Círculo dos nove pontos
No triângulo retângulo (0, 0), (4, 0), (0, 3), o círculo dos nove pontos tem centro em (1; 0,75) e raio 1,25, metade do circunraio. Digite três vértices e receba o círculo que passa pelos pontos médios dos lados e pelos pés das alturas. Grátis no seu navegador.
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Exemplo resolvido
- X1
- 0
- Y1
- 0
- X2
- 4
- Y2
- 0
- X3
- 0
- Y3
- 3
- Centro x
- 1
- Centro y
- 0,75
- Raio
- 1,25
O círculo dos nove pontos é o círculo único que passa pelos pontos médios dos três lados de um triângulo, pelos pés de suas três alturas e pelos pontos médios dos segmentos que ligam o ortocentro a cada vértice. Dados três vértices cartesianos, esta calculadora constrói o triângulo medial a partir desses pontos médios, encontra seu circuncentro (o centro dos nove pontos) e informa o raio como a distância desse centro a qualquer ponto médio—exatamente a metade do circunraio do triângulo original.
Como o triângulo medial produz o círculo dos nove pontos
Rotule os vértices A(x1, y1), B(x2, y2) e C(x3, y3). Os pontos médios dos lados são Ma = ((x2+x3)/2, (y2+y3)/2), Mb = ((x1+x3)/2, (y1+y3)/2) e Mc = ((x1+x2)/2, (y1+y2)/2). Esses três pontos médios formam o triângulo medial, semelhante ao triângulo original e com metade da escala linear.
O centro dos nove pontos N é definido como o circuncentro de Ma, Mb e Mc: o ponto único equidistante dos três pontos médios. Resolver a interseção das mediatrizes de MaMb e MaMc produz um sistema linear 2×2 em forma fechada cujo determinante é proporcional à área do triângulo medial—e portanto não nulo precisamente quando ABC não é degenerado. O raio dos nove pontos n é a distância comum de N a qualquer ponto médio; classicamente n = R/2 onde R é o circunraio de ABC.
De forma equivalente, N é o ponto médio do segmento que une o ortocentro H e o circuncentro O de ABC, de modo que a reta de Euler sempre contém H, N, G (baricentro) e O em razões fixas.
Uma verificação clássica é o triângulo retângulo com vértices em (0, 0), (4, 0) e (0, 3): a hipotenusa vai de (4, 0) a (0, 3), o circuncentro está no ponto médio dessa hipotenusa (2, 1.5), o ortocentro fica no ângulo reto (0, 0) e o centro dos nove pontos é o ponto médio deles (1, 0.75) com raio 1.25. Como o caminho usa apenas adição, subtração, multiplicação, divisão e uma raiz quadrada para o raio, é determinístico, O(1) e livre de bibliotecas trigonométricas.
O que você envia e o que recebe de volta
Forneça seis números finitos obrigatórios: x1 e y1 para o primeiro vértice, x2 e y2 para o segundo, e x3 e y3 para o terceiro. Após o parse, o serviço avalia a soma do dobro da área (fórmula do cordão); se for exatamente zero os três pontos são colineares e a mensagem de erro indica que a área é zero e pede vértices não colineares. Caso contrário constrói os três pontos médios, resolve o circuncentro do triângulo medial, mede o raio e verifica que todo resultado seja finito.
Verificações de exemplo: zero, zero, quatro, zero, zero, três produz centro (1, 0.75) e raio 1.25; zero, zero, um, um, dois, dois falha como colinear; um y3 ausente falha nomeando esse campo. Use a ferramenta gratuita do navegador para checagens rápidas e depois chame o mesmo contrato a partir de scripts quando precisar de avaliação em massa de círculos dos nove pontos por coordenadas sem reimplementar o gate colinear em cada linguagem.
Onde o círculo dos nove pontos aparece no trabalho real
Cursos de geometria analítica do ensino médio e da faculdade pedem constantemente que os alunos localizem o centro e o raio dos nove pontos dados três pontos plotados; uma calculadora confiável com checagem colinear estrita agiliza a correção e elimina erros de planilha em que alguém confunde o centro dos nove pontos com o baricentro, o ortocentro ou o circuncentro.
Fluxos de desenho, topografia e GIS simples que já projetam pontos em um plano cartesiano local às vezes precisam de centros clássicos do triângulo para layouts de construção, sobreposições da reta de Euler e figuras didáticas—ter um oráculo numérico compartilhado mantém notas de campo e scripts de escritório alinhados no mesmo caminho do triângulo medial.
Tutoriais de jogos, gráficos e CAD costumam armazenar faces de malha como triplos de coordenadas 2D de tela ou mundo; a resposta dos nove pontos alimenta diagnósticos de geometria, rigs baseados no mediocírculo e figuras de documentação sem montar uma pilha completa de geometria computacional. Se mais adiante você precisar só do ortocentro, só do circuncentro, do incentro, do baricentro ou da área do triângulo a partir dos mesmos vértices, trate-os como intenções de busca separadas em vez de sobrecarregar esta landing dos nove pontos.
Casos de uso
Conferências de tarefas e provas
Localize o centro e o raio dos nove pontos a partir de vértices plotados e rejeite triplos colineares com erro claro em vez de um círculo absurdo silencioso.
Layouts de construção com a reta de Euler
A partir de três coordenadas de canto projetadas, recupere o centro do mediocírculo para notas de construção, sobreposições da reta de Euler ou diagramas didáticos.
Perguntas frequentes
O que é o círculo dos nove pontos?
É o círculo único que passa pelos pontos médios dos lados de um triângulo, pelos pés das alturas e pelos pontos de Euler.
Qual método a calculadora usa?
Encontra o circuncentro do triângulo medial formado pelos três pontos médios dos lados. O raio é a metade do circunraio do triângulo original.
O que acontece se os três pontos forem colineares?
Vértices colineares dão área zero e não definem um triângulo, portanto o círculo dos nove pontos é indefinido.
Como o centro dos nove pontos se relaciona com o ortocentro e o circuncentro?
É o ponto médio do segmento que une o ortocentro H e o circuncentro O. Na reta de Euler a ordem é H, N, G, O com HN = NG = GO/2 (razões fixas).
Quanto custa?
A ferramenta do navegador é gratuita e roda localmente.
Ferramentas relacionadas
Para desenvolvedores — acesso via API
Tudo nesta página está disponível via API. Esta seção é para equipes que querem integrar a ferramenta aos próprios sistemas; quem não precisa disso pode simplesmente usar a ferramenta acima.
Endpoint
Autenticação por token Bearer. Um único POST coloca a tarefa na fila; o resultado chega por webhook ou link assinado.
Chame do seu código
curl -X POST https://api.kit.forhosting.com/geom/nine-point-circle \
-H "Authorization: Bearer $KIT_KEY" \
-H "Content-Type: application/json" \
-d '{"x1":0,"y1":0,"x2":4,"y2":0,"x3":0,"y3":3}'const res = await fetch("https://api.kit.forhosting.com/geom/nine-point-circle", {
method: "POST",
headers: {
"Authorization": `Bearer ${process.env.KIT_KEY}`,
"Content-Type": "application/json"
},
body: JSON.stringify({
"x1": 0,
"y1": 0,
"x2": 4,
"y2": 0,
"x3": 0,
"y3": 3
})
});
const { task_id } = await res.json();import os, requests
res = requests.post(
"https://api.kit.forhosting.com/geom/nine-point-circle",
headers={"Authorization": f"Bearer {os.environ['KIT_KEY']}"},
json={
"x1": 0,
"y1": 0,
"x2": 4,
"y2": 0,
"x3": 0,
"y3": 3
},
)
task_id = res.json()["task_id"]<?php
$res = file_get_contents("https://api.kit.forhosting.com/geom/nine-point-circle", false, stream_context_create([
"http" => [
"method" => "POST",
"header" => "Authorization: Bearer " . getenv("KIT_KEY") . "\r\nContent-Type: application/json",
"content" => '{"x1":0,"y1":0,"x2":4,"y2":0,"x3":0,"y3":3}',
],
]));
$task = json_decode($res, true);body := bytes.NewBufferString(`{"x1":0,"y1":0,"x2":4,"y2":0,"x3":0,"y3":3}`)
req, _ := http.NewRequest("POST", "https://api.kit.forhosting.com/geom/nine-point-circle", body)
req.Header.Set("Authorization", "Bearer "+os.Getenv("KIT_KEY"))
req.Header.Set("Content-Type", "application/json")
res, _ := http.DefaultClient.Do(req)Exemplo de requisição
{
"x1": 0,
"y1": 0,
"x2": 4,
"y2": 0,
"x3": 0,
"y3": 3
}Exemplo de resposta
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "geom.nine_point_circle",
"status": "queued",
"_links": {
"result": "/tasks/tsk_…/result"
}
}A API é assíncrona: cada chamada devolve um task_id na hora. Se preferir polling, consulte o status a até 1 requisição por segundo.
Preço
Preço publicado, sem tokens nem créditos escondidos. Tarefa que falha não é cobrada.
Erros
| HTTP | Código | O que significa |
|---|---|---|
401 | unauthorized | Token ausente ou inválido. Confira o header Authorization. |
402 | insufficient_balance | Saldo insuficiente para esta tarefa. Faça uma recarga e tente de novo. |
404 | unknown_type | Esse tipo de tarefa não existe. Confira o campo type no catálogo. |
429 | rate_limited | Muitas requisições em pouco tempo. Espere um instante e tente de novo. |
Notas técnicas
Você envia seis números finitos x1, y1, x2, y2, x3 e y3; o serviço valida que os pontos não sejam colineares, devolve center_x, center_y e radius com os vértices normalizados, e marca method como medial_triangle_circumcenter. Triplos colineares falham com invalid_input em vez de um círculo absurdo silencioso. Sem chamadas de rede, sem amostragem aleatória e sem surpresas de ponto flutuante além da aritmética IEEE-754 habitual sobre os seis números que você fornecer.
Como o triângulo medial produz o círculo dos nove pontos
Coordenadas grandes ainda podem estourar o intervalo double IEEE-754; quando intermediários não são finitos o pedido falha com mensagem clara de overflow em vez de devolver Infinity em JSON.
O que você envia e o que recebe de volta
Aliases curtos ax, ay, bx, by, cx, cy e x_a até y_c são aceitos para que rótulos de formulário permaneçam compactos sem divergir handlers. Campos ausentes, cadeias vazias, texto não numérico, NaN e Infinity são rejeitados com invalid_input e não são cobrados. Em sucesso a resposta JSON devolve center_x, center_y e radius arredondados para serialização estável, ecoa as seis coordenadas normalizadas e define method como a cadeia medial_triangle_circumcenter para que logs e interfaces didáticas documentem o algoritmo. O contrato é JSON estável adequado a testes unitários, verificadores de tarefas e pipelines em lote que mapeiam triângulos de features a centros de círculos clássicos. O preço da API é a base publicada de US$ 0,002 por item bem-sucedido.
Onde o círculo dos nove pontos aparece no trabalho real
Como esta capacidade é um motor parse puro, validação falha não consome saldo e execuções bem-sucedidas permanecem em US$ 0,002 por item.
Casos de integração
Ajudas de triângulo em jogos e CAD
Transforme três pares de vértices 2D no círculo clássico dos nove pontos para diagnósticos de malha, usando o mesmo caminho no navegador e na API.