Ortocentro di un triangolo da coordinate

L'ortocentro è il punto in cui si incontrano le tre altezze di un triangolo. Dati tre vertici cartesiani, questo calcolatore costruisce due rette di altezza—una dal primo vertice perpendicolare al lato opposto, e una dal secondo vertice perpendicolare al suo lato opposto—poi risolve il sistema lineare 2×2 della loro intersezione. I triangoli rettangoli pongono l'ortocentro nel vertice dell'angolo retto; gli acuti lo tengono all'interno; gli ottusi lo collocano all'esterno.

Come l'intersezione delle altezze trova l'ortocentro

Etichetti i vertici A(x1, y1), B(x2, y2) e C(x3, y3). Un'altezza è la retta passante per un vertice e perpendicolare al lato opposto. L'altezza da A è perpendicolare a BC, quindi ogni punto H su quell'altezza soddisfa (H − A) · (C − B) = 0.

L'altezza da B è perpendicolare ad AC, quindi (H − B) · (C − A) = 0. Espandere quei due vincoli di prodotto scalare produce un sistema lineare nelle coordinate incognite di H. La matrice dei coefficienti coinvolge le componenti di direzione dei lati; il suo determinante è non nullo proprio quando i tre punti formano un triangolo non degenere, la stessa condizione geometrica di un'area a laccio non nulla.

Un controllo classico è il triangolo rettangolo con vertici in (0, 0), (4, 0) e (0, 3): entrambi i cateti agiscono già come altezze, quindi l'ortocentro siede all'angolo retto (0, 0). Un altro controllo è un triangolo equilatero, dove ortocentro, baricentro e circocentro coincidono nella media dei vertici. Poiché il percorso usa solo addizione, sottrazione, moltiplicazione e una sola divisione, è deterministico, O(1) e privo di librerie trigonometriche.

Quel percorso chiuso coincide con il modo in cui corsi di rilievo, manuali di geometria analitica e primer di geometria computazionale presentano il problema dell'ortocentro, e allinea valutatori automatici e pipeline al calcolo a mano delle intersezioni di altezze.

Cosa invia e cosa riceve

Fornisca sei numeri finiti obbligatori: x1 e y1 per il primo vertice, x2 e y2 per il secondo, e x3 e y3 per il terzo. Dopo il parsing, il servizio valuta la somma del doppio dell'area a laccio; se è esattamente zero i tre punti sono collineari e il messaggio di errore afferma che l'area è zero e chiede vertici non collineari. Altrimenti costruisce le due equazioni di altezza, risolve l'intersezione e verifica che il risultato sia una coppia finita di coordinate.

Controlli di esempio: zero, zero, quattro, zero, zero, tre produce ortocentro (0, 0); zero, zero, uno, uno, due, due fallisce come collineare; un y3 mancante fallisce nominando quel campo. Colleghi lo strumento gratuito del browser per controlli rapidi, poi chiami lo stesso contratto da script quando Le serve valutazione massiva di ortocentri basati su coordinate senza reimplementare il cancello collineare in ogni linguaggio.

Dove gli ortocentri compaiono nel lavoro reale

I corsi di geometria analitica delle scuole secondarie e delle università chiedono di continuo agli studenti di localizzare l'ortocentro dati tre punti tracciati; un calcolatore affidabile con un controllo collineare rigoroso accelera la correzione e rimuove errori di foglio di calcolo dove qualcuno confonde l'ortocentro con il baricentro o il circocentro.

Flussi di disegno, rilievo e GIS semplici che già proiettano punti in un piano cartesiano locale a volte necessitano dei centri classici del triangolo per layout di costruzione, controlli del piede di altezza e sovrapposizioni didattiche—avere un oracolo numerico condiviso allinea note di campo e script d'ufficio sullo stesso percorso di intersezione delle altezze.

Tutorial di gioco, grafica e CAD spesso memorizzano facce di mesh come triple di coordinate 2D schermo o mondo; la risposta di ortocentro alimenta diagnostiche di geometria, rig basati sulle altezze e figure di documentazione senza costruire un intero stack di geometria computazionale. Se in seguito Le serve l'incentro (bisettrici), il circocentro (assi), il baricentro (mediane) o l'area del triangolo dagli stessi vertici, li tratti come intenti di ricerca separati invece di sovraccaricare questa pagina di ortocentro.