auf dem API-Pfad identisch. Die Eingaben werden vor der Berechnung geprüft, sodass ungültige Nutzlasten mit invalid_input fehlschlagen. Bei angeforderten Dezimalstellen wird die kaufmännische Rundung (half-up) einmalig auf die rohen IEEE-Werte angewendet. Verwenden Sie dasselbe JSON aus Tabellenkalkulationen, CMS, Automatisierungen oder Lehrdemos. Der Rechner ist im Browser kostenlos, deterministisch und auf dem API-Pfad identisch. Die Eingaben werden vor der Berechnung geprüft, sodass ungültige Nutzlasten mit invalid_input fehlschlagen. Bei angeforderten Dezimalstellen wird die kaufmännische Rundung (half-up) einmalig auf die rohen IEEE-Werte angewendet. Verwenden Sie dasselbe JSON aus Tabellenkalkulationen, CMS, Automatisierungen oder Lehrdemos.

Wann Sie ihn verwenden

Verwenden Sie ihn, wenn die Suchintention passt. Endliche Summe Σ(a+(k)d)r^k in geschlossener Form. Es sind keine Netzwerkaufrufe und keine Zufalls-Seeds erforderlich. Fehlgeschlagene Aufträge werden nicht berechnet. Es sind keine Netzwerkaufrufe und keine Zufalls-Seeds erforderlich. Fehlgeschlagene Aufträge werden nicht berechnet. Der Rechner ist im Browser kostenlos, deterministisch und auf dem API-Pfad identisch. Die Eingaben werden vor der Berechnung geprüft, sodass ungültige Nutzlasten mit invalid_input fehlschlagen. Bei angeforderten Dezimalstellen wird die kaufmännische Rundung (half-up) einmalig auf die rohen IEEE-Werte angewendet. Verwenden Sie dasselbe JSON aus Tabellenkalkulationen, CMS, Automatisierungen oder Lehrdemos. Der Rechner ist im Browser kostenlos, deterministisch und auf dem API-Pfad identisch. Die Eingaben werden vor der Berechnung geprüft, sodass ungültige Nutzlasten mit invalid_input fehlschlagen. Bei angeforderten Dezimalstellen wird die kaufmännische Rundung (half-up) einmalig auf die rohen IEEE-Werte angewendet. Verwenden Sie dasselbe JSON aus Tabellenkalkulationen, CMS, Automatisierungen oder Lehrdemos.

Integrationsbeispiele

Schnelltest

Kostenloses Widget.

Automatisierung

Dasselbe JSON über die API.

Technische Fragen

Kostenlos?

Ja, tier A.

Netzwerk?

Nein.

Ungültige Eingabe?

Meldet invalid_input.

API nutzbar?

Ja.

Sprachen?

Nur EN; Nitro hydratisiert.

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