Teorema di Stewart: lunghezza della ceviana da lati e divisione
Calcoli la lunghezza del segmento che va da un vertice a un punto qualsiasi del lato opposto, con i tre lati e i due tratti della base: lati 7, 5 e 6 con la base divisa in 3 e 4 danno 4,391550328268. Gratis nel suo browser.
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Esempio risolto
- A
- 7
- B
- 5
- C
- 6
- M
- 3
- N
- 4
- Ceviana
- 4,3915503283
- Ceviana al quadrato
- 19,2857142857
Il teorema di Stewart è l'identità classica che lega le tre lunghezze dei lati di un triangolo alla lunghezza di una ceviana e ai due segmenti che quella ceviana crea sul lato opposto. Uno studente con lati sette, cinque e sei e la base spezzata in tre e quattro ha bisogno del segmento interno dal vertice opposto; un topografo che ha misurato con il nastro i bordi esterni e ha segnato un punto di divisione ha bisogno della stessa lunghezza senza un disegno in scala; un motore di gioco o una pipeline CAD che memorizza mesh triangolari e il piede di un segmento ha bisogno di un numero deterministico per collisioni o layout UV. Questa capacità accetta l'etichettatura standard — il lato a è la base divisa, b e c sono gli altri due lati, m e n sono i segmenti di base con m più n uguale ad a —, verifica la disuguaglianza triangolare e la coerenza della divisione e restituisce la lunghezza positiva della ceviana dal radicale in forma chiusa.
Cosa afferma il teorema di Stewart e come si etichetta la ceviana
Il teorema di Stewart si applica a qualsiasi triangolo con una ceviana da un vertice a un punto del lato opposto. Etichetti il triangolo ABC in modo che il lato a sia BC, il lato b sia AC e il lato c sia AB. Tracci la ceviana da A a un punto D su BC e scriva BD uguale a m, DC uguale a n e la ceviana AD uguale a d.
Il lato che viene diviso deve soddisfare a uguale a m più n; non è un ornamento aritmetico facoltativo, ma parte del contratto geometrico, perché m e n sono letteralmente i pezzi di a. Con tale etichettatura, la relazione di Stewart afferma che b al quadrato per m più c al quadrato per n è uguale ad a per la quantità d al quadrato più m per n.
Risolvendo la lunghezza sconosciuta della ceviana si ottiene d al quadrato uguale a m per b al quadrato più n per c al quadrato, tutto diviso per a, meno il prodotto m n, e d è la radice quadrata non negativa di tale espressione.
I casi speciali recuperano risultati familiari: quando m è uguale a n e uguale ad a su due, la ceviana è una mediana e la formula collassa in quella della mediana; quando la ceviana è un'altezza su un angolo retto può confrontare con metà base per altezza o con Pitagora nei due triangoli rettangoli; quando D è un vertice la configurazione degenera e viene rifiutata.
Ogni passo è aritmetica elementare e una radice quadrata su cinque scalari positivi, quindi non c'è iterazione, campionamento, dipendenza dall'orologio di parete né bisogno di angoli nel contratto di ingresso.
Consigli pratici, limiti, verifiche guidate e ricerche correlate
Nell'insegnamento, preferisca una partizione intera classica come a uguale a sette, b uguale a cinque, c uguale a sei, m uguale a tre e n uguale a quattro, che soddisfa m più n uguale ad a e produce una ceviana positiva pulita ricalcolabile a mano con il radicale di Stewart.
Abbini ciò a un controllo di mediana su un triangolo rettangolo tre-quattro-cinque: a uguale a cinque, b uguale a quattro, c uguale a tre, m uguale a n uguale a due virgola cinque, e la formula si riduce alla lunghezza nota della mediana all'ipotenusa. Forzi di proposito il percorso di errore inviando m più n diverso da a — ad esempio m uguale a due, n uguale a due, a uguale a sette — per mostrare agli studenti che una divisione incoerente viene rifiutata prima di qualsiasi radice quadrata.
Questa pagina serve chi cerca una calcolatrice del teorema di Stewart o uno strumento di lunghezza della ceviana dai lati; non è un risolutore SAS basato sugli angoli né solo la formula dell'area di Erone — usi le capacità dedicate di area o SAS quando quella è la vera intenzione. Preferisca Stewart quando ha misurato o ricevuto i tre lati esterni e i due pezzi della base e ha bisogno della ceviana interna senza costruire altezze.
I controlli andata e ritorno sono semplici: dopo la risoluzione, confermi che m più n è uguale ad a, ricalcoli d al quadrato dalla forma chiusa e verifichi che b al quadrato per m più c al quadrato per n è uguale ad a per d al quadrato più m n entro la tolleranza in virgola mobile.
Casi d'uso
Topografia e tracciamento da bordi esterni e un piede segnato
Trasformi spigoli triangolari misurati con il nastro e un segno di divisione su un lato nella distanza interna al vertice opposto senza un disegno in scala completo.
Giochi, CAD e mesh: lunghezze di segmenti interni
Calcoli la lunghezza di una ceviana o mediana quando una faccia triangolare memorizza tre lunghezze di spigolo e un piede parametrizzato su un bordo.
Domande frequenti
Che cos'è il teorema di Stewart?
Il teorema di Stewart lega i lati a, b, c di un triangolo a una ceviana di lunghezza d che divide il lato a in segmenti m e n: b²m + c²n = a(d² + mn). Risolvendo si ottiene d = sqrt((m b² + n c²)/a − mn).
Cosa significa divisione incoerente?
I segmenti di base devono soddisfare m + n = a, perché m e n sono i due pezzi del lato a.
Come si etichettano m e n rispetto a b e c?
Con lato a = BC, b = AC, c = AB e piede D su BC: m = BD (accanto al lato c) e n = DC (accanto al lato b). Scambiare m e n senza scambiare b e c dà la lunghezza sbagliata.
Calcola in modo speciale mediane o altezze?
Una mediana è il caso speciale m = n = a/2; inserisca quei segmenti e otterrà la lunghezza della mediana con la stessa formula. Un'altezza vale solo quando il piede è il vero piede della perpendicolare: deve fornire i m e n corretti per quel piede.
La calcolatrice del teorema di Stewart è gratuita?
Lo strumento nel browser è gratuito e gira in locale.
Strumenti correlati
Per sviluppatori — accesso via API
Tutto quello che vedi in questa pagina è disponibile anche via API. Questa sezione è per i team che vogliono integrarlo nei propri sistemi; chi non ne ha bisogno può semplicemente usare lo strumento qui sopra.
Endpoint
Autenticazione con Bearer token: un POST mette in coda l'attività e il risultato arriva via webhook o link firmato.
Chiamala dal tuo stack
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-H "Content-Type: application/json" \
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{
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"n": 4
}Esempio di risposta
{
"task_id": "tsk_a1b2c3d4e5f6a1b2c3d4e5f6",
"type": "geom.stewart_theorem",
"status": "queued",
"_links": {
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}L'API è asincrona: ricevi subito un task_id e puoi fare polling fino a 1 richiesta al secondo.
Prezzi
Prezzo pubblicato, senza token né crediti. Se l'attività fallisce, non paghi.
Errori
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|---|---|---|
401 | unauthorized | Chiave API mancante o non valida: controlla l'header Authorization. |
402 | insufficient_balance | Credito esaurito: ricarica per continuare a eseguire attività. |
404 | unknown_type | Tipo di attività sconosciuto: controlla il campo type della richiesta. |
429 | rate_limited | Troppe richieste in poco tempo: rallenta e riprova tra qualche secondo. |
Note tecniche
Cosa afferma il teorema di Stewart e come si etichetta la ceviana
Se il radicando fosse chiaramente negativo, gli ingressi non formano una figura coerente e lo strumento restituisce invalid_input invece di una lunghezza immaginaria.
Contratto di ingresso, forma della risposta e divisione incoerente
I tre lati devono anche soddisfare la disuguaglianza triangolare stretta: a più b maggiore di c, a più c maggiore di b e b più c maggiore di a. Invii un corpo JSON con cinque numeri finiti positivi obbligatori. Il campo a è la lunghezza della base divisa BC; sono accettati gli alias side_a e base. Il campo b è il lato AC; l'alias side_b ha lo stesso significato. Il campo c è il lato AB; side_c è accettato. Il campo m è il segmento di base BD; segment_m e bd sono accettati. Il campo n è il segmento di base DC; segment_n e dc sono accettati. La regola critica di coerenza è che m più n deve uguagliare a entro una tolleranza relativa stretta in virgola mobile; se la somma differisce, il piede non giace sulla base della lunghezza dichiarata e il gestore solleva invalid_input con un messaggio che la divisione è incoerente. In caso di successo la risposta ripete a, b, c, m e n, aggiunge cevian (la lunghezza d), cevian_squared (il radicando prima della radice), method uguale a stewart e un breve blocco di formule che documenta la relazione di Stewart, la forma chiusa di d e l'identità di divisione a uguale a m più n. Una validazione fallita — campo obbligatorio mancante, lunghezza non finita o non positiva, lunghezza fuori dai limiti pubblicati, disuguaglianza triangolare rotta, m più n incoerente rispetto ad a, o radicando negativo — restituisce invalid_input e non viene mai addebitata. Il prezzo è un importo fisso $0.002 per richiesta riuscita con unità item.
Consigli pratici, limiti, verifiche guidate e ricerche correlate
Mantenga tutte le lunghezze nell'intervallo positivo pubblicato fino a un bilione affinché i prodotti intermedi dei quadrati restino finiti in doppia precisione IEEE sul Worker e nel browser. Le unità sono quelle che invia — metri, piedi o unità di gioco — purché a, b, c, m e n condividano la stessa unità; l'API non converte le unità per Lei. Poiché la formula richiede solo lati e segmenti, chi apprende può espandere b al quadrato per m più c al quadrato per n a mano con piccoli interi e confrontare l'API riga per riga. Le attività fallite che restituiscono invalid_input non consumano il saldo prepagato, il che mantiene economici gli script esplorativi quando si digitano partizioni incoerenti imparando il contratto.
Casi di integrazione
Controlli di compiti ed esami su Stewart e ceviane
Proponga agli studenti i lati a, b, c e i segmenti di base m, n; confronti la lunghezza della ceviana calcolata a mano con il risultato deterministico dell'API o del browser gratuito.