Dreieck aus Eckpunkten

Ein Dreieck in der kartesischen Ebene ist durch die Koordinaten seiner drei Eckpunkte vollständig bestimmt, und diese sechs Zahlen enthalten bereits die Fläche, die drei Seitenlängen und den geschlossenen Umfang. Dieser Rechner nimmt die ebenen Koordinaten der Eckpunkte A, B und C entgegen, lehnt jede fehlende, unendliche oder nichtnumerische Koordinate ab und lehnt kollineare Tripel ab, die keine positive Fläche einschließen. Bei einem gültigen Tripel liefert er die Gaußsche Trapezfläche, die euklidischen Längen der Seiten AB, BC und CA sowie den Umfang als deren Summe.

Wie Fläche, Seiten und Umfang aus drei Eckpunkten entstehen

Beginnen Sie mit drei geordneten Punkten A = (x1, y1), B = (x2, y2) und C = (x3, y3). Die vorzeichenbehaftete Größe des doppelten Flächeninhalts ist die Gaußsche Trapezsumme: x1 mal (y2 minus y3) plus x2 mal (y3 minus y1) plus x3 mal (y1 minus y2). Die geometrische Fläche des Dreiecks ist die Hälfte des Absolutwerts dieser Summe.

Ist die vorzeichenbehaftete Summe genau null, liegen die drei Punkte auf einer einzigen Geraden: sie bilden kein Dreieck, und dieser Rechner lehnt die Anfrage ab, statt eine erfolgreiche Nullfläche zurückzugeben, die wie eine gelöste Figur wirkte. Unabhängig vom Umlaufsinn ist jede Seite der euklidische Abstand zwischen einem Paar von Eckpunkten. Seite AB ist der hypot von (x2 minus x1) und (y2 minus y1); Seite BC nutzt denselben hypot auf B und C; Seite CA schließt die Figur von C zurück nach A.

Weil hypot in jeder Differenz gerade ist, ändert das Auflisten der Eckpunkte im oder gegen den Uhrzeigersinn niemals eine Länge. Der Umfang ist die Summe dieser drei positiven Längen. Zusammen sind Fläche, die drei Seiten und der Umfang die vollständigen Maße erster Ordnung eines ebenen Dreiecks, das nur durch Eckpunkte gegeben ist: Sie brauchen weder eine benannte Seite noch einen eingeschlossenen Winkel noch eine Höhe.

Eine klassische Klassenraumprüfung ist das rechtwinklige Dreieck mit Ecken bei (0, 0), (3, 0) und (0, 4): die Seiten sind 3, 4 und 5, der Umfang ist 12 und die Fläche ist 6. Eine gleichschenklige Prüfung ist (0, 0), (2, 0), (1, 1): die Basis ist 2, die gleichen Schenkel sind je die Quadratwurzel aus 2, der Umfang ist 2 plus das Doppelte der Quadratwurzel aus 2 und die Fläche ist 1.

Der Pfad ist von konstanter Laufzeit, nutzt keine trigonometrische Bibliothek und ist auf den sechs Zahlen, die Sie liefern, vollständig deterministisch.

Was Sie senden und was Sie zurückerhalten

Geben Sie sechs erforderliche endliche Zahlen an: x1 und y1 für Eckpunkt A, x2 und y2 für Eckpunkt B sowie x3 und y3 für Eckpunkt C. Nach dem Einlesen wertet der Dienst die Trapezsumme und die drei hypot-Längen aus. Sind die drei Punkte kollinear, besagt die Meldung, dass die Eckpunkte kollinear sind, und fordert ein nicht entartetes Tripel.

Läuft ein Zwischenwert auf einen nichtendlichen Wert über, bittet die Meldung Sie, die Koordinatenbeträge zu verkleinern. Beispielprüfungen: null, null, drei, null, null, vier liefert Fläche sechs, Umfang zwölf und Seiten drei, fünf und vier; null, null, eins, eins, zwei, zwei scheitert als kollinear; ein fehlendes y3 scheitert unter Nennung dieses Feldes. Nutzen Sie das kostenlose Browser-Tool für eine schnelle Plausibilitätsprüfung und rufen Sie denselben Vertrag aus Skripten auf, wenn Sie Massenauswertung koordinatenbasierter Dreiecke brauchen, ohne die Kollinearitätsprüfung in jeder Sprache neu zu implementieren.

Wo Eckpunktmaße in der Praxis vorkommen

Kurse der analytischen Geometrie verlangen von Lernenden, jedes elementare Maß eines gezeichneten Dreiecks aus den drei markierten Punkten zu gewinnen, nicht nur eines davon. Ein einzelner Rechner, der Fläche, Seiten und Umfang gemeinsam zurückgibt und ein kollineares Tripel ablehnt, vermindert die üblichen Tabellenfehler: eine Koordinate zu vertauschen, die Hälfte in der Trapezformel zu vergessen, nur zwei Hypotenusen zu addieren oder eine abgeflachte Figur als gültige Antwort zu behandeln.

Zeichnung und Parzellenarbeit in der lokalen Ebene speichern Ecken bereits als projizierte (x, y)-Paare; dieselben sechs Zahlen entscheiden, wie viel Farbe, Zaun oder Sockelleiste ein dreieckiges Grundstück braucht und wie viel Boden es bedeckt, sodass Feldnotizen und Büroskripte ein gemeinsames numerisches Orakel teilen sollten statt dreier ad-hoc-Formeln. Spiel- und CAD-Tutorials halten Mesh-Flächen oft als Tripel von Bildschirm- oder Weltkoordinaten; Fläche, Kantenlängen und Umfang in einer Antwort zu bündeln speist Kollisionsproxys, UV-Dichteprüfungen und Detailstufen-Heuristiken, ohne eine Computational-Geometry-Bibliothek aufzubauen.

Eigene Seiten gibt es bereits, wenn die Suche nur die Fläche aus Koordinaten, nur den Umfang aus Eckpunkten, sphärische Länge auf der Erdkugel oder einen Semiperimeter aus drei bereits bekannten Seiten meint; das sind andere Anfragen, und diese Seite bleibt der kombinierte Dreiecksrechner aus Eckpunkten.