Triangolo dai vertici

Un triangolo nel piano cartesiano è completamente determinato dalle coordinate dei suoi tre vertici, e quei sei numeri contengono già l'area, le tre lunghezze dei lati e il perimetro chiuso. Questa calcolatrice accetta le coordinate planari dei vertici A, B e C, rifiuta qualsiasi coordinata assente, infinita o che non sia un numero, e rifiuta le terne collineari che non racchiudono un'area positiva. Su una terna valida restituisce l'area con la formula del laccio, le lunghezze euclidee dei lati AB, BC e CA, e il perimetro come loro somma.

Come area, lati e perimetro nascono da tre vertici

Si parta da tre punti ordinati A = (x1, y1), B = (x2, y2) e C = (x3, y3). La quantità con segno pari al doppio dell'area è la somma del laccio: x1 per (y2 meno y3) più x2 per (y3 meno y1) più x3 per (y1 meno y2). L'area geometrica del triangolo è la metà del valore assoluto di quella somma.

Quando la somma con segno vale esattamente zero, i tre punti giacciono su una sola retta: non formano un triangolo, e questa calcolatrice rifiuta la richiesta invece di restituire un'area zero riuscita che sembrerebbe una figura risolta. Indipendentemente dal senso di percorrenza, ogni lato è la distanza euclidea tra una coppia di vertici. Il lato AB è l'hypot di (x2 meno x1) e (y2 meno y1); il lato BC usa lo stesso hypot su B e C; il lato CA chiude la figura da C verso A.

Poiché hypot è pari in ogni differenza, elencare i vertici in senso orario o antiorario non cambia mai una lunghezza. Il perimetro è la somma di quelle tre lunghezze positive. Insieme, l'area, i tre lati e il perimetro sono le misure di primo ordine complete di un triangolo planare dato solo dai vertici: non servono un lato nominato, un angolo compreso né un'altezza.

Un controllo classico d'aula è il triangolo rettangolo con vertici in (0, 0), (3, 0) e (0, 4): i lati sono 3, 4 e 5, il perimetro è 12 e l'area è 6. Un controllo isoscele è (0, 0), (2, 0), (1, 1): la base è 2, i lati uguali sono ciascuno la radice quadrata di 2, il perimetro è 2 più il doppio della radice quadrata di 2 e l'area è 1.

Il percorso è a tempo costante, non usa una libreria trigonometrica ed è del tutto deterministico sui sei numeri che Lei fornisce.

Che cosa invia e che cosa riceve in cambio

Fornisca sei numeri finiti obbligatori: x1 e y1 per il vertice A, x2 e y2 per il vertice B, e x3 e y3 per il vertice C. Dopo l'analisi, il servizio valuta la somma del laccio e le tre lunghezze hypot. Se i tre punti sono collineari, il messaggio indica che i vertici sono collineari e chiede una terna non degenere.

Se un intermedio sfora verso un valore non finito, il messaggio chiede di ridurre le magnitudini delle coordinate. Controlli di esempio: zero, zero, tre, zero, zero, quattro produce area sei, perimetro dodici e lati tre, cinque e quattro; zero, zero, uno, uno, due, due fallisce come collineare; un y3 assente fallisce nominando quel campo. Usi lo strumento gratuito del browser per un controllo rapido, poi chiami lo stesso contratto da script quando serve una valutazione di massa di triangoli per coordinate senza reimplementare il filtro di collinearità in ogni linguaggio.

Dove le misure dai vertici compaiono nel lavoro reale

I corsi di geometria analitica chiedono agli studenti di recuperare ogni misura elementare di un triangolo tracciato a partire dai tre punti marcati, non solo una di esse. Una sola calcolatrice che restituisce area, lati e perimetro insieme, e che rifiuta una terna collineare, riduce i consueti errori di foglio di calcolo: scambiare una coordinata, dimenticare la metà nella formula del laccio, sommare solo due ipotenuse o trattare una figura appiattita come risposta valida.

Il disegno e il lavoro su lotti in piano locale memorizzano già gli angoli come coppie (x, y) proiettate; gli stessi sei numeri decidono quanta pittura, recinzione o battiscopa serve a un lotto a tre angoli e quanta superficie copre, così note di campo e script d'ufficio devono condividere un solo oracolo numerico invece di tre formule improvvisate.

I tutorial di giochi e CAD tengono spesso le facce di mesh come terne di coordinate di schermo o di mondo; impacchettare area, lunghezze di spigolo e perimetro in una sola risposta alimenta proxy di collisione, controlli di densità UV e euristiche di livello di dettaglio senza erigere una biblioteca di geometria computazionale.

Esistono già pagine dedicate quando la ricerca è solo l'area da coordinate, solo il perimetro da vertici, la lunghezza sferica sul globo o un semiperimetro da tre lati già noti; quelle sono interrogazioni diverse, e questa pagina resta la calcolatrice combinata del triangolo dai vertici.