Triângulo por vértices
Os pontos (0, 0), (3, 0) e (0, 4) formam um triângulo de lados 3, 4 e 5, com perímetro de 12 e área de 6. Digite as coordenadas de três vértices no plano e receba tudo isso de uma vez. Grátis no seu navegador.
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Exemplo resolvido
- X1
- 0
- Y1
- 0
- X2
- 3
- Y2
- 0
- X3
- 0
- Y3
- 4
- Área
- 6
- Perímetro
- 12
- Lado AB
- 3
- Lado BC
- 5
Um triângulo no plano cartesiano fica completamente determinado pelas coordenadas de seus três vértices, e esses seis números já contêm a área, os três comprimentos de lado e o perímetro fechado. Esta calculadora aceita as coordenadas planares dos vértices A, B e C, rejeita qualquer coordenada ausente, infinita ou que não seja um número, e rejeita ternas colineares que não encerram uma área positiva. Em uma terna válida devolve a área pela fórmula do laço, os comprimentos euclidianos dos lados AB, BC e CA, e o perímetro como a soma deles.
Como área, lados e perímetro saem de três vértices
Comece com três pontos ordenados A = (x1, y1), B = (x2, y2) e C = (x3, y3). A quantidade com sinal igual ao dobro da área é a soma do laço: x1 vezes (y2 menos y3) mais x2 vezes (y3 menos y1) mais x3 vezes (y1 menos y2). A área geométrica do triângulo é a metade do valor absoluto dessa soma.
Quando a soma com sinal vale exatamente zero, os três pontos estão em uma única reta: não formam um triângulo, e esta calculadora recusa o pedido em vez de devolver uma área zero bem-sucedida que pareceria uma figura resolvida. Independentemente do sentido de percurso, cada lado é a distância euclidiana entre um par de vértices.
O lado AB é o hypot de (x2 menos x1) e (y2 menos y1); o lado BC usa o mesmo hypot em B e C; o lado CA fecha a figura de C de volta a A. Como hypot é par em cada diferença, listar os vértices no sentido horário ou anti-horário nunca muda um comprimento. O perímetro é a soma desses três comprimentos positivos.
Juntos, a área, os três lados e o perímetro são as medidas de primeira ordem completas de um triângulo planar dado só por vértices: você não precisa de um lado nomeado, de um ângulo incluído nem de uma altura. Uma verificação clássica de sala é o triângulo retângulo com vértices em (0, 0), (3, 0) e (0, 4): os lados são 3, 4 e 5, o perímetro é 12 e a área é 6.
Uma verificação isósceles é (0, 0), (2, 0), (1, 1): a base é 2, os lados iguais são cada um a raiz quadrada de 2, o perímetro é 2 mais o dobro da raiz quadrada de 2 e a área é 1. O caminho é de tempo constante, não usa biblioteca trigonométrica e é totalmente determinístico sobre os seis números que você fornece.
O que você envia e o que recebe de volta
Forneça seis números finitos obrigatórios: x1 e y1 para o vértice A, x2 e y2 para o vértice B, e x3 e y3 para o vértice C. Após o parse, o serviço avalia a soma do laço e os três comprimentos hypot. Se os três pontos forem colineares, a mensagem indica que os vértices são colineares e pede uma terna não degenerada.
Se um intermediário transbordar para um valor não finito, a mensagem pede que você reduza as magnitudes das coordenadas. Verificações de exemplo: zero, zero, três, zero, zero, quatro produz área seis, perímetro doze e lados três, cinco e quatro; zero, zero, um, um, dois, dois falha como colinear; um y3 ausente falha nomeando esse campo.
Use a ferramenta gratuita do navegador para uma checagem rápida e depois chame o mesmo contrato a partir de scripts quando precisar de avaliação em massa de triângulos por coordenadas sem reimplementar o filtro de colinearidade em cada linguagem.
Onde as medidas por vértices aparecem no trabalho real
Cursos de geometria analítica pedem que os alunos recuperem cada medida elementar de um triângulo plotado a partir dos três pontos marcados, e não só uma delas. Uma única calculadora que devolve área, lados e perímetro juntos, e que recusa uma terna colinear, corta os erros habituais de planilha: trocar uma coordenada, esquecer a metade na fórmula do laço, somar só duas hipotenusas ou tratar uma figura achatada como resposta válida.
O desenho e o trabalho de parcelas em plano local já guardam os cantos como pares (x, y) projetados; os mesmos seis números decidem quanta tinta, cerca ou rodapé um lote de três cantos precisa e quanto terreno cobre, de modo que notas de campo e scripts de escritório devem compartilhar um só oráculo numérico em vez de três fórmulas improvisadas.
Tutoriais de jogos e CAD costumam guardar faces de malha como ternas de coordenadas de tela ou do mundo; empacotar área, comprimentos de aresta e perímetro em uma só resposta alimenta proxies de colisão, checagens de densidade UV e heurísticas de nível de detalhe sem montar uma biblioteca de geometria computacional.
Já existem páginas dedicadas quando a busca é só a área por coordenadas, só o perímetro por vértices, o comprimento esférico no globo ou um semiperímetro a partir de três lados já conhecidos; essas são consultas distintas, e esta página permanece a calculadora combinada de triângulo por vértices.
Casos de uso
Conferência de lições e provas
Recupere área, três lados e perímetro a partir de vértices plotados, e rejeite ternas colineares em vez de aceitar um zero degenerado silencioso.
Parcelas de topografia em plano local
A partir de três coordenadas de canto projetadas, recupere a área planar e as medidas de aresta antes de relatar, demarcar ou encomendar materiais para um lote triangular.
Perguntas frequentes
O que acontece se os três vértices forem colineares?
Pontos colineares não formam um triângulo, de modo que um passeio de área nula ou degenerado não é devolvido como um cálculo bem-sucedido.
A ordem dos três vértices muda o resultado?
A área é tomada em valor absoluto e cada distância é simétrica, então listar os vértices no sentido horário ou anti-horário produz a mesma área, os mesmos três comprimentos e o mesmo perímetro.
As coordenadas são só bidimensionais?
Sim. Esta ferramenta espera valores cartesianos planares x e y. Não calcula medidas de um triângulo espacial 3D nem comprimento geográfico de círculo máximo.
Quanto custa a calculadora de triângulo por vértices?
A ferramenta do navegador é gratuita e roda localmente.
Como a área é calculada a partir das coordenadas?
Pela fórmula do laço: multiplique cada x pela diferença entre os outros dois valores de y, some os três produtos e tome a metade do valor absoluto. Cada lado é a distância em linha reta entre dois vértices.
Ferramentas relacionadas
Para desenvolvedores — acesso via API
Tudo nesta página está disponível via API. Esta seção é para equipes que querem integrar a ferramenta aos próprios sistemas; quem não precisa disso pode simplesmente usar a ferramenta acima.
Endpoint
Autenticação por token Bearer. Um único POST coloca a tarefa na fila; o resultado chega por webhook ou link assinado.
Chame do seu código
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/math/triangle-vertices \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"x1":0,"y1":0,"x2":3,"y2":0,"x3":0,"y3":4}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/math/triangle-vertices", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"x1": 0,
"y1": 0,
"x2": 3,
"y2": 0,
"x3": 0,
"y3": 4
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/math/triangle-vertices",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"x1": 0,
"y1": 0,
"x2": 3,
"y2": 0,
"x3": 0,
"y3": 4
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/math/triangle-vertices", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"x1":0,"y1":0,"x2":3,"y2":0,"x3":0,"y3":4}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"x1":0,"y1":0,"x2":3,"y2":0,"x3":0,"y3":4}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/math/triangle-vertices", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Exemplo de requisição
{
"x1": 0,
"y1": 0,
"x2": 3,
"y2": 0,
"x3": 0,
"y3": 4
}Exemplo de resposta
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "math.triangle_vertices",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}A API é assíncrona: cada chamada devolve um task_id na hora. Se preferir polling, consulte o status a até 1 requisição por segundo.
Preço
Preço publicado, sem tokens nem créditos escondidos. Tarefa que falha não é cobrada.
Erros
| HTTP | Código | O que significa |
|---|---|---|
401 | unauthorized | Token ausente ou inválido. Confira o header Authorization. |
402 | insufficient_balance | Saldo insuficiente para esta tarefa. Faça uma recarga e tente de novo. |
404 | unknown_type | Esse tipo de tarefa não existe. Confira o campo type no catálogo. |
429 | rate_limited | Muitas requisições em pouco tempo. Espere um instante e tente de novo. |
Notas técnicas
Não há chamadas de rede, nem amostras aleatórias, nem relógios: apenas aritmética IEEE-754 sobre as seis coordenadas que você envia.
Como área, lados e perímetro saem de três vértices
Coordenadas muito grandes ainda podem estourar o intervalo double de IEEE-754; quando uma soma intermediária, um comprimento ou a área não é finita, o pedido falha com uma mensagem clara de overflow em vez de serializar Infinity como JSON.
O que você envia e o que recebe de volta
Cada campo pode chegar como número JSON ou como cadeia numérica com sinal, ponto decimal e expoente opcionais; cadeias vazias, sinais soltos, texto não numérico, NaN e Infinity falham com invalid_input nomeando o campo e não são cobrados. Em caso de sucesso a resposta JSON devolve area e perimeter arredondados para serialização estável, os três comprimentos side_ab, side_bc e side_ca, as seis coordenadas normalizadas, e method definido como a string vertices_measures para que logs e interfaces didáticas documentem o algoritmo. O contrato é JSON estável adequado a testes unitários, verificadores de lição de casa e lotes que mapeiam triângulos de entidades a um único objeto de medidas. O preço da API é a base publicada de US$ 0,002 por item bem-sucedido.
Onde as medidas por vértices aparecem no trabalho real
Como esta capacidade é um motor de parse puro, a validação falha não consome saldo e as execuções bem-sucedidas permanecem em US$ 0,002 por item.
Casos de integração
Ajudas de faces em jogos e CAD
Transforme três pares de vértices 2D em área, lados e perímetro para diagnósticos de malha, com o mesmo caminho vertices_measures no navegador e na API.
Perguntas técnicas
O que a calculadora de triângulo por vértices devolve?
Devolve a área pela fórmula do laço, os três comprimentos euclidianos side_ab, side_bc e side_ca, o perímetro fechado, as seis coordenadas normalizadas e method definido como "vertices_measures".