九点円の計算
直角三角形 (0, 0)、(4, 0)、(0, 3) の九点円は、中心が (1, 0.75)、半径が1.25で、外接円の半径のちょうど半分です。3つの頂点を入力すると、辺の中点と垂線の足を通る円が分かります。ブラウザで無料で使えます。
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計算例
- X1
- 0
- Y1
- 0
- X2
- 4
- Y2
- 0
- X3
- 0
- Y3
- 3
- 中心 x
- 1
- 中心 y
- 0.75
- 半径
- 1.25
九点円は、三角形の三辺の中点、三本の高さの足、および垂心から各頂点への線分の中点を通る唯一の円です。三つの直交座標頂点が与えられると、本計算機はそれらの辺の中点から中点三角形を構築し、その外心（九点中心）を求め、その中心から任意の中点までの距離として半径を報告します。これは元の三角形の外接円半径のちょうど半分です。有限数 x1, y1, x2, y2, x3, y3 の六つを送信してください。
中点三角形が九点円を与える仕組み
頂点を A(x1, y1), B(x2, y2), C(x3, y3) とラベル付けします。辺の中点は Ma = ((x2+x3)/2, (y2+y3)/2), Mb = ((x1+x3)/2, (y1+y3)/2), Mc = ((x1+x2)/2, (y1+y2)/2) です。
これら三つの中点が中点三角形をなし、元の三角形と相似で線形スケールは半分です。九点中心 N は Ma, Mb, Mc の外心、すなわち三中点から等距離にある唯一の点として定義されます。
MaMb と MaMc の垂直二等分線の交点を解くと、閉形式の 2×2 線形系が得られ、その行列式は中点三角形の面積に比例し、したがって ABC が非退化であるときちょうど非零になります。九点半径 n は N から任意の中点までの共通距離であり、古典的には n = R/2（R は ABC の外接円半径）です。
同等に、N は ABC の垂心 H と外心 O を結ぶ線分の中点であり、オイラー線は常に H, N, G（重心）, O を固定比で含みます。古典的な検算は頂点 (0, 0), (4, 0), (0, 3) の直角三角形です。
斜辺は (4, 0) から (0, 3) へ、外心はその斜辺の中点 (2, 1.5)、垂心は直角頂点 (0, 0)、九点中心はそれらの中点 (1, 0.75) で半径 1.25 です。経路は加減乗除と半径用の平方根のみを用いるため、決定論的で O(1)、三角関数ライブラリを必要としません。
送信する内容と返却される内容
必須の有限数を六つ指定します。第一頂点の x1 と y1、第二頂点の x2 と y2、第三頂点の x3 と y3 です。解析後、サービスは靴ひも公式の二重面積和を評価します。
それが厳密に零なら三点は同一直線上であり、エラーは面積が零であることと非共線頂点を求めます。そうでなければ三中点を構築し、中点三角形の外心を解き、半径を測り、各結果が有限であることを確認します。手早い確認には無料ブラウザツールを、各言語で共線ゲートを再実装せず座標ベースの九点円を大量評価するときはスクリプトから同一契約を呼び出してください。
九点円が実際の仕事で現れる場面
中等・高等教育の解析幾何では、描かれた三点から九点中心と半径を求めさせる課題が絶えません。共線チェックの厳しい信頼できる計算機は採点を速め、九点中心を重心・垂心・外心と取り違える表計算ミスを除きます。点を局所直交平面へ既に投影する製図・測量・簡易 GIS では、施工配置、オイラー線オーバーレイ、教材図のために古典的三角形中心が必要なことがあります。
共有の数値オラクルがあれば、現場メモと事務所スクリプトが同じ中点三角形経路で揃います。ゲーム・グラフィックス・CAD のチュートリアルはメッシュ面を 2D 画面座標または世界座標の三点組として保持することが多く、九点の答えは幾何診断、中円ベースのリグ、文書図を、フルな計算幾何スタックなしで支えます。
データと分析のチームは、文書例や合成ベンチマーク用の決定論的幾何フィクスチャを要することがあり、六頂点と method 文字列のエコーでフィクスチャが自己説明的になります。後で同じ頂点から垂心のみ、外心のみ、内心、重心、または三角形面積が必要なら、この九点ランディングを過負荷にせず、別の検索意図として扱ってください。
活用例
宿題・試験の確認
描かれた頂点から九点中心と半径を求め、共線三点を無意味な円ではなく明確なエラーで拒否します。
オイラー線を用いた施工レイアウト
投影した三つの角座標から、施工メモ、オイラー線オーバーレイ、教材図のための中円中心を復元します。
よくある質問
計算機はどの方法を用いますか？
三辺の中点からなる中点三角形の外心を求めます。半径は元の三角形の外接円半径の半分です。
三点が同一直線上の場合はどうなりますか？
共線頂点は面積零で三角形を定義しないため、九点円は未定義です。
九点中心は垂心・外心とどう関係しますか？
垂心 H と外心 O を結ぶ線分の中点です。オイラー線上の順序は H, N, G, O で、HN = NG = GO/2（固定比）です。
九点円が通る9つの点とは何ですか？
3辺の中点、3本の垂線の足、そして垂心から各頂点へ引いた線分の中点の、合わせて9点です。三角形ごとに、これらすべてを通る円がただ1つ決まります。
九点円の半径は外接円の半径とどう関係しますか？
ちょうど半分です。九点円は辺の中点を結んだ三角形の外接円で、その三角形は元の三角形を半分に縮めた形なので、半径も半分になります。
関連ツール
開発者向け — APIアクセス
このページの機能はすべてAPIからも利用できます。自社システムに組み込みたいチーム向けのセクションです。それ以外の方は上のツールをそのままお使いください。
エンドポイント
Bearerトークンで認証し、POST1回でタスクをキューに登録します。結果はWebhookまたは署名付きリンクで受け取れます。
お使いのスタックから呼び出す
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/geom/nine-point-circle \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"x1":0,"y1":0,"x2":4,"y2":0,"x3":0,"y3":3}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/geom/nine-point-circle", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"x1": 0,
"y1": 0,
"x2": 4,
"y2": 0,
"x3": 0,
"y3": 3
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/geom/nine-point-circle",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"x1": 0,
"y1": 0,
"x2": 4,
"y2": 0,
"x3": 0,
"y3": 3
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/geom/nine-point-circle", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"x1":0,"y1":0,"x2":4,"y2":0,"x3":0,"y3":3}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"x1":0,"y1":0,"x2":4,"y2":0,"x3":0,"y3":3}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/geom/nine-point-circle", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)リクエスト例
{
"x1": 0,
"y1": 0,
"x2": 4,
"y2": 0,
"x3": 0,
"y3": 3
}レスポンス例
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "geom.nine_point_circle",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}非同期APIです。task_idは即時に返ります。ポーリングは1秒あたり1リクエストまでです。
料金
単価はすべて公開しています。トークン換算や独自クレジットはありません。失敗したタスクは課金されません。
エラー
| HTTP | コード | 意味 |
|---|---|---|
401 | unauthorized | APIキーが無効か、指定されていません。Authorizationヘッダーを確認してください。 |
402 | insufficient_balance | 残高が不足しています。チャージ後に再度お試しください。 |
404 | unknown_type | 指定されたタスクタイプは存在しません。タイプ名を確認してください。 |
429 | rate_limited | リクエストが多すぎます。しばらく待ってから再度お試しください。 |
技術的な注記
サービスは点が同一直線上にないことを検証し、正規化された頂点とともに center_x, center_y, radius を返し、method を medial_triangle_circumcenter と付与します。オイラー線の宿題を確認する学生、古典的な三角形の中心を必要とする CAD や幾何ツール、決定論的な幾何フィクスチャを求めるテスト作者は、無料のブラウザツールと有料 API で同じ純粋な結果を得られます。同一直線上の三点は黙って無意味な円を返すのではなく invalid_input で失敗します。ネットワーク呼び出し、乱数サンプリング、およびご提供の六数に対する通常の IEEE-754 演算以外の浮動小数点の驚きはありません。
中点三角形が九点円を与える仕組み
大きな座標はなお IEEE-754 の double 範囲を超え得ます。中間値が有限でない場合、JSON に Infinity を返す代わりに明確なオーバーフローメッセージで要求が失敗します。
送信する内容と返却される内容
短い別名 ax, ay, bx, by, cx, cy および x_a から y_c も受け付け、ハンドラを分岐させずにフォームラベルを短く保てます。欠落フィールド、空文字列、非数値テキスト、NaN、Infinity は invalid_input で拒否され、課金されません。成功時、JSON 応答は安定シリアライズ用に丸めた center_x, center_y, radius を返し、正規化した六座標をエコーし、ログや教材 UI がアルゴリズムを文書化できるよう method を文字列 medial_triangle_circumcenter に設定します。例: 0, 0, 4, 0, 0, 3 は中心 (1, 0.75) と半径 1.25 を与え、0, 0, 1, 1, 2, 2 は共線として失敗し、欠落した y3 はそのフィールド名で失敗します。契約は単体テスト、宿題チェッカー、特徴三角形を古典的円中心へ写すバッチパイプライン向けの安定 JSON です。API 価格は成功一件あたり公開ベースの $0.002 です。
九点円が実際の仕事で現れる場面
本能力は純粋な parse エンジンのため、検証失敗は残高を消費せず、成功実行は一件あたり $0.002 に留まります。
連携の活用例
ゲーム・CAD の三角形ヘルパー
三組の 2D 頂点対を古典的九点円へ変換し、メッシュ診断に。ブラウザと API で同一経路です。
技術的な質問
九点円とは何ですか？
三角形の辺の中点、高さの足、オイラー点を通る唯一の円です。本ツールは中心を center_x と center_y として、および半径を返します。
費用はいくらですか？
ブラウザツールは無料でローカル実行です。API 要求は前払い KIT 残高を成功一件あたり $0.002 で使用し、無効入力は課金されません。