Círculo de los nueve puntos
En el triángulo rectángulo (0, 0), (4, 0), (0, 3), el círculo de los nueve puntos tiene centro en (1; 0,75) y radio 1,25, la mitad del circunradio. Escriba tres vértices y obtenga el círculo por los puntos medios y los pies de las alturas. Gratis en su navegador.
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Ejemplo resuelto
- X1
- 0
- Y1
- 0
- X2
- 4
- Y2
- 0
- X3
- 0
- Y3
- 3
- Centro x
- 1
- Centro y
- 0,75
- Radio
- 1,25
El círculo de los nueve puntos es el círculo único que pasa por los puntos medios de los tres lados de un triángulo, por los pies de sus tres alturas y por los puntos medios de los segmentos que unen el ortocentro con cada vértice. Dados tres vértices cartesianos, esta calculadora construye el triángulo medial a partir de esos puntos medios, halla su circuncentro (el centro de los nueve puntos) e informa el radio como la distancia desde ese centro a cualquier punto medio—exactamente la mitad del circunradio del triángulo original.
Cómo el triángulo medial produce el círculo de los nueve puntos
Etiquete los vértices A(x1, y1), B(x2, y2) y C(x3, y3). Los puntos medios de los lados son Ma = ((x2+x3)/2, (y2+y3)/2), Mb = ((x1+x3)/2, (y1+y3)/2) y Mc = ((x1+x2)/2, (y1+y2)/2). Estos tres puntos medios forman el triángulo medial, similar al triángulo original y con la mitad de su escala lineal.
El centro de los nueve puntos N se define como el circuncentro de Ma, Mb y Mc: el punto único equidistante de los tres puntos medios. Resolver la intersección de las mediatrices de MaMb y MaMc produce un sistema lineal 2×2 en forma cerrada cuyo determinante es proporcional al área del triángulo medial—y por tanto no nulo precisamente cuando ABC no es degenerado.
El radio de los nueve puntos n es la distancia común de N a cualquier punto medio; clásicamente n = R/2 donde R es el circunradio de ABC. De forma equivalente, N es el punto medio del segmento que une el ortocentro H y el circuncentro O de ABC, de modo que la recta de Euler siempre contiene H, N, G (baricentro) y O en razones fijas.
Una comprobación clásica es el triángulo rectángulo con vértices en (0, 0), (4, 0) y (0, 3): la hipotenusa va de (4, 0) a (0, 3), el circuncentro está en el punto medio de esa hipotenusa (2, 1.5), el ortocentro se sitúa en el ángulo recto (0, 0) y el centro de los nueve puntos es su punto medio (1, 0.75) con radio 1.25. Como el camino solo usa suma, resta, multiplicación, división y una raíz cuadrada para el radio, es determinista, O(1) y libre de bibliotecas trigonométricas.
Qué envía usted y qué recibe
Proporcione seis números finitos obligatorios: x1 e y1 para el primer vértice, x2 e y2 para el segundo, y x3 e y3 para el tercero. Tras el análisis, el servicio evalúa la suma del doble de área de cordones; si es exactamente cero los tres puntos son colineales y el mensaje de error indica que el área es cero y pide vértices no colineales. En caso contrario construye los tres puntos medios, resuelve el circuncentro del triángulo medial, mide el radio y comprueba que todo resultado sea finito.
Comprobaciones de ejemplo: cero, cero, cuatro, cero, cero, tres produce centro (1, 0.75) y radio 1.25; cero, cero, uno, uno, dos, dos falla como colineal; un y3 ausente falla nombrando ese campo. Conecte la herramienta gratuita del navegador para comprobaciones rápidas y luego llame al mismo contrato desde scripts cuando necesite evaluación masiva de círculos de los nueve puntos basados en coordenadas sin reimplementar la compuerta colineal en cada lenguaje.
Dónde aparecen los círculos de los nueve puntos en el trabajo real
Los cursos de geometría analítica de secundaria y universidad piden constantemente a los estudiantes localizar el centro y el radio de los nueve puntos dados tres puntos dibujados; una calculadora de confianza con comprobación colineal estricta agiliza la corrección y elimina errores de hoja de cálculo donde alguien confunde el centro de los nueve puntos con el baricentro, el ortocentro o el circuncentro.
Flujos de delineación, topografía y SIG sencillos que ya proyectan puntos en un plano cartesiano local a veces necesitan centros clásicos del triángulo para trazados de construcción, superposiciones de la recta de Euler y figuras didácticas—tener un oráculo numérico compartido mantiene alineadas las notas de campo y los scripts de oficina en el mismo camino del triángulo medial.
Tutoriales de juegos, gráficos y CAD a menudo almacenan caras de malla como triples de coordenadas 2D de pantalla o mundo; la respuesta de los nueve puntos alimenta diagnósticos de geometría, rigs basados en el mediacírculo y figuras de documentación sin construir una pila completa de geometría computacional. Si más adelante necesita solo el ortocentro, solo el circuncentro, el incentro, el baricentro o el área del triángulo a partir de los mismos vértices, trátelos como intenciones de búsqueda separadas en lugar de sobrecargar esta página de los nueve puntos.
Qué puede hacer con ella
Comprobaciones de tareas y exámenes
Localice el centro y el radio de los nueve puntos a partir de vértices dibujados y rechace triples colineales con un error claro en lugar de un círculo absurdo silencioso.
Trazados de construcción con la recta de Euler
A partir de tres coordenadas de esquina proyectadas, recupere el centro del mediacírculo para notas de construcción, superposiciones de la recta de Euler o diagramas didácticos.
Preguntas frecuentes
¿Qué es el círculo de los nueve puntos?
Es el círculo único que pasa por los puntos medios de los lados de un triángulo, por los pies de las alturas y por los puntos de Euler.
¿Qué método usa la calculadora?
Halla el circuncentro del triángulo medial formado por los tres puntos medios de los lados. El radio es la mitad del circunradio del triángulo original.
¿Qué ocurre si los tres puntos son colineales?
Vértices colineales dan área cero y no definen un triángulo, de modo que el círculo de los nueve puntos no está definido.
¿Cómo se relaciona el centro de los nueve puntos con el ortocentro y el circuncentro?
Es el punto medio del segmento que une el ortocentro H y el circuncentro O. En la recta de Euler el orden es H, N, G, O con HN = NG = GO/2 (razones fijas).
¿Cuánto cuesta?
La herramienta del navegador es gratuita y se ejecuta en local.
Herramientas relacionadas
Para desarrolladores — acceso por API
Todo lo de esta página está disponible por programación. Esta sección es para equipos que quieren integrarlo en sus sistemas; el resto puede usar la herramienta de arriba sin más.
Endpoint de API
¿Prefiere automatizarlo? Un POST autenticado crea la tarea; el resultado llega por webhook o enlace firmado. La misma capacidad también se ejecuta aquí en la web, por email y desde Telegram — y pronto también desde nuestra app.
Llámela desde su stack
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/geom/nine-point-circle \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
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req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Ejemplo de solicitud
{
"x1": 0,
"y1": 0,
"x2": 4,
"y2": 0,
"x3": 0,
"y3": 3
}Ejemplo de respuesta
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "geom.nine_point_circle",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}La API es asíncrona: la llamada devuelve un task_id al instante y el resultado llega por webhook. El polling está limitado a 1 req/s por tarea.
Precio
Precio publicado — sin tokens ni créditos inventados. Una tarea fallida no se cobra.
Errores
| HTTP | Código | Significado |
|---|---|---|
401 | unauthorized | API key ausente o inválida. |
402 | insufficient_balance | El saldo no cubre el precio de la tarea. |
404 | unknown_type | El tipo de tarea no existe. |
429 | rate_limited | Demasiadas peticiones. Use el webhook en vez de sondear. |
Notas técnicas
Usted envía seis números finitos x1, y1, x2, y2, x3 e y3; el servicio valida que los puntos no sean colineales, devuelve center_x, center_y y radius con los vértices normalizados, y etiqueta method como medial_triangle_circumcenter. Los triples colineales fallan con invalid_input en lugar de un círculo absurdo silencioso. Sin llamadas de red, sin muestreo aleatorio y sin sorpresas de coma flotante más allá de la aritmética IEEE-754 habitual sobre los seis números que usted proporcione.
Cómo el triángulo medial produce el círculo de los nueve puntos
Coordenadas grandes aún pueden desbordar el rango double IEEE-754; cuando los intermedios no son finitos la petición falla con un mensaje claro de desbordamiento en lugar de devolver Infinity en JSON.
Qué envía usted y qué recibe
Se aceptan alias cortos ax, ay, bx, by, cx, cy y x_a hasta y_c para que las etiquetas del formulario puedan seguir compactas sin divergir manejadores. Campos ausentes, cadenas vacías, texto no numérico, NaN e Infinity se rechazan con invalid_input y no se cobran. En éxito la respuesta JSON devuelve center_x, center_y y radius redondeados para serialización estable, hace eco de las seis coordenadas normalizadas y fija method en la cadena medial_triangle_circumcenter para que registros e interfaces didácticas documenten el algoritmo. El precio de la API es la base publicada de $0.002 por ítem correcto.
Dónde aparecen los círculos de los nueve puntos en el trabajo real
Como esta capacidad es un motor de parse puro, la validación fallida no consume saldo y las ejecuciones correctas se mantienen en $0.002 por ítem.
Casos de integración
Ayudas de triángulo en juegos y CAD
Convierta tres pares de vértices 2D en el círculo clásico de los nueve puntos para diagnósticos de malla, usando el mismo camino en navegador y API.