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Cercle des neuf points

Pour le triangle rectangle (0, 0), (4, 0), (0, 3), le cercle des neuf points a pour centre (1 ; 0,75) et pour rayon 1,25, la moitié du rayon circonscrit. Saisissez trois sommets et obtenez le cercle passant par les milieux et les pieds des hauteurs. Gratuit dans votre navigateur.

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Exemple résolu

Si vous saisissez
X1
0
Y1
0
X2
4
Y2
0
X3
0
Y3
3
Vous obtenez
Centre x
1
Centre y
0,75
Rayon
1,25

Le cercle des neuf points est le cercle unique qui passe par les milieux des trois côtés d'un triangle, par les pieds de ses trois hauteurs et par les milieux des segments joignant l'orthocentre à chaque sommet. À partir de trois sommets cartésiens, ce calculateur construit le triangle médial formé par ces milieux, trouve son centre du cercle circonscrit (le centre des neuf points) et renvoie le rayon comme la distance de ce centre à n'importe quel milieu—exactement la moitié du rayon du cercle circonscrit du triangle d'origine.

Comment le triangle médial donne le cercle des neuf points

Étiquetez les sommets A(x1, y1), B(x2, y2) et C(x3, y3). Les milieux des côtés sont Ma = ((x2+x3)/2, (y2+y3)/2), Mb = ((x1+x3)/2, (y1+y3)/2) et Mc = ((x1+x2)/2, (y1+y2)/2). Ces trois milieux forment le triangle médial, semblable au triangle d'origine et à la moitié de son échelle linéaire.

Le centre des neuf points N est défini comme le centre du cercle circonscrit de Ma, Mb et Mc : le point unique équidistant des trois milieux. Résoudre l'intersection des médiatrices de MaMb et MaMc produit un système linéaire 2×2 en forme fermée dont le déterminant est proportionnel à l'aire du triangle médial—donc non nul précisément lorsque ABC n'est pas dégénéré.

Le rayon des neuf points n est la distance commune de N à tout milieu ; classiquement n = R/2 où R est le rayon du cercle circonscrit de ABC. De façon équivalente, N est le milieu du segment joignant l'orthocentre H et le centre du cercle circonscrit O de ABC, de sorte que la droite d'Euler contient toujours H, N, G (barycentre) et O dans des rapports fixes.

Une vérification classique est le triangle rectangle de sommets (0, 0), (4, 0) et (0, 3) : l'hypoténuse va de (4, 0) à (0, 3), le centre du cercle circonscrit est au milieu de cette hypoténuse (2, 1.5), l'orthocentre se place à l'angle droit (0, 0) et le centre des neuf points est leur milieu (1, 0.75) avec un rayon 1.25. Comme le chemin n'utilise que l'addition, la soustraction, la multiplication, la division et une racine carrée pour le rayon, il est déterministe, O(1) et libre de bibliothèques trigonométriques.

Ce que vous envoyez et ce que vous recevez

Fournissez six nombres finis obligatoires : x1 et y1 pour le premier sommet, x2 et y2 pour le second, et x3 et y3 pour le troisième. Après l'analyse, le service évalue la somme du double de l'aire (formule du lacet) ; si elle est exactement nulle les trois points sont colinéaires et le message d'erreur indique que l'aire est nulle et demande des sommets non colinéaires.

Sinon il construit les trois milieux, résout le centre du cercle circonscrit du triangle médial, mesure le rayon et vérifie que chaque résultat est fini. Vérifications d'exemple : zéro, zéro, quatre, zéro, zéro, trois donne le centre (1, 0.75) et le rayon 1.25 ; zéro, zéro, un, un, deux, deux échoue comme colinéaire ; un y3 manquant échoue en nommant ce champ.

Branchez l'outil gratuit du navigateur pour des contrôles rapides, puis appelez le même contrat depuis des scripts lorsque vous avez besoin d'une évaluation en masse de cercles des neuf points par coordonnées sans réimplémenter le filtre colinéaire dans chaque langage.

Où le cercle des neuf points apparaît dans le travail réel

Les cours de géométrie analytique du secondaire et de l'université demandent constamment aux élèves de localiser le centre et le rayon des neuf points à partir de trois points tracés ; un calculateur fiable avec contrôle colinéaire strict accélère la correction et élimine les erreurs de tableur où l'on confond le centre des neuf points avec le barycentre, l'orthocentre ou le centre du cercle circonscrit.

Les flux de dessin, d'arpentage et de SIG simples qui projettent déjà des points dans un plan cartésien local ont parfois besoin des centres classiques du triangle pour des implantations, des superpositions de la droite d'Euler et des figures pédagogiques—un oracle numérique partagé aligne notes de terrain et scripts de bureau sur le même chemin du triangle médial.

Les tutoriels de jeux, graphiques et CAO stockent souvent des faces de maillage comme triplets de coordonnées 2D d'écran ou de monde ; la réponse des neuf points alimente diagnostics géométriques, rigs basés sur le médiancercle et figures de documentation sans construire une pile complète de géométrie computationnelle.

Si vous avez ensuite besoin de l'orthocentre seul, du centre du cercle circonscrit seul, de l'incentre, du barycentre ou de l'aire du triangle à partir des mêmes sommets, traitez-les comme des intentions de recherche distinctes plutôt que de surcharger cette page des neuf points.

Cas d’usage

Contrôles de devoirs et d'examens

Localisez le centre et le rayon des neuf points à partir de sommets tracés et rejetez les triplets colinéaires avec une erreur claire au lieu d'un cercle absurde silencieux.

Implantations avec la droite d'Euler

À partir de trois coordonnées de coin projetées, récupérez le centre du médiancercle pour notes de construction, superpositions de la droite d'Euler ou schémas pédagogiques.

Questions fréquentes

Qu'est-ce que le cercle des neuf points ?

C'est le cercle unique qui passe par les milieux des côtés d'un triangle, par les pieds des hauteurs et par les points d'Euler.

Quelle méthode le calculateur utilise-t-il ?

Il trouve le centre du cercle circonscrit du triangle médial formé par les trois milieux des côtés. Le rayon vaut la moitié du rayon du cercle circonscrit du triangle d'origine.

Que se passe-t-il si les trois points sont colinéaires ?

Des sommets colinéaires donnent une aire nulle et ne définissent pas un triangle, donc le cercle des neuf points est indéfini.

Comment le centre des neuf points se relie-t-il à l'orthocentre et au centre du cercle circonscrit ?

C'est le milieu du segment joignant l'orthocentre H et le centre du cercle circonscrit O. Sur la droite d'Euler l'ordre est H, N, G, O avec HN = NG = GO/2 (rapports fixes).

Combien cela coûte-t-il ?

L'outil du navigateur est gratuit et s'exécute en local.

Outils associés

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Pour les développeurs — accès API

Tout sur cette page est disponible par programmation. Cette section s'adresse aux équipes qui veulent l'intégrer à leurs systèmes ; les autres peuvent simplement utiliser l'outil ci-dessus.

Endpoint

POSThttps://api.kit.forhosting.com/geom/nine-point-circle

Authentification par jeton Bearer : un seul POST met la tâche en file d’attente, et le résultat vous parvient par webhook ou lien signé.

Appeler depuis votre stack

curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/geom/nine-point-circle \
  -H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
  -H "Content-Type: application/json" \
  -d '{"x1":0,"y1":0,"x2":4,"y2":0,"x3":0,"y3":3}'

Exemple de requête

{
  "x1": 0,
  "y1": 0,
  "x2": 4,
  "y2": 0,
  "x3": 0,
  "y3": 3
}

Exemple de réponse

{
  "task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
  "type": "geom.nine_point_circle",
  "status": "queued",
  "_links": {
    "result": "/tasks/tsk_…/result"
  }
}

L’API est asynchrone : chaque appel renvoie un task_id immédiatement, puis vous interrogez l’état à raison d’une requête par seconde.

Tarifs

par requête$0.002

Le prix est publié, sans tokens ni crédits. Une tâche qui échoue n’est pas facturée.

Erreurs

HTTPCodeSignification
401unauthorizedClé API absente ou invalide : vérifiez l’en-tête Authorization.
402insufficient_balanceSolde insuffisant : rechargez votre compte pour lancer cette tâche.
404unknown_typeType de tâche inconnu : vérifiez le champ type de votre requête.
429rate_limitedTrop de requêtes : ralentissez la cadence, puis réessayez.

Notes techniques

Vous envoyez six nombres finis x1, y1, x2, y2, x3 et y3 ; le service vérifie que les points ne sont pas colinéaires, renvoie center_x, center_y et radius avec les sommets normalisés, et étiquette method comme medial_triangle_circumcenter. Les triplets colinéaires échouent avec invalid_input au lieu d'un cercle absurde silencieux. Aucun appel réseau, aucun échantillonnage aléatoire, et aucune surprise en virgule flottante au-delà de l'arithmétique IEEE-754 ordinaire sur les six nombres que vous fournissez.

Comment le triangle médial donne le cercle des neuf points

De grandes coordonnées peuvent encore dépasser la plage double IEEE-754 ; lorsque les intermédiaires ne sont pas finis la requête échoue avec un message de dépassement clair au lieu de renvoyer Infinity en JSON.

Ce que vous envoyez et ce que vous recevez

Les alias courts ax, ay, bx, by, cx, cy et x_a jusqu'à y_c sont acceptés afin que les libellés de formulaire restent compacts sans diverger les handlers. Les champs manquants, chaînes vides, texte non numérique, NaN et Infinity sont rejetés avec invalid_input et ne sont pas facturés. En cas de succès la réponse JSON renvoie center_x, center_y et radius arrondis pour une sérialisation stable, renvoie en écho les six coordonnées normalisées et fixe method à la chaîne medial_triangle_circumcenter afin que journaux et interfaces pédagogiques documentent l'algorithme. Le contrat est un JSON stable adapté aux tests unitaires, aux correcteurs de devoirs et aux pipelines par lots qui associent des triangles de caractéristiques à des centres de cercles classiques. Le tarif API est la base publiée de $0.002 par élément réussi.

Où le cercle des neuf points apparaît dans le travail réel

Comme cette capacité est un moteur parse pur, une validation échouée ne consomme pas de solde et les exécutions réussies restent à $0.002 par élément.

Cas d'intégration

Aides triangle pour jeux et CAO

Transformez trois paires de sommets 2D en cercle classique des neuf points pour diagnostics de maillage, avec le même chemin dans le navigateur et l'API.

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