Cerchio dei nove punti
Nel triangolo rettangolo (0, 0), (4, 0), (0, 3), il cerchio dei nove punti ha centro in (1; 0,75) e raggio 1,25, metà del raggio circoscritto. Inserisca tre vertici e ottenga il cerchio che passa per i punti medi dei lati e i piedi delle altezze. Gratis nel suo browser.
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Esempio risolto
- X1
- 0
- Y1
- 0
- X2
- 4
- Y2
- 0
- X3
- 0
- Y3
- 3
- Centro x
- 1
- Centro y
- 0,75
- Raggio
- 1,25
Il cerchio dei nove punti è l'unico cerchio che passa per i punti medi dei tre lati di un triangolo, per i piedi delle sue tre altezze e per i punti medi dei segmenti che uniscono l'ortocentro a ciascun vertice. Dati tre vertici cartesiani, questa calcolatrice costruisce il triangolo mediale da quei punti medi, ne trova il circocentro (il centro dei nove punti) e riporta il raggio come distanza da quel centro a un qualsiasi punto medio—esattamente la metà del raggio del circocerchio del triangolo originale.
Come il triangolo mediale produce il cerchio dei nove punti
Etichetti i vertici A(x1, y1), B(x2, y2) e C(x3, y3). I punti medi dei lati sono Ma = ((x2+x3)/2, (y2+y3)/2), Mb = ((x1+x3)/2, (y1+y3)/2) e Mc = ((x1+x2)/2, (y1+y2)/2). Questi tre punti medi formano il triangolo mediale, simile al triangolo originale e con metà della scala lineare.
Il centro dei nove punti N è definito come il circocentro di Ma, Mb e Mc: l'unico punto equidistante dai tre punti medi. Risolvere l'intersezione delle assi di MaMb e MaMc produce un sistema lineare 2×2 in forma chiusa il cui determinante è proporzionale all'area del triangolo mediale—e quindi non nullo proprio quando ABC non è degenere. Il raggio dei nove punti n è la distanza comune da N a qualsiasi punto medio; classicamente n = R/2 dove R è il raggio del circocerchio di ABC.
In modo equivalente, N è il punto medio del segmento che unisce l'ortocentro H e il circocentro O di ABC, così la retta di Eulero contiene sempre H, N, G (baricentro) e O in rapporti fissi.
Un controllo classico è il triangolo rettangolo con vertici in (0, 0), (4, 0) e (0, 3): l'ipotenusa va da (4, 0) a (0, 3), il circocentro è al punto medio di quell'ipotenusa (2, 1.5), l'ortocentro si colloca nell'angolo retto (0, 0) e il centro dei nove punti è il loro punto medio (1, 0.75) con raggio 1.25. Poiché il percorso usa solo addizione, sottrazione, moltiplicazione, divisione e una radice quadrata per il raggio, è deterministico, O(1) e privo di librerie trigonometriche.
Cosa invia Lei e cosa riceve indietro
Fornisca sei numeri finiti obbligatori: x1 e y1 per il primo vertice, x2 e y2 per il secondo, e x3 e y3 per il terzo. Dopo l'analisi, il servizio valuta la somma del doppio dell'area (formula del laccio); se è esattamente zero i tre punti sono collineari e il messaggio di errore indica che l'area è zero e chiede vertici non collineari. Altrimenti costruisce i tre punti medi, risolve il circocentro del triangolo mediale, misura il raggio e verifica che ogni risultato sia finito.
Controlli di esempio: zero, zero, quattro, zero, zero, tre produce centro (1, 0.75) e raggio 1.25; zero, zero, uno, uno, due, due fallisce come collineare; un y3 assente fallisce nominando quel campo. Colleghi lo strumento gratuito del browser per controlli rapidi, poi chiami lo stesso contratto da script quando le serve una valutazione massiva di cerchi dei nove punti basati su coordinate senza reimplementare il gate collineare in ogni linguaggio.
Dove compare il cerchio dei nove punti nel lavoro reale
I corsi di geometria analitica delle scuole superiori e dell'università chiedono costantemente agli studenti di localizzare il centro e il raggio dei nove punti dati tre punti tracciati; una calcolatrice affidabile con controllo collineare rigoroso accelera la correzione ed elimina errori di foglio di calcolo in cui si confonde il centro dei nove punti con il baricentro, l'ortocentro o il circocentro.
Flussi di disegno, topografia e GIS semplici che già proiettano punti su un piano cartesiano locale a volte necessitano dei centri classici del triangolo per layout di costruzione, sovrapposizioni della retta di Eulero e figure didattiche—avere un oracolo numerico condiviso mantiene allineate note di campo e script d'ufficio sullo stesso percorso del triangolo mediale.
Tutorial di giochi, grafica e CAD spesso memorizzano facce di mesh come triple di coordinate 2D di schermo o mondo; la risposta dei nove punti alimenta diagnostiche geometriche, rig basati sul mediacircolo e figure di documentazione senza costruire un intero stack di geometria computazionale. Se in seguito le servono solo l'ortocentro, solo il circocentro, l'incentro, il baricentro o l'area del triangolo dagli stessi vertici, li tratti come intenti di ricerca separati invece di sovraccaricare questa landing dei nove punti.
Casi d'uso
Controlli di compiti ed esami
Localizzi il centro e il raggio dei nove punti da vertici tracciati e rifiuti triple collineari con un errore chiaro invece di un cerchio assurdo silenzioso.
Layout di costruzione con la retta di Eulero
Da tre coordinate d'angolo proiettate, recuperi il centro del mediacircolo per note di costruzione, sovrapposizioni della retta di Eulero o diagrammi didattici.
Domande frequenti
Che cos'è il cerchio dei nove punti?
È l'unico cerchio che passa per i punti medi dei lati di un triangolo, per i piedi delle altezze e per i punti di Eulero.
Quale metodo usa la calcolatrice?
Trova il circocentro del triangolo mediale formato dai tre punti medi dei lati. Il raggio è la metà del raggio del circocerchio del triangolo originale.
Cosa succede se i tre punti sono collineari?
Vertici collineari danno area zero e non definiscono un triangolo, quindi il cerchio dei nove punti non è definito.
Come si collega il centro dei nove punti all'ortocentro e al circocentro?
È il punto medio del segmento che unisce l'ortocentro H e il circocentro O. Sulla retta di Eulero l'ordine è H, N, G, O con HN = NG = GO/2 (rapporti fissi).
Quanto misura il raggio rispetto a quello del cerchio circoscritto?
Esattamente la metà. Il cerchio dei nove punti è il cerchio circoscritto al triangolo dei punti medi, che ha metà della scala lineare del triangolo originale, quindi anche il suo raggio è la metà.
Strumenti correlati
Per sviluppatori — accesso via API
Tutto quello che vedi in questa pagina è disponibile anche via API. Questa sezione è per i team che vogliono integrarlo nei propri sistemi; chi non ne ha bisogno può semplicemente usare lo strumento qui sopra.
Endpoint
Autenticazione con Bearer token: un POST mette in coda l'attività e il risultato arriva via webhook o link firmato.
Chiamala dal tuo stack
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/geom/nine-point-circle \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"x1":0,"y1":0,"x2":4,"y2":0,"x3":0,"y3":3}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/geom/nine-point-circle", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
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});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
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"y2": 0,
"x3": 0,
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$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/geom/nine-point-circle", false, stream_context_create([
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"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"x1":0,"y1":0,"x2":4,"y2":0,"x3":0,"y3":3}',
],
]));
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req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/geom/nine-point-circle", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Esempio di richiesta
{
"x1": 0,
"y1": 0,
"x2": 4,
"y2": 0,
"x3": 0,
"y3": 3
}Esempio di risposta
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "geom.nine_point_circle",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}L'API è asincrona: ricevi subito un task_id e puoi fare polling fino a 1 richiesta al secondo.
Prezzi
Prezzo pubblicato, senza token né crediti. Se l'attività fallisce, non paghi.
Errori
| HTTP | Codice | Significato |
|---|---|---|
401 | unauthorized | Chiave API mancante o non valida: controlla l'header Authorization. |
402 | insufficient_balance | Credito esaurito: ricarica per continuare a eseguire attività. |
404 | unknown_type | Tipo di attività sconosciuto: controlla il campo type della richiesta. |
429 | rate_limited | Troppe richieste in poco tempo: rallenta e riprova tra qualche secondo. |
Note tecniche
Lei invia sei numeri finiti x1, y1, x2, y2, x3 e y3; il servizio verifica che i punti non siano collineari, restituisce center_x, center_y e radius con i vertici normalizzati e contrassegna method come medial_triangle_circumcenter. Le triple collineari falliscono con invalid_input invece di un cerchio assurdo silenzioso. Nessuna chiamata di rete, nessun campionamento casuale e nessuna sorpresa in virgola mobile oltre all'aritmetica IEEE-754 ordinaria sui sei numeri che Lei fornisce.
Come il triangolo mediale produce il cerchio dei nove punti
Coordinate grandi possono ancora superare l'intervallo double IEEE-754; quando gli intermedi non sono finiti la richiesta fallisce con un messaggio chiaro di overflow invece di restituire Infinity in JSON.
Cosa invia Lei e cosa riceve indietro
Campi mancanti, stringhe vuote, testo non numerico, NaN e Infinity sono rifiutati con invalid_input e non vengono addebitati. In caso di successo la risposta JSON restituisce center_x, center_y e radius arrotondati per una serializzazione stabile, ripete le sei coordinate normalizzate e imposta method sulla stringa medial_triangle_circumcenter affinché log e interfacce didattiche documentino l'algoritmo. Il contratto è JSON stabile adatto a test unitari, correttori di compiti e pipeline a batch che mappano triangoli di feature su centri di cerchi classici. Il prezzo API è la base pubblicata di $0.002 per elemento riuscito.
Dove compare il cerchio dei nove punti nel lavoro reale
Poiché questa capacità è un motore parse puro, una validazione fallita non consuma saldo e le esecuzioni riuscite restano a $0.002 per elemento.
Casi di integrazione
Aiuti triangolo per giochi e CAD
Trasformi tre coppie di vertici 2D nel cerchio classico dei nove punti per diagnostiche di mesh, con lo stesso percorso in browser e API.
Domande tecniche
Quanto costa il calcolatore del cerchio dei nove punti?
È gratis nel browser in questa pagina. Tramite l'API una richiesta riuscita costa $0.002; gli input non validi non vengono addebitati.