Ortocentro de triângulo por coordenadas
Encontre o ponto onde as três alturas de um triângulo se cruzam a partir dos vértices: com (0, 0), (4, 0) e (0, 3), o ortocentro cai no ângulo reto, (0, 0). Ele fica dentro dos acutângulos e fora dos obtusângulos. Grátis no seu navegador.
- Grátis
- Funciona no seu navegador
- Sem cadastro
- Seus dados não saem do seu aparelho
Executar grátis
Exemplo resolvido
- X1
- 0
- Y1
- 0
- X2
- 4
- Y2
- 0
- X3
- 0
- Y3
- 3
- Ortocentro x
- 0
- Ortocentro y
- 0
O ortocentro é o ponto onde as três alturas de um triângulo se encontram. Dados três vértices cartesianos, esta calculadora constrói duas retas de altura—uma do primeiro vértice perpendicular ao lado oposto, e outra do segundo vértice perpendicular ao seu lado oposto—e resolve o sistema linear 2×2 da interseção. Triângulos retângulos colocam o ortocentro no vértice do ângulo reto; agudos o mantêm dentro; obtusos o colocam fora.
Como a interseção de alturas encontra o ortocentro
Rotule os vértices A(x1, y1), B(x2, y2) e C(x3, y3). Uma altura é a reta que passa por um vértice e é perpendicular ao lado oposto. A altura a partir de A é perpendicular a BC, de modo que todo ponto H nessa altura satisfaz (H − A) · (C − B) = 0.
A altura a partir de B é perpendicular a AC, de modo que (H − B) · (C − A) = 0. Expandir essas duas restrições de produto escalar produz um sistema linear nas coordenadas desconhecidas de H. A matriz de coeficientes envolve os componentes de direção dos lados; seu determinante é não nulo precisamente quando os três pontos formam um triângulo não degenerado, a mesma condição geométrica de uma área de cordão de sapato não nula.
Uma checagem clássica é o triângulo retângulo com vértices em (0, 0), (4, 0) e (0, 3): ambos os catetos já atuam como alturas, então o ortocentro fica no ângulo reto (0, 0). Outra checagem é um triângulo equilátero, onde ortocentro, baricentro e circuncentro coincidem na média dos vértices. Como o caminho usa apenas adição, subtração, multiplicação e uma única divisão, é determinístico, O(1) e livre de bibliotecas trigonométricas.
Esse caminho fechado coincide com o modo como cursos de topografia, manuais de geometria analítica e primers de geometria computacional apresentam o problema do ortocentro, e mantém avaliadores automáticos e pipelines alinhados ao cálculo manual de interseções de alturas.
O que você envia e o que recebe de volta
Forneça seis números finitos obrigatórios: x1 e y1 para o primeiro vértice, x2 e y2 para o segundo, e x3 e y3 para o terceiro. Após o parse, o serviço avalia a soma do dobro da área de cordão de sapato; se for exatamente zero os três pontos são colineares e a mensagem de erro afirma que a área é zero e pede vértices não colineares. Caso contrário constrói as duas equações de altura, resolve a interseção e verifica que o resultado é um par finito de coordenadas.
Checagens de exemplo: zero, zero, quatro, zero, zero, três rende ortocentro (0, 0); zero, zero, um, um, dois, dois falha como colinear; um y3 ausente falha nomeando esse campo. Conecte a ferramenta gratuita do navegador para checagens rápidas e depois chame o mesmo contrato de scripts quando precisar de avaliação em massa de ortocentros por coordenadas sem reimplementar o portão colinear em cada linguagem.
Onde ortocentros aparecem no trabalho real
Cursos de geometria analítica do ensino médio e da faculdade pedem constantemente que estudantes localizem o ortocentro dados três pontos plotados; uma calculadora confiável com checagem colinear estrita agiliza a correção e remove erros de planilha em que alguém confunde o ortocentro com o baricentro ou o circuncentro.
Fluxos de desenho, topografia e GIS simples que já projetam pontos em um plano cartesiano local às vezes precisam de centros clássicos do triângulo para layouts de construção, checagens de pé de altura e sobreposições didáticas—ter um oráculo numérico compartilhado mantém notas de campo e scripts de escritório alinhados no mesmo caminho de interseção de alturas.
Tutoriais de jogos, gráficos e CAD frequentemente armazenam faces de malha como triplos de coordenadas 2D de tela ou mundo; a resposta de ortocentro alimenta diagnósticos de geometria, rigs baseados em altura e figuras de documentação sem montar uma pilha completa de geometria computacional. Se mais tarde você precisar do incentro (bissetrizes), circuncentro (mediatrizes), baricentro (medianas) ou área do triângulo a partir dos mesmos vértices, trate isso como intenções de busca separadas em vez de sobrecarregar esta página de ortocentro.
Casos de uso
Checagens de tarefa e prova
Localize o ortocentro a partir de vértices plotados e rejeite triplos colineares com erro claro em vez de um ponto absurdo silencioso.
Layouts de construção em plano local
A partir de três coordenadas de canto projetadas, recupere a interseção de alturas para notas de construção ou sobreposições didáticas.
Perguntas frequentes
O que é o ortocentro?
É o ponto único onde as três alturas de um triângulo se encontram.
Qual método a calculadora usa?
Intersecta duas alturas (de A ⊥ BC e de B ⊥ AC) resolvendo um sistema linear 2×2.
O que acontece se os três pontos forem colineares?
Vértices colineares dão área zero e não definem um triângulo, então o ortocentro é indefinido.
Onde fica o ortocentro em um triângulo retângulo?
No vértice do ângulo reto. Por exemplo, vértices (0, 0), (4, 0), (0, 3) rendem ortocentro (0, 0).
Quanto custa?
A ferramenta do navegador é gratuita e roda localmente.
Ferramentas relacionadas
Para desenvolvedores — acesso via API
Tudo nesta página está disponível via API. Esta seção é para equipes que querem integrar a ferramenta aos próprios sistemas; quem não precisa disso pode simplesmente usar a ferramenta acima.
Endpoint
Autenticação por token Bearer. Um único POST coloca a tarefa na fila; o resultado chega por webhook ou link assinado.
Chame do seu código
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/geom/triangle-orthocenter \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"x1":0,"y1":0,"x2":4,"y2":0,"x3":0,"y3":3}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/geom/triangle-orthocenter", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"x1": 0,
"y1": 0,
"x2": 4,
"y2": 0,
"x3": 0,
"y3": 3
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/geom/triangle-orthocenter",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"x1": 0,
"y1": 0,
"x2": 4,
"y2": 0,
"x3": 0,
"y3": 3
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/geom/triangle-orthocenter", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"x1":0,"y1":0,"x2":4,"y2":0,"x3":0,"y3":3}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"x1":0,"y1":0,"x2":4,"y2":0,"x3":0,"y3":3}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/geom/triangle-orthocenter", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Exemplo de requisição
{
"x1": 0,
"y1": 0,
"x2": 4,
"y2": 0,
"x3": 0,
"y3": 3
}Exemplo de resposta
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "geom.triangle_orthocenter",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}A API é assíncrona: cada chamada devolve um task_id na hora. Se preferir polling, consulte o status a até 1 requisição por segundo.
Preço
Preço publicado, sem tokens nem créditos escondidos. Tarefa que falha não é cobrada.
Erros
| HTTP | Código | O que significa |
|---|---|---|
401 | unauthorized | Token ausente ou inválido. Confira o header Authorization. |
402 | insufficient_balance | Saldo insuficiente para esta tarefa. Faça uma recarga e tente de novo. |
404 | unknown_type | Esse tipo de tarefa não existe. Confira o campo type no catálogo. |
429 | rate_limited | Muitas requisições em pouco tempo. Espere um instante e tente de novo. |
Notas técnicas
Você envia seis números finitos x1, y1, x2, y2, x3 e y3; o serviço valida que os pontos não são colineares, devolve orthocenter_x e orthocenter_y com os vértices normalizados, e marca method como altitude_intersection. Triplos colineares falham com invalid_input em vez de um ponto absurdo silencioso. Sem chamadas de rede, sem amostragem aleatória e sem surpresas de ponto flutuante além da aritmética IEEE-754 usual sobre os seis números que você fornecer.
Como a interseção de alturas encontra o ortocentro
Resolver com divisão no estilo Cramer produz orthocenter_x e orthocenter_y em forma fechada. Coordenadas grandes ainda podem estourar o intervalo double IEEE-754; quando intermediários não são finitos a requisição falha com mensagem clara de overflow em vez de devolver Infinity em JSON.
O que você envia e o que recebe de volta
Aliases curtos ax, ay, bx, by, cx, cy e x_a até y_c são aceitos para que rótulos de formulário fiquem compactos sem divergir handlers. Campos ausentes, strings vazias, texto não numérico, NaN e Infinity são rejeitados com invalid_input e não são cobrados. Em sucesso a resposta JSON devolve orthocenter_x e orthocenter_y arredondados para serialização estável, ecoa as seis coordenadas normalizadas e define method como a string altitude_intersection para que logs e UIs didáticas documentem o algoritmo. O contrato é JSON estável adequado a testes unitários, verificadores de tarefa e pipelines em lote que mapeiam triângulos de feição a centros clássicos. O preço da API é a base publicada de US$ 0,002 por item bem-sucedido.
Onde ortocentros aparecem no trabalho real
Como esta capacidade é um motor de parse puro, validação falha não consome saldo e execuções bem-sucedidas ficam em US$ 0,002 por item.
Casos de integração
Ajudas de triângulo em jogos e CAD
Transforme três pares de vértices 2D no ortocentro clássico para diagnósticos de malha, usando o mesmo caminho no navegador e na API.